А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Значение втой ветви в любой точке з, области 6 можно получить также следующим образом: соединим точку л с точкой л! какой-нибудь непрерывной кривой Х, принадлежащей области 6, и будем пробегать эту кривую от точки лэ до точки лт, следя за тем, чтобы соответствующее значение у (л) непрерывно изменялось, начиная от значения шэ. Тогда мы придем в точку з! с одним из и значений у'(л), которое обозначим через ш!. Это значение зависит только от значения шэ, выбранного в точке яэ, и от самой точки л! и не зависит от выбора пути, соединяющего лэ и лт, и, следовательно, представляет однозначную функцию от л! в области О. В самом деле, если та в другая кривая, соединяющая лэ и л! 18.
екнкция тп =~/Р(л) 107 в области О, то при обхоле замкнутой кривой ф составленной из 1, и тв мы получим сначала, двигаясь от лэ до лт вдоль !т, значение шт в точке гп а затем, двигаЯсь вдоль уз в от точки лт до лз, должны вновь пРидти к исходному значению ша (так как обход замкнутой кривой в области О, по условию, не может привести к изменению значений функции у(л)). Отсюда и следУет, что, ДвигаЯсь вдоль тэ от л„ к лт, мы пРидем в точке гт к томУ же значению ши что и при движении вдоль тт.
Поясним все сказанное примерами: 1. тз = "г'(1 — зэ)(! — яэзэ), где 0(йч 1. Это — двузначная функция 1 с четырьмя точками разветвления: ~ 1, +. —. Здесь М = 4 кратно л = 2 и й' поэтому оз не является точкой разветвления. 1 Так как все числа аз равны единице !+.1, ~ — суть простые нули под- й коренного выражения), то обход вдоль'любой замкнутой кривой 1, заключающей внутри только две точки разветвления, не изменяет значения функции.
Поэтому можно выделять ее однозначные ветви, например в области О, 1 1 границей которой служат два отрезкж — — ~х <=1 и 1 <;х~ —, или Ф' в области 0' с границей, состоящей из отрезков — 1 ~ х ~ 1 и беско- 1 1 печного отрезка действительной оси, соединяющего точки — — и — через й л бесконечно удаленную точку (черт. 29). Черт. 29. В первой из них ветви уд(л) и уэ(л) можно различать по тому значе.
нию, которое они принимают в начале координат. Например, уд(0) 1 и Уз (0) = - 1. 2, тл = ~/4зэ — лзз — лэ, где лз и лэ — комплексные числа, Удовлетворяющие условию йлз — 270эз ф О, означающему, что дискриминант многочлена 4гэ — лэл — лз отличен от нУлЯ, а следовательно, Различны и нУли ех, еэ и еэ этого многочлена. Так кая в этом примере И=3 не делится на и = 2, то точка со также является точкой разветвления.
Снова обход какой-либо пары точек разветвления по замкнутой жордановой кривой ие изменяет значения функции. Позтому, соелиняя жордановыми кривыми т! и тз точку ет с ез и еа с со, мы получим область О с границей, состоящеи из т, и !и в которой можно выделять однозначные ветви данной функции (черт.
30). 1У 1! 3. Рассмотрим функцию, обратную по отношению к функции л = — !!ш+ — 1, 2 ! т. е. ш = в(л) = я+ у'лз — 1. Это — двузначная функция, обладающая теми же тйчками разветвления, что и функция гглэ — 1, т. е. л ~1, 108 гл. нн элиминтаиныв егнкции н конеогмныи отовгажения Чтобы получить область О, в которой можно выделить однозначные ветви рассматриваемой функции, соединим точки — 1 и 1 конечным отрезком действительной оси. Получим область, которая взаимно однозначно отображается посредством функции ш л+ у'зе†1 на каждую из двух областей: внутренность единичного круга (хт) и его внешность (ят) (см.
и. 10). Выделить любую из них можно, фиксируя одно из двух значений ш в какой-либо из точек области 6, например в бесконечно удаленной точке. Как видно из 12 11 формулы л = — 1ш + — ), л обращается в со либо при ш = О, либо при 2 'т ш = со. Поэтому одна из ветвей функции ч(л) характеризуется тем, что для Черт. ЗО. нее е(со) =О; она отображает 0 на внутренность единичного круга.
