А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

себе задачу найти дробно-линейную функцию, осущетеляющую это преобразование, и предположим сначала, что г,, г, " гз — конечные точки и что то! =!), тв,= со и из=1. Для того чтобы дробно-линейная функция ае+ Ь ш= Л(г)=— се+ д 6.

инварилнтность двойного отношения обращалась в нуль при г=г, и в оо при г=г,, необходимо и достаточно, чтобы г=г, было нулем числителя аг-(-Ь, т. е. числитель имел вид а(г — г,) н г=г, было нулем знаменателя, т. е. знаменатель имел вид с(г — г,). Поэтому искомая функция должна иметь вид а с — г1 зд = с г — гз Но при г=гв зв должно равняться единице. Из уравнения а гв — г1 1= — ° получаем: 'в 1. гв — г1 гв — '(гз откуда По доказанному, функция С=Л,(зв)= ~1; ' ' преобразует ус — гсз ыв — гсз точки ш„твз и зев в точки О, со и 1. Поэтому функция Л1Е(г) преобразует точки г„г, и гв в точки О, оо и 1, т.

е. Л1Л(г) = Л(г) = —: Из соотношения следует, что Л1Л Л Л (ЛД=Л Л, т. е Л=Л,-'Л (так как Л, ~(Л1Е)= (Л, 'Л1)Л=(Д,— Л) Последнее соотношение решает задачу, так как преобразования Л и Л, — известные: Л (~) ь г1 . гв г1 Л (~) ч гс1, я11 — я11 гз гв гз у — грз уев — аз Впрочем, для изучения преобразования оу=Е(г) удобнее пользоваться прямо соотношением Л,Е (г) = Л (г), 5 Звв 1ВЗВ. А. И.

Марвушеввч Л( ) г — л1 1 гв — г1 г — гз гв — гз Это и есть искомая дробно-линейная функция, переводяшая точки г„ гз и гв соответственно в точки О, оо и 1. Пусть теперь оу„ таз и звз †произвольн (различные) конечные точки и за = Е(г) †дроб-линейное преобразование, удовлетворяющее условиям Л (г,) = зви 1.(г,) = пуз и А (гз) = зв,. 66 гл. ш. элзмвнтланыз елнкции и конеовмнын отовнлжзния откуда после замены !'.(г) на ш следует: Л,(тв) =Л(г), или н! — и!! теа — та! г — г, га — г! (3) те 'мтла тла — жз г га га — гз Это уравнение дает дробно-линейную функцию тп=ь(г) в неявном виде. Мы решили нашу задачу в предположении, что все точки г„г,, г, тв„тиа и и!а — конечные. Если, например, г,=со, то функция Л (г), преобразуюшая точки г, = со, г, и г, в точки тг! = О, твз = со и тва = 1, принимает вид Л(г) = —: '). 1 1 г — г,' га — гз Поэтому уравнение (3) заменяется уравнением и! — нч н!а — тл! ! 1 (4) и! — и!з тла — н!а' г — гз га — га (в предположении, чтоточките!, тв и теа — конечные).

Если г,=со, то функция Л(г), преобразующая точки г,, г =сю и гз в точки те!= О, лил=со „и таз=1, принимает вид Л (г) = (г г!) ° (гз г!) и, следовательно, уравнение (3) заменяется уравнением те! . н!а — те! = (г — г,): (гз — г,). и! тез ма и!а Л(г) = — ' за и уравнение (3) заменяется уравнением Ф вЂ” тл! ю ~ — и!! 2 — г! и! и!з ыа тла (6) ") К атому выражению можно придти, если, считая г! конечным, переписать г — г, г! — г! га га гз н виде 2 га — — 1 — — 1 г! г! га га гз и затем перейти к пределу при г! -ало.

Если га — — со, то функция Л (г), преобразующая точки г„ гз и га = 'со в точки тв! = О, твз = со и тва = 1, принимает вид 6, инвлгилнтность двойного отношения Подобным же образом левую часть уравнения (3) нужно заменять через 1 1 гяа шв геа ( ' ) (ша ) га — э, га — газ в зависимости от того, будет ли тс, = со, тс, =ягоо либо тва = со. В результате приходим к следующему мнемоническому правилу: если гл — — со или тс, = со (Ф = 1, 2, 3; Р = 1, 2, 3), то в уравнении (3) разности. в которых фигурирует вв или шн нужно заменять через единицу. Читатель легко подтвердит справедливость этого правила с помощью предельного перехода в уравнении (3) (при гл-+со или та~-+ со).

Из уравнения (3) вытекает важное общее свойство дробно-линейных преобразований. Пусть а, Ь, с и с1 — произвольные различные (конечные) комплексные числа. Назовем отношение с — а ~ — а е — Ь'~ — б двойным или ангармоннческим отношением четырех ч и с е л и л и т о ч е к а, Ь, с и д. Отношение это будем обозначать символом (а, Ь, с, г1): (а, Ь, с, сУ) = с — Ь'а — Ь Определение двойного отношения мы распространим и на тот случай, когда одна из четырех точек а,. Ь, с, д будет бесконечно удаленной.

Именно двойным отношением четырех точек, среди кото- рых одна †бесконеч удаленная, мы будем называть предел двой- ного отношения четырех конечных точек, из которых три совпадают с заданными точками, а четвертая стремится к бесконечно удаленной точке. Следуя этому определению, будем иметь: ( Ь с 1)= ь.„ Ь (а, оо, с, 0) =(с — а): (а — а), (а, Ь,, 1)=1:" „Ь, (а, Ь, с, со) = —. с — Ь' Пусть теперь ш=Е(я) — произвольное дробно-линейное преоб-' разование. Обозначим через А. В, С и 0 точки, в которые опо преобразует какие-либо четыре различные точки: а, Ь, с и с(. Так как три точки а, Ь и Ы преобразуются в' точки А, В и О, то ш =Л(г) 68 гл.

