А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Предел последовательности. Последовательность комплексных чисел (с„= а„+Ьйи) называется сходя щейся к пределу с= а+гРЬ (коротко: 1пп с„=силн си-ьс, и-+Со), если для любого в ) О существует положительное число А!(в) такое, что (си — с((в при и) А!(в). Так как (аи — а(((си — с((в и (Ьи — Ь( ( ((си — с((е при и) И(в), то 1пп аи=а и !пп ЬИ=Ь. Йтак,два последних соотношения являются следствием того, что Иа (а„+!Ьи)=- =а+И. Обратно, если Иа аи= а и Иа ЬИ=Ь, то тогда и + со и "Ь со (аи — а(( = и (Ьи — Ь(( = при п) М,(е); поэтому ус2 (а„+!Ьи — (а+ !Ь)(= (си — с(=)сс(аи — а)г -(- (Ьи — Ь)г (в при п) М,(в), т.
е. Иа си=с. Следовательно, соотношение Иа (аи+ гЬ„) = а+ И эквивалентно двум соотношениям: Иа аи= а и!Ип" Ь„=Ь. Это замечание и -Ь оо и -Ь со позволяет перенести всю теорию пределов последовательностей действительных чисел на последовательности комплексных чисел. Так, например, получается следующее необходимое и достаточное условие сходимости (критерий Коши): для каждого в) О существует А!(в) такое, что (си+,— с„((в, если и) М(в) и р — произвольное натуральное число. Далее, если Иа с'„= с' и 1пп с'„= с", то и -> со и -ьсо / l си с Иа (с'„-+ си)=с'~ с", Иа (с'„° с'„')=с'.с", Иа — "„= — „ и-ьсо и-Ьсо и.ь с„с (последнее при условии, что с„" + О (и = 1, 2, ...) и со + О).
Назовем р-окрестностью точки с внутренность круга с центром с и произвольным радиусом р. Очевидно, что точка г принадлежит этой окрестности тогда и только тогда, когда (г — с( ( р. Теперь определению предела последовательности (с„) можно придать следующую геометрическую форму: последовательность (с„) называется сходящейся к пределу с, если для любого в) О все точки последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат в-окрестности точки с.
Предлагаем читателю доказать, что из Иа си=с всегда слеп-~се дует, что 1пп (си(=(с(. Если, кроме того, с + О, то существует 4, БЕСКОНЕЧНОСТЬ И СТЕРЕОГРАФНЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ 15 — =О, а СО а — = СО. 0 О со Операции ОО -+- со, 0 со, —, — объявляются лишенными смысла. 'О' сю Чтобы получить геометрическое изображение числа со, прибегают к представлению комплексных чисел точками сферы. ПОСЛЕКОзатЕЛЬНОСтЬ ЗНаЧЕНИИ арГуМЕНтОВ Сон ПрЕдЕЛ КОтсрОй раВЕН одному из значений аргумента с; в качестве такой последовательности можно брать последовательность главных значений аргументов за исключением случая, когда с ( О, а среди с„ встречается бесконечно много точек, расположенных как выше, так и ниже действительной оси. Указанное здесь свойство аргументов последовательности !с„) условно записывается так: Иш Агясо = Асс.
Обратно, если последа -+ со нее условие выполнено и если, кроме того, Иш ! с„( = ! с (, то о + со 1нп с„=с. о .+ со 4. Бесконечность и стереографическая проекция. Для нужд теории аналитических функций к описанным выше с о б с т в е н н ы м (конечным) комплексным числам добавляют еще одно несобственн о е (бесконечное) комплексное число, обозначаемое символом со; оно называется бесконечностью или бесконечно удаленной точкой. Обращение с бесконечно удаленной точкой основывается на следующих определениях и правилах.
