А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Эта кривая преобразуется посредством отобоажеиия то=у(г) в кривую Л, расположенную в плоскости яю я = ((Л(г))= — р(г) (а(С-(р, р,(гь)=/(гв)=твв). Так как по правилу дифференцирования сложных функций функция р(Г) дифференцируема в точке с = ьв и (ь'(гв)=У'(гь) Л'(ьь) чь О, то кривая Л облалает касательной в точке гав=ага), причем угол между касательйой н действительной осью равен АгК Р (го) = АгК!Л (го)У'(ео)) = Агй Л'(го)+ Агру'(яо).
Отсюда вытекает, что при переходе от кривой Л к ее образу Л угол наклона касательной в начальной точке кривой изменяется на величину Агд ре(го) Агд Л (го) = Агйу'(го) не зависящую от этой кривой. Если из точки гв выходят какие-либо две кривые ~, и Лг, обладающие касательными Т, и Т, в точке г, , то касательные т, и тг к их образам Л, и Лг в точке воз=У(гь) получатся из Т, и Т, посредством поворота на один и тот же угол Агру'(ль) и, следовательно, угол между кривыми А, и Аг будет равен (по величине и по направлению отсчета) углу между Л, и Лг.
Таким образом, при отображении посредством непрерывной функции тв = У(г), обладающей отличной от нуля производной у'(ль), все кривые плоскости л, проходящие через точку г и обладающие касательными в этой точке, преобразуются в кривые плоскости то, проходящие через точку сов= г(еь) и также обладающие касательными в втой точке, причем углы между кривыми при этом преобразовании сохраняются. Отображение посредством непрерывной функции, сохраняющее углы между кривыми, проходящими через данную точку, называется конформным в этой точке. Если при этом сохраняются не только величины углов, но и направления их отсчета (как это имело место в рассмотренном выше отображении), то говорят о конформном отображении первого Рода; если же направления отсчета углов изменяются на противоположныв (например, в случае зеркального отражения в действительной оси: то л), то говорят о конформном отображении второго рода, 38 Гл.
н ° Функции кОмплекснОГО пеРемьннОГО. пРОизэоднли Итак, отображение посредством аналитической в квкотород области О функииа комп.гвксного переменного является конформ. кым отображением первого рода во всех точках, в которых производная отлична от нуля. Если отображение является кои формным во всех без исключения точках области О, то его называют конформны м отображением области О. Общий пример конформного отображения второго рода дают ото. бражения, осуществляемые посредством функций, сопряженных с аналитическими: т»=7(») (предполагается, что г'(х) чь О).
Предлагаем читателю доказать, что если производная в некоторой точке равна нулю, то углы могут как сохраняться, так н изменяться (рассмотреть отображения у! (») = »а (соз Ф + ! з!и Ф) и Уг (») = Гз (соз 2Ф+ ! в!и 2Ф) = »г з точке»=*0). 9. Геометрический смысл модуля производной. В предыдущем пункте было показано, что Агд('(»е) выражает собой угол поворота касательной к кривой Е в некоторой ее точке »е при переходе к ее обРазУ Л и к точке тае =,Г(»е). В частности, если !'(»е) †действительное положительное число, то векторы касательных к г.
в » и о к Л в Г(»е) параллельны и направлены в одну и ту же сторону. Выясним теперь геометрический смысл модуля производной !)'(»в) ~. С этой целью заметим, что 1у'(» )! — ((ш 1~( ) .Г( в ! и что числа !» — »е! и (г(») — Г'(»в)! представляют собой соответственно расстояния между точками» и»е плоскости» и между их образами Г(») и 7(»е) в плоскости ш. Если отношение 1» — »ь! можно рассматривать как растяжение вектор໠— » в результате отображения посредством функции Гв= Г(») (это растяжение может быть меньше единицы, равно единице и больше единицы), то модуль производной ~)'(х ) / можно рассматривать как растяжение в точке» при отображении посредством фуккции чв= Г'(»). Величина растяжения в точке»е, как следует из только что сказанного, не зависит от того, какой берется вектор» — »е, выходящий из этой точки; однако она не совпадает с растяжением вектора » †»„ а представляет собой предел этого растяжения при условии, что » стремится к »в.
10. Пример: линейная и дробно-линейная функции. В виде иллюстрации рассмотрим дробно-линейную функцию С(»)= а»+6 = — (по крайней мере, одно из чисел с или б отлично от нуля) с»+а Пусть сначала с= О. Тогда Е(») можно переписать в виде ~(»)=а»+ ., 10. пгимвг: линвйнля и дговно-лннвйнля егнкции 39 «Ьэ, +яг(а — —, р= — ); это — целая линейная функция.
Она определена прн всех значениях г и имеет производную 1. (л)=а, храняющую постоянное значение и отличную от нуля, если а Ф О. Следовательно, функция 1.(л) производит конформное отображение всей плоскости комплексного переменного г. При этом отображении касательные ко всем кривым плоскости г поворачиваются на один и тот же угол, равный Агфа, н растяжение во всех точках оказывается равным )а). Если сс= 1, то Агиа= 2«я, (а(= 1, и как поворот, так н растяжение фактически отсутствуют. Так как ото5ражение в этом случае пэинимает вид ш=л+р, то оно, очевидно, сводится к сдвигу всей плоскости как целого на вектор р.
