А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

И. Мвркувчевкч 82 гл. ш. эламвнтавныа егнкции и конеогмныв отовгажания начального условия о(0, 0) = 0 находим: о(х, у)= вь1ь(у), где р (у) — дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию р (0)=0. Следовательно, — в*р, (у) = и = е*Л(у), — — = — в 'Л'(у)= о = в*1«(у), до , ди у .

' ду т. е. р'(у) = Л(у), — Л (у) = р(у). Очевидно, что Л(у) и р(у) удовлетворяют одному н тому же линейному дифференциальному уравнению второго порядка ""," + р (у) = о, «гуа общее решение которого имеет вид «у(у)= С сову+С,з1пу. Учитывая начальное условие для р(у), получим: 1«(у)= С з1пу и, следовательно, Л (у) = 1«'(у) = С сову, откуда С = 1 в силу начального условия для Л(у). Итак, Л(у)=сову, р.(у)=з1пу и, следовательно, У(г)=и(х, у)+го(х, у)=е (соау+Ггдпу). Мы нашли единственную аналитическую функцию (функция эта является аналитической во всей плоскости, т.

е. целой), удовлетворяющую поставленным условиям. Функция эта называется показательнбй функцией комплексного переменного х и обозначается ехрх: ехр г= в '(соау+гяпу). Заметим. что для я действительного (у= О, г = х) получаем'. ехрх= в* т. е. на действительной оси показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного, известной иа общего'курса анализа. Непосредственной проверкой убеждаемся далее, что на показательную функцию комплексного переменного переносится теорема сложения для показательной функции действительного переменного (в"ьв « = в'«+ '«), а именно: ехрз, ° ехрза= ехр(л,+г,).

Будем называть комплексное число г п о к а з а т е л е м функции. ехр х. Т е о р е м у с л о ж е н и я можно будет формулировать следующим образом: при перемножении двух значений показательной функции показатели можно складывать. Все сказанное дает возможность пользоваться наряду с обозначением ехрг также и обозначением в*: е«= в '(соау+ьз1пу). 12. отовважвниз посгвдством поклзлтвльной етнкции 83 12. Отображение посредством показательной функции. Из определения показательной функции ехр г = е" (созу+1з1п у) (23) следует, что она не обращается,в.нуль ни при каком з и что ~ехр г ~ = е~ и Ага(ехр г) =у+ 2ня. При я= 1у(х= 0) получаем: ехр ((у) = сову+ 1 з1п у. Это соотношение позволяет вместо тригонометрической формы записи комплексного числа с= г(сов у+1з1п~) (г + 0) пользоваться более компактной показательной формой с = г ехр(пр) = ге~т.

Мы видим из формулы (23), что показательная функция обладает периодом 2я1 (так как йри изменении у на 2л г изменяется на 2и1, а значение функции не изменяется): ехр(г+ 2п() = ехр г. ехр(я+ в)= ехрз при любом г и, в частности, при а=О: ехры=ехр(а+1р)=е" (соз~+1з1пр) 1. Но зто означает, что е"=1, т. е. а =0 и созр+1з1пр=1, т. е. 2йп. Следовательно, е«= и+В= 2/глг', что и требовалось доказать. Выражение ехроо мы будем считать лишенным смысла, так как 11ш е' не существует. Достаточно заметить, что при х) 0 и стремящемся к оэ ез — «оо, а при л (О и стремящемся к — со е*-+О. Отсюда, в частности, следует, что ехрг не совпадает ни с одним многочленом (так как всякий многочлен, не равный постоянной, стремится к со при я -+ оо). Целые функции, отличные от многочленов, называются трансцендентными целыми функциями, следовательно, ехрз есть трансцендентная целая функция.

Покажем, что т. е. что любой й — целое число. В самом деле, ции. Тогда 2яа является основным периодом функции, другой период ее должен иметь вид 2йяй где пусть а=и+р1 есть период показательной функ- 84 гл. ш. элвмвнтвгныв эвикции и конеогмныв отоввлжвния Так как, по определению функции ехр е, (ехр г)' = ехр г, то производная показательной функции не обращается в нуль ни при каком е. Ознакомимся с геометрическим поведением функции то = ехр е, или, что то же самое, с отображением, осуществляемым при ее помощи.

Мы уже отмечали, что значение ю= 0 не принимается этой функцией ни при каком г. Это означает. что начало координат плоскости тв не принадлежит к образу конечной плоскости е при отображении тв = ехр г. Покажем, что всякая другая конечная точка плоскости те йринадлежит к этому образу. В самом деле, из уравнения ю = ехр е, где те чь 0 задано, а л = х + гу — неизвестное, получаем; (ю1=е, откуда х=!п1ю! и Агре=у+2к7г, т. е. у=Агдте. Итак, прообразами точек тв могут быть только точки вида л=1п !тс!+ГАгдю.

Очевидно, их бесконечно много, так как Агдто. имеет бесконечное множество значений, различающихся попарно на целые кратные 2к. Кроме того, каждая из найденных точек действительно есть прообраз точки то, так как ехр (!и ~ тв )+ Г Агй тв) = е" 1"' (соя Агд те+гейл Агк го) = = ) те ) (соз Агй в+ 1 в1п Агд те) = те. Итак, множество всех корней уравнения те= е* (го + 0) нредставляется грормуеой е = 1п1 то 1+ 1 Агд ге = 1и 1тв1+ Г (агд тв+ 2яя), (24) где я= О, -+-1, -2, ... Все эти точки расположены на одной прямой, параллельной мнимой оси, на расстояниях 2я друг от друга.

