А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Легко видеть, что справедливо и обратное: если любая окружность нли прямая, проходЯщаа чеРез паРУ точек г, и га, оРтогональна к пРЯмой Т, то Я, и аа симметричны относительно т. Отобразим плоскость посредством дробно-линейной функции тв= 7.(л) так, чтобы прямая 7 перешла в некоторую прямую или окружность Г. Тогда пара точек я, и лз, симметричных относительно Т, пеРейдет в некотоРУю паРУ точек та, и вз, а каждаЯ окружность или прямая а, проходящая через л, и г„ перейдет в окружность или прямую Ь, проходящую через м, и юа, и обратно: любая прямая или окружность, проходящая через тв, и тп„ будет образом некоторой прямой или окружности, проходящей через г, и за. В силу симметрии точек я, и за относительно т и конформности отображения тв = ь(г) прямые и окружности, проходящие через пь и тпа, все будут ортогональны к Г. Если, следовательно, Г будет прямой линией, то точки я, = 7.(л,) и таз = 7.(аз) будут симметричными относительно Г.

Обобщая понятие симметрии, назовем две точки симметричными относительно окружности, если любая прямая или окружность, через них проходящая, ортогональна к данной окружности. Тогда можно будет сказать, что если прямая 7 отображается посредством дробно-линейной функции те=(.(г) иа окружность Г, то любая пара точек, симметричных относительно прямой, отображается в некоторую пару точек, симметричных относительно окружности, и обратно.

Отсюда следует, что по данной окружности Г и точке я, точка, симметричная с тп, относительно Г, определяется единственным образом. Действительно, если бы существовали две различные точки тв и таз', симметричные с я, относительно Г, то при дробно-линейном отображении Г на пРЯмУю Т точки тип тв, и тв', пеРешли бы в очки а,, г, и з' ~ г,, причем а и л, а.

также л и л, 'были бы симметричными относи- 1 2' г тельно Т, что, очевидно, невозможно. Приведенные здесь рассуждения об отображении прямой Т на прямую или окружность Г переносятся без всяких изменений на 71 8. симмвтгия и ее сохвлнвнив случай, когда окружность отображается на окружность, и мы получаем, что при дробно-линейном отображении любая пара точек, симметричных относительно окружности 7, отображается в пару точен, симметричных относительно окружности Г, являющейся образом 7.

Итак, мы пришли к следующему общему свойству сохранения симметрии при дробно-линейных преобразованиях: Если точки г, и г, симметричны относительно некоторой прямой или окружности 7, то при любом дробно-линейном отображении то=7.(г) ик образы чо, и чо будут симметричными относительно образа 7: Г=ь(7). Отметим частный случай этого, предложеиия. Пусть 7 отображается на окружность Г и г,— точка, отображающаяся при этом в центр ш, окружности Г. Тогда точка гь, симметричная с должна отобразиться в точку чо расширенной плоскости, симметричную с ш, относительно Г. Но такой точкой является бесконечно удаленная.

В самом деле, прямая, соединяющая чо, н чеь = со, т. е. любая прямая, проходящая через центр окружности Г, ортогональна к Г. В силу единственности симметричной точки (для данной точки относительно данной окружности) со и только она одна будет симметричной с центром окружности Г относительно Г. Пусть 7 †произвольн прямая или окружность. Преобразование расширенной плоскости, заключающееся в том, что каждая точка г преобразуется в точку г', симметричную с г относительно 7, называется преобразованием симметрии относительно 7, или зеркальным отражением в-7. В случае, когда 7 есть окружность, это отображение называют также и н в е р с и е й относительно 7.

Дадим аналитические выражения для преобразования симметрии. Пусть сначала 7 есть прямая. Она вполне определяется некоторой своей точкой а и единичным вектором а =сов 8 + 1 з1пО, по ней направленным. Выполним линейное преобразование г = а + ачо = 1(то), очевидно отображающее действительную ось плоскости (чо) на нашу прямую. Так как отображение то=1 '(г) преобразует 7 в действительную ось, то оно отображает каждую пару точек г н г*, симметричных относительно 7, в пару точек ш и ш*, симметричных относительно действительной оси. Последние выражаются сопряжена ными комплексными числами ш =1 и чо'= — К Поэтому г — а = ас, -ьили г — а=И=и 1, и г* — а=ам'=ас. Исключая с из двух последних равенств, получаем: у" — а =а'(г — а). (в) 72 гл.

ш. злементАРные Функции и конФОРмные ОтОБРАжения Это уравнение показывает, что для выполнения преобразования симметрии относительно прямой 7, проходящей через точку а под углом 0 к действительной оси, следует от вектора г — а перейти к симметричному с ним относительно действительной оси вектору г — а и затем повернуть последний около точки а на угол 20. , Рассмотрим теперь преобразование симметрии относительно окружности Г с центром в а и радиусом 7! (О ~ й ( ОО).