р-окрестностью точки ОО называется внешность круга с центром в начале координат н радиусом р. Очевидно, что точка г принадлежит этой окрестности тогда и только тогда, когда !я! ) р. ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ ! Со) НаЗЫВаЕтея СХОдящвйея К СО (КОРОТКО Иш с„=сю), если для любого р ) 0 все ее точки, начиная с некоторого номера, принадлежат окрестности !е~ ) р бесконечно удаленной точки. Иными словами, для любого р) 0 существует А!(р)) 0 такое, что (со))р, если и)М(р); следовательно, условие Иш с„= сс о.+ со ЭКВИВаЛЕНтНО УСЛОВИЮ !НП (Со)=+СО. ЗаМЕтИМ ЕЩЕ, ЧтО В СЛУЧаЕ, когда с„чь О, условие Иш с„= со эквивалентно условию Иш — = О.
1 о.+ о с„ Для несобственного комплексного числа понятия действительной и мнимой части, а также понятие аргумента не вводятся, точнее говоря, объявляются лишенными смысла (заметим, что понятие аргумента не имеет смысла и для числа 0). Что касается модуля числа со, то для него используется символ + со: !ОО ~ = + со. По определению устанавливается смысл следующих операций, в которых участвуют со и собственные комплексные числа а и п(п Ф 0): ОО а=а-+-СО=СО, СО К=К ° СО=СО СО=СО, 16 гл, ь комплзксныв числа н их гвометгичзскоз пгздстлвлениз Опишем для этого из точки О комплексной плоскости г, как из центра, сферу радиуса 1 (черт.
3). Введем для наглядности географическую терминологию. Окружность, по которой сфера пересекается комплексной плоскостью, назовем экватором, прямую, проходящую через О и перпендикулярную к плоскости, — осью сферы, а точки Черт. З. И н 5, в которых ось встречает сферу, — северным и южным полюсами соответственно. Далее будем пользоваться понятиями н терминами: северное и южное полушарие, меридианы, параллели, широта р и долгота )..
Отсчет широты ведется от экватора в пределах от — — (южный полюс) до — (северный полюс). Отсчет долготы 2 2 ведется в плоскости экватора от положительной части оси Ох в пределах от — и (исключительно) до я (включительно); при этом положительным направлением считается направление против часовой стрелки, если смотреть на экватор со стороны северного полюса. Будем теперь .соединять точку М с различными точками сферы прямолинейными лучами с началом в И и отмечать на каждом луче точку встречи его с плоскостью. Таким образом, все точки сферы, за исключением точки дГ, спроектируются на плоскость. Эта проекция (центральная проекция с центром в дГ) называется стерео- графической; она издавна употреблялась сначала в астрономии, а затем в географии,для изображения небесной или земной сферы на плоскости.
С помощью стереографической проекции каждую точку сферы (кроме М) можно рассматривать как изображение соответствующей точки плоскости и вместе с тем как изображение комплексного числа, представленного этой точкой плоскости. Выясним, как связаны широта и долгота точки сферы, изображающей комплексное число г = г(сов и+ Г з!и к) (а = ага л), с модулем и аргументом этого числа. Из черт. 4 заключаем, что ОБА = 4 + †. и, следовательно, 2 г = 1д ~ — + — ~; кроме того, очевидно, что а = 1; отсюда /я ~4 2!' 4 ввсконвчность и стеввогвлвичаскля провкция 17 =2~гсгдг — 4, Л х.
Если для последовательности !г„), для котоРой ~г„1= гч, выполнено Условие Иш ля=со, то !Ип г„=+со и "р сО и.р сО и, следовательно, Иш <рч = !пп 2 агсгд г„— —,2) = —, Таким ч +со»-+о» образом, точки сферы, изображающие числа я„, неограниченно приближаются к северному полюсу й7. л Справедливо и обратное: если ~р„-р — Ф У (каковы бы ни были значения долгот Л„), то г„=!я ~ — '+ —,~ -р Ля ч„! .4' -++со и, следовательно, Иш л„= = со .
