А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 10
Текст из файла (страница 10)
13. Гидромеханическое истолкование аналитической функции. Будем рассматривать установившееся плоско параллельное дв иж ение несжимаемой однородной жидкости (газа). Это двнженне характеризуется тем, что скорость каждой частицы жидкости представляется вектором, параллельным одной и той же плоскости (х, у) и зависящим лишь от координат х н у проекции частицы на эту плоскость (т. е. не зависящим нн от третьей координаты ~, нн от времени). В таком случае достаточно следить лишь за движением проекций частиц жидкости на плоскости (х, у), т. е, рассматривать все движение как плоское. Сообразно с этим мы н будем говорить о движении жидкости в плоскости (х, у). Пусть 0 — область плоскости, занятая движущейся жидкостью. Замкнутое множество Р, дополнительное к 0 относительно плоскости, можно рассматрнвать как совокупность проекций цилиндрических твердых тел, обтекаемых жидкостью в пространстве.
Мы будем называть зги проекции пуосто тв е рдымн телами, обтекаемыми жидкостью. В атон схеме. они являются неподвижными. Но к втой же схеме можно свести н случай поступательного прямолинейного и равномерного движения твердого тела (нлн системы твердых тел) в жидкости. Лля этого достаточно в силу классического пРинципа Галилея сообщить всей жидкости в целом постоянную по величине н направлению скорость, равную скорости любой точки тела.
Тогда жидкость в бесконечности вместо того, чтобы покоиться, будет иметь ту же скорость, а обтекаемые тела можно будет рассматривать как неподвижные. Пусть л (х, у) н о (х, у) — проекции вектора скорости частицы жидкости, "ахоллщейся в точке (х, у), на координатные осн (зти функции предполагаются непрерывными). Рассмотрим какую-либо дугу Т гладкой кривой, соеднллющУю лве точки г и лз области О.
Если Яа — элемент дУги Т и и — направление нормали к Из, проведенной так, что и остается справа от дуги т прн обходе ее от точки л, к точке вв, то площадь параллелограмма, построенного 46 гл. и. егнкцни комплвксного пигвмениого пгоизводнхя За мечая, что при наших условиях угол и, х превышает на — и. угол Г, между касательной к Т, проведенной в направлении обхода этой кривой, и действительной осью, получаем, что газ(п, х).†.
ми (х, Г) = й'г Аналогично соз (и, г) =- — соз (х, Г] = —— а'з С ледовательно, указанный интеграл можно представить в виде ) Г ау ах) Г (и — — о — ( г(з = — о а'х + и а'у. Фз 1 (14) П олученная величина называется потопом жидкости через кривую (, Если кривая замкнута и на ней выбрано положительное направление так, что внутренность кривой остается слева от наблюдателя, обходящего крив ю в атом направлении, то нормаль и направлена во внешность кривой . ()оэтому поток через элемент г(з границы является положительным, если Ъ жидкость вытекает через аз изнутри т, и отрицательным, если она втекает во внутренность р Предположим, что внутренность т принадлежит области 6, занятой текущей жидкостью, причем здесь не содержится нн н с т о ч н н к о в, откуда жидкость могла бы появляться, ни с т о к о в, куда она могла бы убывать. Тогда общая величина потока через т лолжна равняться нулю: — о а'х (- и Лу = 0 П 1рименяя зто заключение ко всем замкнутым кривым произвольной одно- связной подобласти у~ Я не содержащей ни источников, ни стоков, заклю.
чаем, что поток жидкости через любую дугу, принадлежащую втой области, не зависит от вида этой дуги, а зависит только от выбора ее концов лги х. иа из и векторе скорости и+ (о, равна, очевидно, произведению йэ на п о екцию этого вектора на нормаль, т. е. а про[и соэ (и, х) -~- о соэ (и, у)[ аз. (и ) ост ый тол, Эта величина будет иметь знак +, если вебстер скорости составл яет с и па алл а р угол, и знак —, если этот угол тупой.
Очевидно, что ук й азанны пеасв о р елогр мм можно рассматривать как основание прямого парал д ыс той, равной единице (перпендикулярной к плоскости ху). Объ лелепи. этого па л ра лелепипеда совпадает по абсолютной величине с числом (13), ъем которое представляет, следовательно, взятый с определенным знаком объем количества жидкости, принадлежащей слою высотой, равной единице, парал- лельному плоскости (х, у), протекающей за одну секунду через площадку, проектирующуюся в элемент г(з.
Общее количество жидкости, принадлежащей укаэанному слою и протекающей за одну секунду через цилиндрическую площадку, проектирующтюся в дугу Ъ будет равно [н сох (и, х) -4- о соэ (и, )')[ из. „ндромнхлническоь: истолкования ьналнтнчнской еункцни 47 д „.стим, что и и о обладают непрерывными частными производными, Допуст Тогда из из полученного условия будет вытекать, что ) ди д( — о) дх ду (!5) Это — второе уравнение Даламбера — Эйлера для пары функций и и — о. Его физический смысл заключается в том, что оно выра;кает отсутствие вихрей в рассматриваемом движении жидкости (в подобласти д ~ 6).