Выполним дробно-линейное преобразование, отображающее Г на действительную ось. Проще всего взять отображение я=а+!с' =7.(тв), 1+ НР 1 — пе которое точкам действительной оси тг, = — 1, тв, = О и шз = 1 ставит в соответствие точки окружности 1": г, = а — Я, гя = а + Я и гз= а+ Я и, следовательно, отображает действительную ось на Г. Обратное отображение: ш= 1, '(г) преобразует Г в действительную ось и каждую пару точек г и г', симметричных относительно Г> преобразует в пару точек тя и тв', симметричных относительно действительной оси. Так как ти и тв' изображаются сопряженными комплексными числами тв = ! и ш' = 1, то г — а = Й 1+и 1 — м — 1 — 12 1+к или г — а=71= и г' — а =7!=.

Перемножая почленно по- !+Ы 1 — М следние два соотношения, найдем: (г — а)(г* — а) = !сз или г' — а ==. г — а (9) Агд(г' — а) = — Ати(г — а) = Агд(г — а) и. во-вторых, что ! г' — а ! ° ~ г — а ~ = !са. Следовательно, точки г" и г лежат йа одном и том же луче, выходящем из центра, и иа таких расстояниях от центра, произведение которых равно квадрату радиуса. Этими двумя условиями, или, что то же самое, формулой (9), вполне определяется положение одной из точек г, г' по заданной другой точке, т.

е. преобразование В частности, преобразование симметрии относительно единичной окружности !г~ = 1 имеет вид г = =; мы рассматривали его в и. 4. г главы 1. Из (9) вытекает, во-первых, что гз 9. пгимввы инверсии относительно окружности ! г — а ! = )с. Предлагаем читателю установить доказанное свойство точек, симметричных относительно окружности, элементарно геометрическими рассуждениями. Из равенств (8) илн (9) следует, что обиЬее преобразование симметрии сводится н последовательно произведенным линейному (целому или дробному) преобразована)о а затем преобразованию симметрии относительно действительной оси. Так, например, преобразование симметрии относительно прямой можно, представить в виде г, = а + аэ (е — а) (10) а преобразование симметрии относительно окружности †виде — )1э г,=а+— г — а (11) .Так как линейное преобразование является конформным и обладает круговым свойством, а преобразование симметрии относительно действитедьной оси обладает теми же свойствами с тем единственным различием, что, сохраняя величины углов, оно меняет направления их отсчета на противоположные, то и преобразование симметрии в самом .

общем случае обладает указанными свойствами. А именно оно является конформным отображением второго рода и преобрааует прямые и окружности в прямые или окружности. 9. Примеры. Иллюстрируем двумя примерами применение свойства сохранения симметрии при дробно-линейных отображениях. П р и м е р 1. Отобразить коиформно верхнюю полуплоскость на внутренность круга (тэ! ()с так, чтобы заданная точка а полуплоскости перешла в центр круга: та=О. Искомая функция, если она существует, обращается в нуль при л= а:1.(а)=0. Итак, мы. внаем нуль л=а функции Е(я). Но точка а, симметричная с и относительно действительной оси, должна отображаться в точку, симметричную с центром окружности относительно самой окружности, т. е. в бесконечность.

Поэтому Е(л) имеет вид тв Л(л)= — — =) '= ° а(е — а) е — и е(е — в) е — а (12) где )ь †комплексн число, отличное от нуля. Покажем, что найденная функция отображает полуплоскость на круг ~чп~ ( ~ Ц так, что точка а переходит в центр круга чв О. Последнее условие, очевидно, удовлетворяется для функции (12) прм 76 гл. ш. элвмвнтлгныз Функции и конеогмныв отовелжвния ( /7С вЂ” а так как )ч)=1 и ! )=1), откуда и следует, что образом //с — а окружности )з! =(р.! является окружность !та~= —.

!и! Чтобы получить отображение круга радиуса /с самого на себя, следует, очевидно, в формуле (1б) взять (р~ = Щ Аргумент числа р продолжает оставаться неопределенным. Для того чтобы задача отображения имела единственное решение, можно наложить одно из следуюших дополнительных условий: а) заданная точка а окружности )г( = Й переходит в точку те = /7 той же окружности; б) производная /.'(а) является действительным положительным числом. Мы предоставляем читателю проверить, что в случае а) /7э — аа л — а а — а //з — еа (16) а в случае б) /7э (л — а) //э — ал (17) а=/(соз/+/з1п/) (О ~(Г (2п, 0 (г(1); тогда 1 1/1 1 /1 чв = — (л+- л г) — — — + г соя / — 1 — — — Г )з1п! или и= — ~ — +г)соз/, о= — — ~ — — г)з!п/ (0~(/~(2е).

(18) 1/ 11 10. функция Жуковского. Рассмотрим функцию та = — ! з + — 1= =Л(г). Из-за тех приложений, которые Н. Е. Жуковский дал ей в аэродинамике, ее называют функ цн ей Жуковского. Очевидно, 1/ 11 что.уравнение и/= — ~а+ — ! для любого тв имеет не более двух 2 Л /11 корней: г, и лз. Так как Л(л)=Л !1 — /1= та, то г,л,=!; если один из корней принадлежит внутренности единичного круга, то другой принадлежит ее внешности и обратно.

Характеристики

Список файлов книги