А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

3. Непрерывность. Если предельная точка г множества Е (ко- нечная или бесконечно удаленная) принадлежит этому множеству и для функции у(г) =и(х, у)+1о(х, у), определенной на Е, выпол- нено условие 11ш У(~) =У(гв) (Х(гв)~~) «.+ч««еи то г(г) называется непрерывной в точке гз (по множеству Е).

Если Дг) непрерывна в каждой точке множества Е, то говорят, что она непрерывна на множестве Е. В силу п. 2 условие непрерывности У(г) в точке ге=хо-+(уз эквивалентно двум следующим: 1пп и(х, У) =и(хо, Уб), е.+ ем в ~в, 24 гл. и. еинкцнн комплексного неизменного. пгоизводнля исключаются те точки, в которых делитель обращается з нуль). Далее, если функция ш = г(г) непрерывна на множестве Е и ее значения принадлежат множеству Р, на котором непрерывна функция ь = м(пз), то сложная функция ь = р [у(г) [ =Р(г) непрерывна на Е. Пусть множество Е ограничено н замкнуто.

Тогда каждая функция ли=у(г), непрерывная на Е, ограничена на этом множестве, т. е. удовлетворяет соотношению вида [у'(г)[~(С < со, лЕ Е; ее модуль достигает на Е своей верхней и нижней грани; наконец, з(г) равномерно непрерывна на Е. Последнее утверждение означает, что для любого е ) 0 существует е(з) ) 0 такое, что з(гз) — У(гл)[(е для любых двух точек множества, для которых г, — и,[( б(я).

Все эти свойства следуют из соответствующих теорем, относящихся к функциям двух действительных переменных, непрерывным на ограниченных замкнутых множествах; впрочем, их нетрудно доказать и непосредственно, повторяя почти без изменений известные из курса анализа доказательства. При определении непрерывности предполагалось, что у(ге)Фоо. При изучении отображений посредством аналитических функций целесообразно отказаться от этого ограничения и считать функцию непрерывной в точке ге, где у(ги)= со, если йш.. ((г) = оо. л.+ „, лбе Мы будем называть функцию в этом случае обобщенно-неи р е р ы в н о й.

На обобщенно-непрерывные функции перечисленные выше свойства не распространяются. ! Пример. Функция у(г) = — при г~О и я~со, обращающаяся в нуль в точке г = са и и бесконечность и точке г = О, является обобщенно-непрерывной в расширевной плоскости. В самом деле, для нее йп| У(г) =0 =У(ол), л.+ ю Пш У (г) = со = У (0). л -ь О 4. Непрерывная кривая.

Понятие непрерывной кривой обобщает наглядное представление о кривой как о траектории движущейся точки. Относительно функции г = Л (!) действительного переменного (параметра) 1, непрерывной на некотором сегменте [и, р[, говорят. что эта функция определяет н е п р е р ы в н у ю к р и в у ю (а также линию или дугу); значения функции называются т о ч к а м и к р и вой, уравнение г=Л(!) называется уравнением кривой (в параметрической форме). Для каждой кривой можно фиксировать одно из двух взаимно противоположных направлений пробега кривой соответственно возрастанию или убыванию параметра.

В первом случае Л(п) есть начальная (начало), а Л(р) — конечная точка (конец) кривой, во втором случае эти точки меняются ролями. Кривая, начальная и конечная точки которой совпадают, называется з а м к н у т о й, 4. напгггывнля кгивля 25 Если одна и та же точка г кривой соответствует двум или более различны ичным значениям параметра, из которых, по крайней мере, одно отлично о тлично от а и от р, то такая точка называется к р а т ной. Кривая, не имеющая кратных точек, называется простой или жорда нов ойй к р ивой. Лве непрерывные кривые г= Л(!) („(! (яг) и (у ( т ( Ь) рассматриваются как тождественные тогда и только тогда, когда существует непрерывная, монотонная на отрезке [а, Я функция с= о(!) такая, что р(а)= у, чг(р)=с (или р(а) =3, ф(р) =;) и г=р[~у(!)[=Л(у) (а(г-(р).

Нетрудно показать, что множество всех точек непрерывной кривой есть замкнутое множество (доказательство предоставляем читателю). .Примеры кривых: а) Уравнение а= ! ( — 1(га,'1) определяет кривую, изображенную отрезком действительной оси — !а,ха 1. Для направления, соответствующего возрастанию параметра, начальной точкой будег — 1, конечной +1; кривая не замкнута. Она не имеет кратных точек, следовательно, это — жорданова кривая (дуга). б) а=сов! (О(!(и) — кривая, тождественная предыдущей; здесь прежнее направление соответствует убыванию параметра. в) з=соэс (О~;г'(2л), Эта кривая изображается тем же отрезком действительной оси — 1(х ~; 1, но она не тождественна предыдущей. В самом деле, это — замкнутая крйвая, так как г = О и Г = 2е соответствует одна и та же точка я= 1.

Кроме того, здесь двум разным значениям параметра ! и 2я — Г (О(!(2я) соответствует одна и та же точка г соз б поэтому кривая имеет кратные точки и не является жордановой. Различие между непрерывными кривыми а), б) и в) проявляется в том, что для первых двух из ннх точка г однократно пробегает отрезок [ — 1, ![, когда параметр пробегает весь промежуток своего изменения, тогда кзк в случае последней кривой точка г при аналогичном условии двукратно пробегает тот же отрезок. г) Пусть Ьп Ьз,..., Ья — прямолинейные, определенным образом ориентированные отрезки, расположенные на плоскости так, что конец каждого отрезка Ьу(У 1, 2,..., л — 1) совпадает с началом следующегоотрезка Ь +ь Обозначая через ау комплексное число, изображаемое вектором Ь, а че. рез гэ начальную точку отрезка дп мы можем получить на сегменте О(Г ( и простейшую непрерывную функцию, определяющую кривую, изображаемую совокупностью данных отрезков: г=гэ+аг-[ ...

