А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Однозначные ветви многозначных функций. Изученные в предыдущих пунктах функции тв= у(г) принимают одно и то же значение то вообще в нескольких (двух или более) точках плоскости х. Исключение составляет лишь дробно-линейная функция, дающая взаимно однозначное отображение расширенной плоскости самое на себя-. Если оставить в стороне это исключение, то во всех остальных случаях обратное отображение г =у' '(ш) неоднозначно.
Это означает, что функции, обратмые рассмотренным нами, являются многозначными. Для того чтобы к многозначным функциям можно было применять понятия и результаты, полученные для однозначных функций, нужно уметь выделять одновначные ветви этих функций, Вот каким образом это обычно достигается. Пусть я =у'(ш) †функц определенная, однозначная и непрерывная (в обобщенном смысле) в области О расширенной плоскости. Предположим, что область О удалось разбить каким-либо способом на конечное или счетное множество областей йы я„ ..., попарно не имеющих общих точек, так, что любая точка области О является внутренней для одной только области я» или же общей граничной точкой, по крайней мере, для двух областей йу и я», причем в каждой из этих областей отображение я = г(ш) является взаимно однозйачным.
Тогда, как мы знаем (п. 4 главы П), образ каждой из областей 6» будет также областью /(д») = О» и весь образ г(О) будет покрываться областями О„, а также образами общих частей границ областей д». 7 зак. !63к А. и, маркуааааа 98 тл. Пь элемеитАРные Функции и конФОРмные ОтОБРАжения Будем рассматривать обратную функцию ТЕ=Р(е) в каждой из областей 0», определяя ее тем дополнительным условием, что ее значения принадлежат А» — прообразу области 0». Тогда функция Р (л), вообще многозначная, представится посредством нескольких, быть может бесконечно многих, однозначных и непрерывных (в обобщенном смысле) функций Р»(г).
Каждую из иих мы будем называть од нов и а ч ной в е т в ь ю функции Р(я) в соответствующей области О». При этом определении важно помнить, что характер областей О», а вместе с тем и однозначных ветвей функции Р»(г) существенно зависит от того, как именно область 0 разбита на области л», В простейших случаях область 0 допускает такое разбиение иа области й», при котором соответствующие области О» совпадают между собой. Пусть. например, 0»Р О»„ ... совпадают с одной и той же областью 0'. Тогда многозначная функция ш Р(я) обладает многими, быть может бесконечно многими, однозначными ветвями в области 0', а именно Р»,(г), Р»,(л), ... Ко всему сказанному выше нужно прибавить, что для произвольной непрерывной функции я=у(чэ) разбиение области 0 на области я», удовлетворяющие указанным выше условиям, вообще говоря, невозможно. Однако для случая, когда ~(тэ) аналитическая в области 0 (за исключением изолировамных точек, в которых она может Обращаться в оо), подобное разбиение всегда возможно и притом бесконечно многими способами.
Назовем функцию я=у(тэ), аналитическую в некоторой области л (за исключением, быть может, точек, в которых оиа обращается в со) и принимающую в различных, точках области различные значения (у(тэг) чьу(теа), если тв1 чь тез и тэ1, тэ ~й), одиолист ной в области й'. Если же в области существует, по крайней мере, одна пара различных точек, в которых Г(тл) принимает одно и то же значение: )(твг) =у(тэа), Евган тэа, то мы иазовем функцию многолистной в.этой области. Факт, иа который мы сослались выше (без доказательства), можно формулировать так: если аналитическая функция е = 1(тэ) миоголистиа в области О, то эту область можно разбить иа конечное или счетное множество областей, в каждой из которых г(тэ) будет однолистной.
Соответствующие области я» называются областями однолистности функции Дчэ). Таким образом, к функциям, обратным по отношению к многолистным, всегда применим описанный выше способ выделения однозначных ветвей. Иллюстрируем указанный способ на элементарных функциях; разбиение области О на области однолистиости будет получаться каждый раз путем использования известных свойств элементарных функций.
Помимо функций, обратных элементарным, мы будем рассматривать здесь и другие многозначные функции, получающиеся как слож- 17. эгнкция тв= у'г 99 ные функции вида эф(г) (где у(г) или ф(г) — функции, обратные элементарным) или как рациональные комбинации таких функций. 17. Функция тв = ')7 г. Рассмотрим радикал щ = Г' г, представляющий функцию, обратную по отношению к степенной функции г = твч (и †натуральн число, большее, чем единица).
При каждом г, отличном от нуля и бесконечности, радикал имеет и различных значений, которые даются формулой тэ= )7 ~~! ~соз — +1 э(п — ) . Агя г Агй г) и и ) (47) При г=О или я=со получаем по одному значению функции соответственно тв = О или ш = со. и значений (47), представляющих те точки плоскости тв, в которых тэ" принимает одно и то же значение г, располагаются в вершинах правильного и-угольника, вписанного в окружность 1-1=У~ !. Обратно: вершины любого правильного и-угольника с центром з начале координат можно рассматривать как и значений ~~ г. Поэтому область л плоскости тв будет областью однолистности для г = тэ" тогда и только тогда, когда из и вершин любого правильного многоугольника с центром гз = О она содержит не более„ чем одну вершину, 2я Очевидно, этому условию удовлетворяет каждый угол раствора— и с вершиной в начале координат.