Мы цбнаружили, что функция го= ехрг отображает конечную плоскость я ца область, получающуюся из конечной плоскости тв путем исключения одной точки тв = О, причем отображение не взаимно однозначно, так как каждая точка гв + 0 имеет бесконечное множество прообразов (24). Так как производная показательной функции всюду отлична от нуля, то это отображение конформно во всех точках конечной плоскости е.

Заставим г описывать какую-либо прямую, параллельную одной из координатных осей (черт. 17). Если это будет прямая в=с+ге, параллельная мнимой оси, то те=в'(созг+1з1пг), т. е. тв будет находиться на окружности с центром в начале координат и радиусом, равным е'. При этом, когда точка е описывает прямую однократно так, что ордината этой точки, равная г, непрерывно растет от — оо 12.

отовглжвние посгедством показательной эвикции 85 до + со, то ы описывает соответствующую окружность бесконечно много раз в,одном и том же (положительном) направлении. Если же точка г описывает прямую е = г+юс', параллельную действительной оси, то тв = е"(сове' + 1я(п с'), очевидно, пробегает прямолинейный луч, выходящий из начала координат и образующий Черт. 17. с положительной частью действительной оси угол с'. При этом, когда точка е описывает прямую однократно так, что абсцисса этой точки, равная г, непрерывно растет от — со до + оо, то и ш описывает соответствующий луч однократно так, что расстояние этой точки от начала координат непрерывно растет от нуля до со (и тот и другой пределы, конечно, исключаются, так как (тв( = еь).

Итак, при отображении плоскости е посредством функции тв = е' семейство прямых, параллельных мнимой оси, преобразуется в семейство окружностей с центром в начале координат, а семейство прямых, параллельных действительной оси,— в семейство прямолинейных лучей, выходящих из начала координат. Рассмотрим область й, представляющую внутренность прямолинейной полосы шириной й (О ( й ( 2я), параллельной действительной оси.

Пусть эта полоса ограничена прямыми линиями у= уь и у = 9~ Черт. 18. (р,— ~в = й). Из установленного нами выше следует, что образом области а в плоскости чв будет область а, представляющая угол раствора й с вершиной в начале координат, ограниченный прямолинейными лучами Агйтв= рь+ 2йк и Агдтв = о, + 21я (черт. 18). При этом соответствие между точками областей и и й, устанавливаемое посредством функции в = ехрг, будет взаимно однозначнын 8б Гл 1и элементАРные ФУнкции и конФОРмные ОтОБРАжениЯ Чтобы проверить последнее утверждение, достаточно заметить, что прообразами некоторой точки то из области й могут быть только точки 1и ] то] + 1 Аги то, различающиеся друг от друга значениями мнимой части.

Две такие точки лежат нв одной прямой, параллельной мнимой оси, на расстоянии, кратном 2л. Но наша полоса й имеет ширину не более 2л, поэтому она может содержать внутри лишь один прообраз точки то. Итак, каждая точка й~ д имеет лишь один образ и каждая точка то ~ й лишь один прообраз внутри и, что н выражает взаимную однозначность отображения.

Мы видим, что показательная функция ш = ехр «взаимно однозначно и конформно огпйбражает полосу ширины Ь (2л, параллельную действительной оси, на угол раствора Ь с вершиной в начале координат. Поэтому к показательной функции прибегают каждый раз, когда нужно конформно отобразить некоторую прямолинейную полосу на внутренность угла. Если прямая плоскости « не является параллельной какой-либо оси координат, то образ ее в плоскости то будет уже не прямой и не окружностью, а логарифмической спиралью. В самом деле, если эта прямая есть « = 1(1+ 1а)+ Ь1 ( — оо (1(+со) (и — угловой коэффициент прямой, а Ь вЂ” ордината в начале), то обра- зом будет кривая Фу = ехр 11+ 1(а1+ Ь)] = ег ]сов(и1+ Ь)+1 з(п(а1+ Ь)]. Здесь ] то ] = т = ег ф = Агя.

То = ьд +- Ь+ 2тл, т — Ь вЂ” 2тл яли, исключая параметр й г = ехр Но Агате или пои лярный угол р определен только с точностью до целого кратного от 2л. Поэтому, обозначая 1~ — 2тл снова через р, получаем: т ь с=се", где с =е Это и есть уравнение логарифмической спирали (черт. 19). Из того, что она является образом прямой «= 1(1+1и)+ЬА пересекающей прямые, параллельные действительной оси под постоянным углом аги1аа, следует в силу конформности отображения, что и логарифмическая спираль пересекает под тем же углом образы указанных прямых, т. е. все лучи, выходящие из начала координат.

Мы получили характеристическое свойство логарифмической спирали. 12. отовглжение посведством показательной етнкции 87 Отображения, осуществляемые -посредством функций ш (л — а)" и и = ехрл, обнаруживают некоторое сходство между собой. Это сходство можно выяснить при помощи формулы л тя ехрл= Иш (!+ — !1, — ( доказательство иоторой мы предлагаем читателю в качестве упражнения е). ах" ! РассмотРим отобРажение ш =(!+ — Г! = — (з — ( — л))и, по отно- лг' лн шению к которому отображение ш = ехрз является предельным.

Характеристики

Список файлов книги