А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Нь ЭлементАРные ФУнкции и конФОРмные ОтОБРАжениЯ где Агяьг есть значение аргумента, удовлетворяющее условию по+ 2)ое < Агдьг < оо+(2А+2)я. (Это условие как раз и означает, что значения Ьпьг принадлежат полосе ею) Так как функция ш = Ьпвг осуществляет взаимно однозначное и непрерывное отображение области О на полосу ло и функцией, ей обратной, является г = е", обладающая отличной от нуля производной во всех точках области ль, то по правилу дифференцирования обратных функций Ьпьг также Обладает производной, вычисляемой по формуле 1 1 1 (Ьпл х)' = (ем)' ее г ' Точками разветвления функции Ьпг являются нуль и бесконечность. В самом деле, когда х однократно описывает какую-нибудь окружность с центром в начале координат (сколь угодно малого или сколь угодно большого радиуса), значение Агяг, непрерывно изменяясь, отправляясь от какого-либо начального значения Агдь го, получает по возвращении в исходную точку приращение ='- 2е (в зависимости от направления обхода окружности), н, следовательно, ветвь Ьпь г 1п 1г 1+ 1 Агав г переходит в другую ветвь Ьпь а ~ х = 1и ~ г )+ 1 (Агяь г ~ 2я) 1и ~ г (+ 1 Агав г 1 х.
Очевидно, описывая окружность сколько угодно раз в одном и том же (например, в положительном) направлении, мы каждый раз будем получать новые ветви Ь" в+г х ЬпзФз х Ьпьэз г и, следовательно, никогда не вернемся к исходной ветви Ьпвг. По этой причине точки разветвления 0 или со называются здесь точками разветвления бесконечного порядка, или логарифмическими точками разветвления. Области более общего типа, чем О, в которых возможно выделение однозначных ветвей Ьпг, получатся, например, если в плоскости г провести какую-нибудь жорданову кривую Г', соединяющую точку г = 0 с точкой г = со. Образами этой кривой в плоскости те при отображении гв = Ьп г будут жордановы кривые ть(й = О, =+ 1, ч 2, ...), разбивающие плоскостыв на бесконечное множество криволинейных полос дь' с границами, составленными из пар кривых Т„ и Тз+, ...
В области 6', гРаницей котоРой ЯвлЯетсЯ кРиваЯ Г', мы полУчим счетное множество однозначных ветвей 1.пг; (Ьпг)ы каждая из которых отображает О' взаимно однозначно на соответствующую область Р„'. 20. овщиВ ствпвннАя и покАВАТВльмАИ Функции 11$ Любую из функций (Ьп г)л можно получить из любой другой функции (Ьп г)ш путем прибавления соответствующего целого кратного от 2ВЬ Для производной от (Ьпл)А имеем прежнюю формулу (Ь"),=-,.
! Независимость последнего результата от выбора ветви Ьпл позволяет писать вообще: (Ьпг) = —, 1 понимая левую часть как производную от произвольной однозначной ветви Ьпг, выделенной в области, заключающей данную точку я. 20. Общие степенная и показательная функции.
В этом пункте мы рассмотрим общую степенную и общую показательную функции, а также логарифм при произвольном основании. Предварительно мы должны выяснить понятие степени с произвольным показателем. Пусть а †произвольн отличное от нуля число, Если л — число целое, то, как мы знаем, аеа определяется соотношением а" = [а [" [сов (л Агя а) +» 61п (и Арка)[.
Если г — произвольное рациональное число, равное †, где д †чис Р т я натуральное и дробь — несократима, то а я имеет а» различных зна- Р л чений, получаемых из формулы (см. п. 2 главы 1) я ач =[а ~6 ~соз(» Агда)+»з[п(Р— Агйа)~~. Эта формула охватывает и случай целого показателя. Пусть теперь р †действительн иррациональное число. фиксируем произвольное значение р = Агяа и рассмотрим последовательность рациональных чисел г„, сходящихся к р. Последовательность определенных значений а'" [ а [',в [сов (г„А гя а) + ю' 6|и (г„А гя а) [, очевидно, сходится к определенному пределу [ а [»а.
[соз (р А гя а) +» ейп (р Агя а)[, который мы и примем за одно из значений а'. Чтобы получить все значения степени аг с иррациональным показателем р, будем прида- вать Агя а в полученном выражении все возможные значения. Я Зев !636. А Н Марвушевве 114 Гл. 1и. ЭлементАРные Функции и конФОРмные ОТОБРАжеиия Так как два различных значения р Агфа различаются на число вида 2дрк, которое не может быть целым кратным от 2е (А — целое число, не равное нулю, и р — иррациональное число), то все значения а, соответствующие различным Ага а, различны между собой.
