А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Отсюда следует, что действительная и мнимая оси пересекаются в бесконечно удаленной точке под тем же углом †, как н в начале координат. 2' Вообще будем говорить, что любые дзе кривые С, 'и С', проходящие через точку г= со, образуют е ней угол, равный О, если 1 образы С, и С, этих кривых ари отображении ч= — образуют е начале координат угол 0. Вернемся к общему случаю отображения посредством тв = г, (г) = — (ай — Ьс чь О, с чь 0). аг+ Ь сг+ й Пусть две кривые С, и С, образуют угол 0 с вершиной 0* й с' Так как г'.(0)=со, то образы этих кривых Сг —— Е(С,) и Сг =г.(Сг) проходят через точку чв= оо.
По определению, угол между ними должен равняться углу с вершинпй в начале координат между кри- П РГ 1 выми Сг и Сг, полученными в результате отображения ь —. Очей 1Р видно, что Сг и Сг суть образы кривых С, и С при результирую- 1 ее+и щем отображении ь= — '* —. Но последнее является дробно. ге аг -1- Ь' линейным и, следовательно, конформным в точке г* 0 (которую оно преобразует в конечную точку ч= 0). Поэтому кривые С," и С", образуют в точке ч = 0 угол 0, т, е.
кривые С,' и С,' образуют в точке ш = оо угол О. Итак, мы установили конформность отображения ш = Л(г) в точке 0, в которой дробно-линейная функция обращается з со. Этот результат справедлив, конечно, и для обратной функции г = Ь" (ш) в точке и. в которой эта функция обращается в со. Иными словами, отображение чв= г.(г) является конформным и в бесконечно удаленной точке (которую оно преобразует в точку и).
Окончательно получаем: каждая дробно-линейная Функция чв = †т-„ аг+ Ь ег, Ф 42 Гл. и. фь нк пни комплекснОГО пеРеменноГО. пгоизводнля (ай — Ьс чь О, с Гь 0) отобрижиет расширенную плоскость взаимно однозначно и конформно самое на себя. Читатель легко проверит, что это утвергкдение справедливо и для целой линейной функции ш = аг+ Ь; единственное отличие от предыдущего случая здесь в том, что бесконечно удаленная точка пре- '' образуется в себя. 12. Гармонические и сопряженные гармонические функции, В дальнейшем будет показано (и.
3 главы У!), что действительная и мнимая части и (х, у) и О(х, у) функции Г(г), аналитической в некоторой области, обладают дифференцнруемыми (следовательно, и непрерывными) частными производными любого конечного порядка. В этом ) пункте мы выведем некоторые следствия из этого факта. Дифференцируя первое из уравнений (2) по х, а второе — по у и замечая, дго дго что — =, получим, складывая почленно оба результата: дудх дкду ' иои де и — г+ — = О. дхг дуг Аналогичное уравнение получится и для функции о(х, у), если первое из уравнений (2) дифференцировать по у, второе по х и затем вычесть почленно второе равенство из первого: дго д-'о дхг дуг —,+ —,, =О. Уравнение дгт дгт дхг дуг — г+ —.=О (12) является дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка.
Оно называется у р а в н е н и е м Л а п л а с а, а функции, обладающие в некоторой области непрерывными частными производными до второго порядка включительно и удовлетворяющие этому уравнению,— г а р м о н и ч е с к и м и функ~1иями. Следовательно, можгю утверждать, что действительная и мнимая части функции Гсомплексного переменного, аналитической в некоторой области, являются функциями, гармоническими в той же обласпги. Так, например, для функции г'=(х+гу)' = х' — у' + 21ху, аналитической во всей плоскости, действительная часть хг †и мнимая часть 2ху являются гармоническими во всей плоскости. В конце п. 7 указывалось, что функция у (г) = 1п 1 г 1 + + 1 Ага'г является аналитической в области Сп е Ф О, поэтому 1п ! г! и Агйг являются гармоническими функциялГи в этой области (это легко 1 проверить, замечая, что 1п1г( = — 1п (х'+у') и Агй г = агс1я У + С, 2 х х если х чь О, или Агя г = С вЂ” агс1д —, если у чв О).
Заметим, что Агдл у дает простейший пример многозначной гармонической функции; строго гогоря, определение гармоничности следует прилагать к однозначныМ непрерывным ветвям этой функции. 12, гАРмоническив и сопРяжвнныв ГАРмоническив Функции 43 Пусть Ф(х, у) — какая-либо функция, гармоническая (однозначная) в данной односвязной области б (например, в круге, полуплоскости или во всей плоскости).
Покажем, как найти функцию 1(г) = и(х, у)+ +(о(х, у), аналитическую в этой области, действительная часть оторой совпадает с х(х, у): и(х,у) = ф(х, у). Для отыскания мнимой части функции имеем два уравнении (уравнения Даламбера — Эйлера): ду ди ду ди —— — — — — Р(х, у), — = — =(;)(х, у).