Проведем из начала координат и прямолинейных лучей под равными углами. Тогда найдем, что вся плоскость, в которой определена многолистная функция г = тзч, разделится на и областей однолнстности этой функции: л„ ла, .... я„. Образом каждой из них будет одна и та же область О' плоскости г, границей которой является некоторый прямолинейный луч Л, выходящий из начала. 2дя Если область я„ ограничена лучами, составляющими углы ~уз+в 2(а+ 1) я и 7 + „с положительной частью действительной оси, то луч 7. составляет с положительной частью действительной оси угол иээ. Сообразно со сказанным в п. 16 получим в области О' и одно- Я ч значных ветвей функции 1/ г. Каждая из них: у'г (й= 1, 2, ..., и) а вполне определяется условием, что ее значения ш = Г' г принадле.
л жат области ль. Так как я= ш" имеет отличную от нуля производную во всех точках области яа: г'= иш" ', то и ветви Р г ,В 100 гл. ш. элвмвнтлгныв эвикции и конеогмныв отозглжения обладают отличными от нуля производными (И )~ » пге (у' )е » Возьмем теперь систему прямолинейных лучей, выходящих из начала координат, получающуюся из предыдущей путем поворота 2я» вокруг начала координат на угол а (0(а ( — ). Тогда новая си- и) стема разделит плоскость тв на и областей Н„ ..., И„, из которых каждая область Ф» будет иметь общие части с двумя соседними областями а» и й»+, (если Ф = и, то а„+, следует заменить на л,) (черт. 27).
Образом каждой из областей И» плоскости тв будет одна и та же область 1)', ограниченная прямолинейным лучом М, выходящим Черт. 27. из начала координат под углом пр +па к положительной части действительной оси. В этой области мы также получим и однозначных ветвей функции у' л, из которых каждая вполне определяется тем, что ее значения принадлежат соответствующей области Обозначим эти ветви через Д/л)». Они являются дифференцируемыми в 1У н для их производных имеем: 17. м'нкция чи )Гя 1О1 Сравним их с ветвями 1/ л; так как часть прообраза 1Х» й области В' в плоскости тз принадлежит области д», а часть— области й»+1, то ветвь ( я)й в части области .0' (представляющей образ общей части областей с1» н я») будет совпадать с 3г я.
й а в другой части области 0' (представляющей образ обшей части областей г(» и я»„1) будет совпадать с 3/ г. ».1-1 Мы видим, что при замене одних областей однолистности другими каждая новая однозначная ветвь получается путем объединения части определения одной из прежних ветвей с частью определения другой прежней ветви, Если угол поворота а = О, то Ф„ сонпадает с яй, г)' — с 0' и и каждая ветвь (у'л)й совпадает с 1Г г. Когда же угол а. непрерывно й 2я увеличиваясь, приближается к —., то область 11» приближается к йй+„соответствующая область О' приближается к О' и ветвь ('у' я)й во все большей и большей части области В' совпадает с ветвью уя (вместо я„,1 и у' г следует брать я1 и »1 л).
При »+1 чЧ.1 1 2и а = — пй совпадает с я»,,1 0' — с О и ветвь ф л)» переходит в ветвь )/ л. й-1-1 За переходом одной ветви у'з в другую ~/ г можно проследить й й 1-1 также, заставляя точку л описывать полный круг с центром в начале координат. Если значение 11з в точке я было взято принадлежащим ветви ~/ я и изображалось точкой тзе области я»1 и ~ ='у' ~ ~~ Д(со~т" +гз1~ — '1, и ' и)' то при непрерывном движении точки з по окружности (г)=.(з ! в положительном направлении соответствующее значение радикала та= )г„( (сову»+гз!п т1 л лг будет непрерывно изменяться вместе с 17, и после полного обхода и возвращения точки з в исходное положение яе значение радикала 102 гл. ш.
элементАРные эянкции и конФОРмные ОтОБРАжениЯ перейдет в тв! у ее~сов +! з!и )' — / Ч„+2л Чг+2ль и и Последнее получается из тве путем поворота вокруг начала коор2л динат на угол —; следовательно, точка твг принадлежит области яь 1, и + соседней с яь, и гвг является значением ветви 11 Е в точке л . А+1 Это заключение применимо к любой точке области П', откуда следует, что в результате обхода точкой л окружности любого и радиуса с центром в начале координат значения ~( е, непрерывно и и изменяясь, переходят от ветви у' я к ветви у~ л. г Й.1.1 Понадобится и-кратный обход точки я в положительном направлении вокруг. точки л= 0 для того, чтобы ветви радикала Р' л, и заменяясь одна другой ДУЯ на ~/ а.
у' я на )/е, ..., ~/ е на Ь Ачг ВЫ Ь+г и ~я, ..., ~г я на уя), вернулись к исходной ветви. В Точка, обладающая тем свойством, что полный (однократный) обход вокруг нее в любой ее окрестности по какой-либо замкнутой жордановой кривой заменяет одну непрерывно изменяющуюся ветвь многозначной функции другой ветвью этой функции, называется точкой разветвления функции. То обстоятельство, что после и-кратного обхода в одном и том же направлении мы снова возвращаемся к исходной ветви, выражают, говоря, что данная точка разветвления обладает конечным порядком, а именно порядком и — 1, и точку эту называют алгебраической точкой разветвления"). Итак, точка е = 0 есть алгебраическая точка разветвления порядка и — 1 для функции у' е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