г Итак, мы определили степень а«для случая, когда а есть произвольное действительное число. Все значения степени ааключаются в формуле а" = [ а [" [соз (а Ага а)+ 1 з[п (а Ага а)[. (54) А[ы получаем одно значение степени в случае, когда а есть целое число, несколько, а именно д, различных значений в случае, когда а есть рациональное число, представимое несократимой дробью — , Р 4 и, наконец, бесконечное (счетное) множество различных значений в случае, когда а †иррациональн число. Для того чтобы определить понятие степени а" в случае любого комплексного показателя а, заметим, что формула (54) может быть представлена в виде а" е"" [л [[соз (а Ага а) + Г з[п (а Ага а)[ = ехр (а 1и [ а [+ га А гд а) = ехр (а [ и а).
Правая часть этой формулы имеет смысл не только при а действительном, но и при любом комплексном а. В соответствии с этим положим. Ео определению, для любого комплексного а: а" = ехр(а1п а). (55) Очевидно, при а мнимом все значения а", соответствующие различным значениям 1п а, или, что то же самое, соответствующие различным значениям Агда, также различны между собой. Действительно, два различных значения а|па различаются на число вида Эе[а, которое при а мнимом не может быть целый кратным от 2ЕА Заметим, что степень с произвольным показателем, вообще говоря, иа подчиняется ни правилу сложения показателей при умножении степеней, ни правилу умножения показателей при возведении степени в степень.
Именно, если ни для какого целого А число а,(1 — А) — азл нв является целым, то а" ° а"« = ехр(а, 1п а) ехр(а, [.па) = ехр(а, 1.па+а,1.па) 4 ~ ехр [(а,+а ) 1.па[ = ае""ч аналогично, если ни для какого целого й число [« — Й ар не является целым, то (а«)а [вхр (а Ьа а)[з = ехр [р (и 1л а+- 2ВМ)! чь чь ехр(ра 1п а) а«з.
110 20. овщив ствпвннля и показлтвльная егнкции Поясним примерами определение степени: П 1~ = ехр ()г2 (и 1) = ехр (2йигрг2) = соз (2йя у' 2 ) + 1а1п (2лк уг2 ) (а =О, Ы, ~2,...); 2) ет = ехр(л1 и е) = ехр [л(1+ 2ли0) ехрлехр(2йигг) (Д = О, -'г- 1, ж 2,...). Отсюда видно, чго лишь одно из значений степени еа совпадает с ехр д Другие значения суть ехрлехр2впв ехрлехр( — 2ягг) и т. д. В частности, лишь одно из значений ее(х — действительное число) совпадает с действн.
тельным положительным числом ехр х. Другие значения таковы: ехр х ехр 2лгл, ехрхехр( — 2вгл),... Их будет конечное число прил рациональном и беско. печное множество различных значений при х иррациональном. Тем не менее мы в нашем курсе пользуемся привычным нз курса анализа пониманием символа еа как совпадающего с ехр». Такое употребление многозначного символа вполне аналогично обычному в анализе пониманию сим.
вола у а (а †, действительное положительное число) как единственного положительного (гарифметическогоа) значения радикала. гв тт . Г из Гал-П- 3) Ф ехр(11 и 1) =ехр ! (-1 — 2Ж)(=ехр~(4Ф вЂ” 1) — 1 е (й = О, ~: 1, + 2, ...). Таиим образом, все значения степени б суть действительные положительные числа, среди которых имеются и сколь угодно большие и сколь угодно малые. Опираясь на определение степени, можно рассматривать следующие две многозначные функции: г' и аа. Первая из них — степень с произвольным показателем — определена вообще только при г чь О.
Если а есть действительное целое число, то л" представляет рациональную функцию частного вида. Она определена тогда и при х О, где имеет нуль (если и ) 0) или полюс (йсли а ч. 0). В случае, когда а †действительн рациональное нецелое число: а = †(1) †на- Р туральное число и дробь Р несократима), г" может быть представлена '7 в виде Это — многозначная, а именно д-значная функция. Для нее точки л = 0 и г = со служат точками разветвления порядка г) — 1. В любой области О, полученной из расширенной плоскости путем проведения жордановой кривой, соединяющей точки разветвления, можно выделить д различных однозначных дифференцируемых ветвей функции.
Эти ветви непрерывно переходят одна в другую при обходе й» 116 Гл. н!. БлементАРные ФУнкции и конФОРмные ОтОБРАжениЯ точкой г кривых, окружающих начало координат (или бесконечно удаленную точку). Если, наконец, а не есть действительное рациональное число (т. е. а †действительн иррациональное или произвольное мнимое число), то функция г" бесконечнозначна. Все ее значения заключены в формуле г" = ехр (а Ьп г). Для нее также точки г = 0 и г= ОО являются точками разветвления. Но теперь это точки разветвления бесконечного порядка. В самом деле, прн однократном обходе точки г = О, например в положительном направлении, значение Агав, непрерывно изменяясь, увеличивается на 2л, поэтому значение а Ьп г изменяется на 2лга, а значение функции г" приобретает множитель ехр(2л!а) ~ 1. Обратимся к общей показательной функции а'(а+0). Она определена при любом конечном значении г формулой а' = ехр (г Ьп а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