ш. элвментлгныя езнкции и коньогмныв отовглжвния н г будут связаны соотношением (3): ге — А Р— А г — а й — а гс — В' Р— В г — Ь 'а — Ь' в котором нужно заменять через единицу те разности, где фигурирует бесконечно удаленная точка. Полагая в= с, мы должны положить то=С (так как при нашем преобразовании точке с соответствует точка С). Следовательно, тС вЂ” А Р— А с — а и — а С вЂ”  Р—  — с — Ь'й — Ь (разности, в которых фигурирует бесконечно удаленная точка, должны быть заменены через единицу), или (А, В, С, Р)=(а, Ь, с, й). (7) Итак, при дробно-линейном преобразовании двойное отношение любых четырех точек не изменяется; иными словами, двойное отношение является инвариантом линейного преобразования. 7. Отображение областей, ограниченных прямыми или окружностями. Опираясь на круговое свойство дробно-линейного отображения и на возможность отобразить любую тройку точек сы ег, вз в другую, наперед заданную тройку м|г тег, тсз, докажем следующее предложение: Каковы бы ни были прямые или окружности ( и Г и две тройки.

точек г,, гг, гз и ян тсг, твг, принадлежащих соответственно ( и Г, существует дробно-линейная функиия те= Е(я), отображающая ( на Г так, что точки яы яю ез отображаются соответственно в ш,, то,, я . В самом деле, построим дробно-линейную функцию та= Е(я), удовлетворяющую условиям (,(хЗ) =а~у (у =1, 2, 3). По-предыдущему такая функция существует и является единственной, удовлетворяющей этим условиям. Прямую или окружность у она отображает на некоторую прямую или окружность Г. Но ( проходит через точки ям г, и яг, поэтому Г' проходит через точки твы еа и тв„и так как через три точки нельзя провести двух различных прямых или окружностей, то Г' совпадает с Г.

Итак, те=(,(е) удовлетворяет всем условиям высказанного предложения. Возьмем снова произвольные прямые или окружности у и Г (различные или совпадающие) и пусть д — одна из двух областей, ограниченных линией (, а 0 в одна из двух областей, ограниченных линией Г. Очевидно, та и другая могут быть полуплоскостью, внутренностью окружности или внешностью окружности. Выберем произвольную тройку точек яы ег и хв на ( и предположим для определенности, что при движении наблюдателя вдоль ( в направления от точки г, к гв через точку в область й остается слева от него.

Пусть то„ гвг и мз †трой точек на Г такая. что прн передвнже 7. отоввлжвнив овллствй, огвлничвнных пгямыми или окияжностями 69 нии наблюдателя вдоль Г в направлении от точки ш, к из через точку тэ, область 0 остается слева от него. В остальном точки тэы тэз и тяа остаются произвольными. Образуем, как это было показано выше, дробно-линейную функцию тя= Ь(г), удовлетворяющую условиям а~3 — — Ь(л.) (г'=1, 2, 3) и, следовательно, отображающую т. на Г. Покажем, что эта функция отображает также область л на область О.

Действительно, если 3 есть отрезок нормали к линии т, проведенной через точку г, внутрь области я, т. е. влево от наблюдателя, находящегося в точке гз и смотрящего вдоль ( по установленному выше направлению, то в силу конформности отображения и = Е(г) образ Ь этого отрезка (он будет отрезком прямой или дугой окружности) также 'направлен влево от наблюдателя, находящегося в точке тэ, и смотрящего вдоль 1' в установленном на Г направлении (черт. 13). Следовательно, по условию Ь будет прииад- Черт. 13. лежать О.

Итак, мы установили уже, что область 0 содержит образы некоторых точек, принадлежащих л (а именно образы точек отрезка 3). Но по п. 5 1(я) есть одна из областей, граница которых совпадает с образом границы области л, т. е. с Г=С(Т). Так как таких областей только две и одна из них 0 содержит образы точек области л, то она и есть искомый образ этой области я: 0 = ь(а) Поясним изложенное примером. Пусть нужно конформно отобравить верхнюю полуплоскость у ) О иа внутренность единичного круга. Для решения задачи полагаем, например, л, = — 1, л = О и л, = 1, так что полуплоскость остается слева от наблюдателя, идущего по действительной оси в направлении от я, к яа через л,, и выбираем на единичной окружности также три точки: шы тяя и еэа так, чтобы внутренность круга оставалась слева от наблюдателя, идущего по окружности в направлении от ш, к тва через тв .

Можно взЯть длЯ пРостоты Я, = 1, тэа = 1 и тп = — 1. Тогда линейное отображение, удовлетворяющее условиям пЧ = Е(л~) (у = 1, 2, 3), 70 гл. пь злемвнтлгныв егнкции и конеогмныв отозглжания и будет искомым. Его можно представить з виде ге — 1 — 1 — 1 л-~-1 1+1 га — 1' — 1 — 1 г ' 1 или л — 1 та= 8. Симметрия и ее сохранение. Пусть г, и г,— две точки, симметричные относительно некоторой прямой 7. Тогда центр произвольной окружности 3, проходящей через я, и я,, будет лежать на Т и, следовательно, 6 будет ортогональной к Т. Ортогональной к Т бУдет и пРЯмаЯ, пРоходащаа чеРез г, и гз.

Характеристики

Список файлов книги