Естественно поэтому усло- Р виться рассматривать точку 7ч' как а=.а изображение на сфере бесконечно 42 удаленной точки. С этим условием Черт. 4. вполне согласуется то обстоятельство, что окрестность !г~ ) р бесконечно удаленной точки на плоскости изображается на сфере около- полярной областью р ) 2 агс!К р — †; при р -+ со эта область стя- 2 ' гивается к северному полюсу. Комплексная плоскость, к которой мысленно присоединяется единственная бесконечно удаленная точка, называется р а с ш и р е н н о и комплексной плоскостью, или, короче, расширенной п л о с к о с т ь ю. Геометрически наглядным представлением расширенной плоскости яВляется вся сфера.
Комплексная плоскость, образованная лишь собственными (конечными) точками, называется конечной комплексной плоскостью, короче, конечной плоскостью. Из предыдущего следует, что конечную плоскость можно наглядно представить сферой, из которой исключена одна точка, а именно точка Лг. Отобразим сферу зеркально в ее экваториальной плоскости, при этом сфера перейдет в себя так, что северное полушарие перейдет в южное (и обратно), северный полюс — в южный (и обратно); экватор перейдет сам в себя. Вообще каждая точка с географическими координатами (е, Л) перейдет в точку ( — х, Л). Этому отображению сферы на себя будет соответствовать отображение расширенной плоскости на себя, при котором точка г с координатамн г = гя! — + — г! н х = Л перейдет в точку в' с коор- '!4 ' 27 динатамн г' = !д ~ — — — ) и х = л = х.
Очевидно, что л н г сва- г !4 2) 2 злк !бза л и маркгмеврч !8 Гл. н комплвксныв числА и их гвомяггическов пгвдстлвлвнив 1 заны соотношением г г'= 1, т. е. г'= —...Этопреобразованиепереводит внешность единичной окружности во внутренность (и обратно) и, в частности, точку со в 0 (и обратно).
Единичная окружность переходит при этом в себя. Преобразование е'= = можно рассматривать как преобразование симметрии расширенной плоскости относительно единичной окружности или зеркальное отображение в единичной окружности. Такая точка зрения оправдывается посредством рассмотрения того, что происходит при этом на сфере. Поэж« (гл. !И, п. 8) мы дадим более общее определение преобразования симметрии расширенной плоскости относительно произвольной окружности плоскости. 6. Множества точек на плоскости. Напомним некоторые известные из курса анализа определения и свойства множеств точек на плоскости и несколько дополним их в интересах дальнейшего изложения.
Точка гь называется п р е д е л ь н о й для некоторого множества Е, если каждая окрестность этой точки содержит бесконечное множество точек, принадле>кащих Е. Множество Е точек плоскости называется о г р а и и ч е н н ы м, если все его точки заключаются внутри некоторого круга с центром в начале координат. Множество Р (ограниченное или неограниченное) называется з а м к н у т ы м, если ни одна точка, не принадлежащая Р, не может быть предельной для него. Иными словами, замкнутое множество либо совсем не имеет предельных точек, либо содержит все свои предельные точки.
Каждое бесконечное ограниченное множество Е имеет, по крайней мере, одну предельную точку (теорема Боль цапов В е й е р ш т р а с с а). Если бесконечное множество Е неограниченно, то тогда имеются лишь две возможности: либо некоторый круг (г( <)ч> будет содержать бесконечное множество точек из Е, а следовательно, и предельную точку этого множества, либо в каждом таком круге будет находиться конечное число точек из Е, тогда бесконечное множество их будет лежать в любой окрестности )е( ) )г бесконечно удаленной точки и, следовательно, со будет предельной точкой Е. Итак, в расширенной плоскости гчждое бесконечное множество имеет, по крайней мере, одну предельную точку (конечную или бесконечно удаленную), Пусть,'К( — мнозкестео кругов, образующих покрытие ограниченного замкнутого множества Е, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