Вообще в и х- р е м с к о р о с т и и + 1о в плоском движении н аз ывдется вектор, перпен- дикулярный к плоскости (х, у) и имеющий проекцию на третью координатную до ди ось ь, равную — — —. Вихрь скорости характеризует яращательное дви.
дх ду ' жение частицы жид|гости. Если предположить, что частица жидкости отвер- дела бы, то >тловая скорость ее вращения в точке (х, у) имела бы значе- 1 (до ди1 ние — ! — — — ). Таким образом, отсутствие нихрей в данной области и 2 'тдх ду)' означает, что частица жидкости в каждой точке этой области может иметь только поступательное лвнжение и подвергаться некоторой леформации, не испытывая вращения, рассматриваемого как одна из компонент движения в данной точке, В случае отсутствия вихрей уравнение (17) выполняется, и следовательно, циркуляция скорости обращается в нуль для любой замкнутой кривой.
Предполагая, что в данной подобласти и ~ 6 выполнены одновременно Уравнение (15) (что предполагает отсутствие источников и стонов) и урав- нение (17) (что предполагае~ отсутствие вихрей), найдем, что функция и -1- ( — о) 7 = и — 1о, сопряженная со скоростью двщкепня ~астнцы жидкости, является аналитической функцией точки л = х+ !у. В дальнейшем (п 7 гаазы 1() будет показано что ка.кдую функцию аналитическую в односвязной области конечной плоскости, можно рассматривать как производную некоторой однозначной аналитической функции.
Так как и — односвязная область, то и — 1о ьюжно рассматривать как производную однозначной аналитической в этой области функции у(л), определяемой с точностью до произчольиого постоянного счягаемого. ч) Гм. сноску на стр. 43. 5(ы получили так называемое уравнение неразрывности для несжимае. т жнмаемой ткидкостп, Очевидно, что оно совпадает с одним из уравнений д ламбера — Эйлера для паРы фуякций и (х, у) н — о (х, у). Чтобы придти Делам „агом) уравнению Талаыбера — Эйлера, рассмотрич интеграл и дх Д- о ну, (1б) взвт ятый вдоль замкнутой кривой -(. Выралсеннс идх+ оду представлиет п оекцию вектора скорости на элемент дз дуги 1 (точнее, произведение проекции скорости на касательн)чо, проведенную в направлении обхода кри.
ой и длины дз элемента дуги). Интеграл (1б) называется ц и р к у л я ц и,е й к о р о с т и вдоль кривой у. Предположим, что в некоторой односвязной подобласти иг 6 циркуляция скорости равна нулю для любой замкнутой кривой, принадлежащей 6. Тогда, очевидно, в данной области должно выполняться условие ди д( — о) ду дх 40 гл, и.
пункции комплнкбного пввнмвнного, пвоизводная Зта функция, удовлетворяющая условию )т(л) =и — (о, называется комплексным потенциалом или характеристн. ческой фундцней течения. Положим (18) У(г) т (х у)+(ф( ' )') Тогда )" (л) .— +(-'- — — )— де д6 дф дт дх дх ду ду и, следовательно, дт дф — =и, — о дх ' ду дф дф о и, дх ' ду Первая пара полученных соотношений показывает, что и(х, у)-.действа.
тельная часть комплексного потенциала — есть потенциал скоростей в рассматриваемом движении. Очевидно, что для него имеем следующее представление: о(а в) У) й(хе. Уе) ~ идх-(-оду (~о, ва) Из второй пары соотношений следует, что (е в) ф(х, У) — ф (ха Уе) ~ — о их+ и дУ, (и~ ва) т. е. Разность двух значений функции ф (х, у) равна потоку жидкости через дюбую кривую, соединя(ощую те точки, в которых берется разность. Функция ф(х, у) — мнимая часть комплексного потенциала — называется ф у н к ц и ей тока.
Рассмотрим два семейства кривых: 'т(х, у) совы (19) (20) ф(х, У) = сопш. Этн семейства в плоскостн значений функции С= У(х) изображаются семействами координатных прямых Е = сола( и ч сопя(. Так как последнне взанмно ортогональны, то н семейства кривых (19) н (20) взаимно ортогональны в силу конформности отображения ь У(л) (зто заключение имеет снлу только там, где )"(л)ФО, т. е. где скорость частицы отлична от нуля).
Кривые (19) характеризуются тем, что для ннх — а'х + — а'у О, дф ду дх ду т, е. и дх + о ду * О. (21) Это кРнвые Равного потенциала. Дла кРнвых (20) хаРактеРно соотношеине о их+ ду' 0 дф дф х ду гидромнханнчкскоп истолковании аналнтичкской еуикцнн 49 т. е — о с)х + и )(у = 0 или ах ~у (22) Они называются линиями тока. Из уравнения (21) следует, что вектор скорости и + уо в тех точках, в которых он отличен от нуля, направлен ио нормали к соответствую:цен и„ии равного потенциала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