+ау г+а (! — !'+!) О' — 1<!~<), /=1, 2,..., а). Кривая эта называется л о и а н о й, отрезки Ьу — ее з в е н ь я и и. Лоианая замкнута или не замкнута в зависимости от того, совпадает ли конец отРезка Ь„ с началом Ьг илиьне совпадает. ЖоРдановой кРивой она 6Удет только в случае отсутствия самопересеченнй, т. е. при условии, что общую точку, и притом только одну, могут иметь лишь дза соседних звена Ь. н ауь, (в случае замкнутой ломаной звенья Ь„ н Ь, = Ь„+г соседние).

Покажем, что если любые две точки го и г' какого-либо открытого множества Е можно соединить между собой непрерывной кривой 1, содержащейся в Е, то тогда их можно соединить также и ломаной, содержащейся в Е, откуда следует, что Е есть область (см.

п. 5 главы !). 26 гл. и. екпкцип комплексного пе емвпного. пгоизводнля В самом леле пусть г=-1(т) (г (Г:. 3) — уравнение 1., причем гв = й (а) и г' = ), (р). Обозначим через ь (ь ) ()) расстояние между 1 н границей 1' множества Е. Пользуясь равномерной непрерывностью ).(г) нз отрезке 1г,,'~), разобьем этот отрезок точками ( =— о= = а (1, ( 1г (... ( Г„=- 'р на столь мелкие отрезки, чтобы выполнялись условия (1,(1,,) — х(г )! ( ь (/= — О, 1,..., а — 1), и соединим каждую пару соседних точек кривой = — 1(() н г, =1(й ) кор' р дой Ь . Очевидно, что все хорды Ьа, л„..., Лл, содержатся в Е; они составляют ломаную А вписанную в 1 и соединяющую г с -.', Следовательно, Е есть область.

Приведем две теоремы относительно жордановых кривых и отображений, которые мы примем без доказательства (доказательства содержатся в курсах топологии). Теорема Жордана. Каждая заман чная жорданова кривая Г делит всю нлогносгль на две различные области 0 и О, 1 г' общей границей которых она является. При зтолс одна из обло. селей ограничена (она называется внутренностью Г), а другая не ограничена (она называется внешностью Г).

Внутренность будем обозначать У(Г), а внешность Е(Г) (У и Š— начальные буквы французских слов 1п1ейепг — внутренность и ех1ег!ецг — внешность). Простейшую иллюстрацию к теореме Жордана дает внутренность (1г — гв!( Р) и внешность (1г — гр1) Р) окРУжностн Г: (г — гь!=.Р (в параметрическом виде г=ев+р(созт+гз(п() (О (г (2к)). Пусть 0 — произвольная область; если для любой замкнутой жордановой кривой т, принадлежащей О, внутренность т также принадлежит О, то область 0 называется однос в я зной (относительно конечной плоскости). Примером односвязной области является внутренность окружности; внешность окружности или круговое кольцо†не односвязны относительно конечной плоскости, так как для каждой пз этих областей можно указать такую окружность, принадлежащукг области, внутренность которой не вся принадлежит области. Д;и нужд теории конформных отображений понятие одно- связной области обобщается.

А именно область 0 расширенной плоскости называется од н о с в я з н о и (относительно расширенной плоскости), если для любой замкнутой жордановой кривой -П принадлежащей О, внутренность 1 илп внешность 1 также принадлежит 0: все прочие области называются и но г о с в я з н ы м и. Конечно, область, одиосвязная относительно конечной плоскости, являетс~ односвязной н относительно расширенной плоскости. Обратное, вообще говоря, неверно.

Так, внешность окружности, которой в расширенной плоскости принадлежит также и бескопево удаленная ~очка, является односвязной относительно расширенной плоскости, хотя она не односвязна относительно конечной плоскости, Но круговое кольцо нс односвязно как относительно конечной, гак н расширенной плоскости, т. е.

является многосвязной обчастыо. 5, пгоизводнля и диэеагвнциьл 27 реь\а о взаимно одиозна ~ных и непрерывных Теорема отображениях. ПУсть Π— область расширенной и госкост — 7 ция, о обобщенно-непрерывная в О и однозначно о значно на некоторое множество Ец л«огда О является также областью и функция г=/ (то), обратная по отношению к 7(е), обобщенно-непрерывна в области Е). Если при тех же лредпололсениях Дг) определени и на границе 1' области 0 и притом ,пак, что она является обобщенно-непрерывной в замкнутой области О, то она отображает Г на границу б области Ец иными словами, граница образа области 0 совпадает с образом границы той же области.

Впоследствии эта теорема будет нами рассмотрена при дополнительном предположении, что 7(г) — аналитическая в области 0 (пп. 1. 4, 7 главы Х). В заключение этого пункта обобщим понятие непрерывной кривой. А именно пусть г=> («) — функция обобщенно-непрерывная на отрезке [а, 8) (который может быть теперь бесконечным в одну или в обе стороны); будем говорить, что эта функция определяет обобщенную непрерывную кривую в расширенной плоскости. Если г= ),(г) не обращается в со ни в одной точке отрезка (а, р), то обобщенная кривая не проходит через бесконечно удаленную точку. Понятия начальной и конечной точек кривой, понятие замкнутой кривой, кратной точки, понятие жордановой кривой, естественно, распространяются на случай обобщенной непрерывной кривой.

Характеристики

Список файлов книги