функции Р(х, у) и (:,)(х, у) непрерывны в области 6 и обладают з ней непрерывными частными производными первого порядка (последние выражаются через частные производные второго порядка от и(х, у)) Прн этом выполняется условие дР даи дзи д(') ду дуа дха дх ' в силу которого криволинейный интеграл (х у) ~( Рдх+(;)ду (х„зд не зависит от вида пути, соединяюгцего точки (х, у ) и (х. у) обла-' сти О, и, следовательно, представляет однозначную функцию ф(х, у) точки (х, у)а), Эта функция имеет те же частные производные, что н искомая функция о(х.
у): дф до дф ди — =Р= —, дх дх ' ду ду поэтому о(х, у) может отличаться от ф(х, у) только на постоянное слагаемое: (х у) о(х, у) = ф(х, у)+С= ~ Р~х+(е((у+С (х., у) (х. У) — †.У,- их + — ((у + С ди ди у дх аа ую) (здесь С вЂ” действительное число). Вычисляя о по этой формуле, будем иметь две дифференцируемые в области 0 функции: и=~у(х, у), о=ф(х, у)+С, связанные уравнениями даламбера — Эйлера ди ду ди до 'Зх Зу ' 'Бу 7х ' ) Ом., например, Г. М.
Фихтенгольц, Основы математического аиа- т, 11, М., Гостехизхат, 1959, гл. 21, ф 4. 44 гл, и. етнкции комплзксного пвгамзниого, птонзводная Отсюда следует, что функция у(л)= и(х, у)+!о(х, у)=т(х у)+ +!ф(х, у)+ (С вЂ” аналитическая в области О. Итак, по функции ~р (х, у), гармонической в односвязной области О, можно найти аналитическую функцию г(г), действительная часть которой совпадает с э(х, у). Эта функция определена с точностью до постоянного чисто мнимого слагаемого. П р и м е р.
Пусть 6 получаетса нз плоскости исключением полуоси; 1 у О, х~О. Лепсо проверить, что функция и(х, у)= — !п(ха+уз) — гар. 2 ионическая в втой области. Для отыскания мнимой части имеем уравнении до ди у дх ду хь+ уз до ди х ду дх хз + уа поьтому ге и! о(х, у) = ) — —,— ах+ у хе.,'- уь и, о! -)-, ", йу+С. хз+ уа Черт. 7. Если, например, точка М(х, у) лежит в правой полу- плоскости (х ) 0), то, интегрируя вдоль двузвенной ломаной Ае!М (черт. т), найдем: о(х, у) = ~! — +С =агс!й — +С. хау у е х'+у' х о Если точка М(х, у) лежит во втором (цлн третьем) координатном угле (х ~ 0, у чь 0), то, интегрируя вдоль ломаной АЬ'М (соответственно Ай"М), получим: в Ф о (х, у) ~ 1 †— ~ -!†у + С ~ агс!й у — агс!й - + агс!й - + С. ! йу !" уйх х 1 +у "х+у у у Отсюда видно, что о(х, у) а!Ел+С во всех точках Сч следовательво, У(е) лк(п(ха+Уз)+ 1агйл+ гС !а !е!+ 1агйл+ гС, 1 Изложенный здесь прием отыскания аналитической функции по ее действительной части применим и для случая многосвязной области О, но в случае многосвязной области интеграл ф(х, у) ' др д(! й Рйх+Яйу при условии -ч- ° -ч- представляет, вооб!це У гидгомвхлиичзскоз истолкования ьнллнтичвской эвикции Фб говоря оря многозначную функцию точки (х, у); поэтому и функция ,Р(х, у)+ (ф(х, у)+(С, вообще говоря, оказывается многозначно „чной (хотя р(х, у) — попрежнему однозначная).
Все это легко ллюстрирозать, отыскивая аналитическую функцию У'(я) в области иллю 1 бй з~() по заданной действительной части <~(х, у) = — 1п(х'+у ). Г(олучим мнсгозначную аналитическую функцию у(я) = 1п ~ я )+ )Агп я. Заметим, наконец, что совершенно таким же путем можно находи'гь аналитическую функцию по ее мнимой части. Впрочем, если ф (х, у) есть мнимая часть для у(г), то она же является действительной 1 частью для; у(з). Гармонические функции встречаются во многих задачах физики н механики.
Так, например, температура однородной пластинки, находящейся в тепловом равновесии, электрический потенциал плоского проводника, потенциал скоростей плоского установившегося потока однородной, несжимаемой жидкости и т. д. являются гармоническими функциями декартовых координат х и у в соответствующих областях, Вначение теории аналитических функций для решения многих задач механики и физики заключается в том, что вместо того, чтобы искать гармонические функции и оперировать с ними, ищут аналитические функции, действительными или мнимыми частями которых служат эти гармонические функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