Если же а ~ 1 (и а Ф 0), то отображение можно представить в виде я в Т= = «(я — т), где Т определяется из уравнения Т = «Т +~. Отсюда следует, что каждый вектор г — Т, выходящий из точки Т, в результате отображения поворачивается на угол, равный Агда, н подвергается растяжению в ) а! раз, превращаясь в вектор ш — Т, выходящий нз той же точки Т. Это означает, что отображение 1.(л)=ал+р при а Ф 1 (и а ~ 0) сводится к повороту всей плоскости как целого вокруг точки Т = — на угол Агд«и к растяжению относительно 1 — « этой точки в (а! раз.
Очевидно,— это отображение подобия с центром в точке Т = — и коэффициентом подобия (а~, сопровождающееся поворотом вокруг той же точки на угол Ага«. Таково конформное отображение в простейшем случае. Пусть теперь с чь О. Тогда при г Ф 6= — — существует произс водная ૠ— Ьс аИ вЂ” Ьс 1 (сс -1- «)с - са ' (с — о)с Если определитель аб — Ьс Ф 0 (а равенство нулю выражения ас( — Ьс « означает справедливость пропорции — = — = Л, откуда а = сЛ, с Ь= с(Л и Е(л) = = амЛ~, то с'(я) чь 0 при всех «с+ Ь сЛх+ аь с«+ «' сс -1- Н з чь Ь.
Следовательно, отображение тв = 1. (л) является конформным во всех конечных точках, отличных от 3. При этом отображегии касательные к кривым, проходящим через произвольную точку г+ 3, Поворачиваются на угол, равный асс — Ьс Агре(л) = Агд —,, — 2 Ага'(г — В). ся стол поворота касательной, очевидно. меняется от точки к точке. сохРаняя одно и то же значение для тех точек, для которых Ага (х — В) со"Раняет одно и то же значение, т.
е. для точек кзждого из прямолинейных лучей, выходящих из точки В. Растяжение длины в точке в 40 гл. и. этнкции комплексного пагвмвнного. пгонзводнля при данном отображении есть 1(.'(г)~=~, ~: ~г — Ь1з и также ст меняется от точки к точке. Оно сохраняет одно и то же значение для тех точек, для которых величина ~ г — 3~ †од и та же, т. е. для точек каждой окружности с центром в точке 3. В частности, Изомечрическая это растяжение равно единн- акрутяяясть це в каждой точке окружности Й у //аааттт ссаз т: ~г — Ь( = — )/!аа' — Ьс ((изо- 1 ~(т) метрическая окружность Р дробно-линейного преобр а з о в а н и я), больше единицы внутри т., стремясь к бесконечДгю~/>7 /ЙЪ/</ ности при г, стремящемся к 3, и меньше единицы вне т, стремясь к нулю при г.
стремящемся к бесконечности (черт. 6). Черт. б. 11. Угол с вершиной в бес- конечно удаленной точке. Пусть попрежнему с чь О и аН вЂ” Ьс ~ О. Тогда, очевидно, аз+ Ь а ,.ь гг+ Ф а Дополним определение функции Е(г), положив Е (3) = оо и 1. (оо) = а. Т еперь функция те=(.(г) определена во всей расширенной плоскости г, причем конечную точку Ь она преобразует в бесконечно уда. ленную точку плоскости ш, а бесконечно удаленную точку плоскости г — в конечную точку а.
аг+ Ь Из уравнения тв — „получаем для обратной функции г (," (тв) следующее выражение: При этом мы предполагаем сначала, что течь оо и а~ чье (тогда г чье и гчь оо). Для тэ со и тэ=а имеем следующие аначения: Ь (оо)=Ь и Е (а)=оо. Итак, функция, обратная по отношению к дробно-линейной, сама является дробно-линейной. Мы видим при этом, что дробно-линейная функция ез= С(г) осуществляет взаимно однозначное отображение расширенной комплексной плоскости самое на себя и что это отобра. жение валяется конформным при глава и гчьоо. Чтобы иметь возможность говорить о конформности отображения и в втих точках. 11. ьгол с вггшиной в ввсконвчно ьдллгнной точке 41 нужно дать целесообразное определение угла с вершиной з бесконечно удаленной точке. Пусть С, и С,— две непрерывные кривые, проходящие через начало координат, в котором они образуют угол 0.
1 Отобразим плоскость самое на себя посредством ч = —. Тогда С, и Сг отобразятся на непрерывные (в обобщенном смысле) кривые С, 'и С,', проходящие через бесконечно удаленную точку. Будем говорить по определению, что С', и С' образуют в бесконечно удаленной точке также угол 0. Так, например, действительная и мнимая оси составляют между собой в начале координат угол †. Посредством ото- 1 2' бражения ч= — кажлая из них преобразуется в самое себя, а точка г=0 преобразуется в точку ч= со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