Другая же ветвь характеризуется тем, что для нее е(со) со; она отображает область 0 на внешность единичного круга. Мы могли бы вместо области 0 брать, например, область 6', границей которой служит бесконечный отрезок действительной осн,.соединяющей точки — 1 и 1, или области 6" и 0", границы которых суть верхние илн нижние единичные полуокружности. Мы предоставляем читателю, опираясь на результаты п. 10, выяснить, на какого рода области плоскости ш отображают соответствующие однозначные ветви функции е(л) области 6', Па или 6". Все содержание настоящего пункта относилось к многозначной функции и вида ~/Р'(л), где Р(з) есть многочлен. Читатель без труда распространит полученные результаты на случай более общей функции 1/тт(л), где Р (л) есть произвольная рациональная функция.
Для нахождения точек разветвления функции )l Р (л) придется рассматривать все точки плоскости, в которых Я (л) обращается в нуль или в бесконечность. 19. Логарифм. Функция, обратная по отношению к я ем = е" (соз па+1 з(п и), определена для любого г, отличного от нуля и со, и представляется формулой (см. формулу (24)) ш =!п1я1+ г' Аггел. Эта функция, очевидно, многозначная и даже бесконечнозначиая, называется л о г а р н ф м о м н обозначается Ьп л. Итак. по определению, тв =~ Ьп х = 1п ! я1+ 1 Агя л. (60) 109 19.
ЛОГАРИФМ Если значение логарифма, равное 1п ( з !+ ! агд л, назвать г л а вным значением и обозначить его !па, то для Ьпе будем иметь: 1.п е = 1и л + 2йяЬ (61) где й О, ч 1, 2 Отсюда следует, что каждое комплексное число, отличное от нуля и бесконечности, имеет бесчисленное множества логарифмов (т. е.
значений логарифмической функции), из которых любые два различаются на целое кратное 2я!. Если л — действительное положительное .число, то главное значение логарифма совпадает с !и ~ а ! и, следовательно, представляет то действительное число, с которым мы имели дело в курсе анализа, когда рассматривали логарифмы как действительную функциюгдействительного переменного. Так, получаем: !п 1 = О, !и е = 1, !и 2 = 0,6931 471 8 ...
и т. д. Но, кроме этих действительных значений, логарифмы действительных положительных чисел имеют еще и бесконечное множество мнимых, получаемых по формуле (51). Так, например, Ьп 1 = 2йя1, Ьпе= 1+2кяд Ьп2 = 0,69314718... +27гя! и т. д. Для действительных отрицательных чисел и для мнимых чисел главное значение логарифма есть мнимое число !и ~ е (+ ! агй е (ага з ф О, ( агд л / ( к). Все прочие значения логарифма также являются мнимыми числами, вычисляемыми по формуле (51). Например, 1.п( — 1) = (2!г+ 1) к1, 1.п ( — 2) = 0,69314718...
+(2й+ 1) я1, 1.п(1 — !) "-!п3/ 2+!( — 4+ 2пя) 0,34657359... +(8!г — !) —" и т. д. 4 Известные правила о логарифме произведения и частного сохраняют свою силу и для многоэначного логарифма комплексного числа, а именно: Ьп(лг ° лг) = !п ~ ег ег !+! АГЮ(ег ° ег) =!п!з,)+!п(лг!+!(Агйе,+Агйаг)=1пе,+Ьпе,, (52) 1п е' =1п ~ е' ~+ (Агд — ' = !п !г,! — !и!ег~+!(Агре,— Аггея) = 1.п в, — Ьп лг. (53) Здесь е, и е, — произвольные, отличныв от нуля комплексны числа. В каждом нз этих равенств левая и правая части при заданных е, и ег изображают бесконечные множества комплексных чисел.
Р азенства следует понимать. в том смысле, что зги множества ! ! О гл. ш. элямвнтляныв егнкцни н конеоэмныв отоввлжвння одинаковы, т. е. состоят из одних и тех же чисел. Забвение этого обстоятельства может повести к ошибкам. Рассмотрим, например, следующий софизм,, принадлежащий И. Бернулли. Утверждается, что Ьп( — «)=Ьп«при любом «+ О. Для доказательства рассматривается следующая цепь равенств: 1) Ьн1( — «)а)=Ьп(«а), 2) Ьп( — «)+Ьн( — «)=Ьп«+Ьп«, 3) 2Ьп( — «)=2Ьп«и 4) Ьп( — «)=Ьп«. .
Но это заключение неверно, так как Ьп « =1п ! «)+! Агд « =1п ) «)+1згй«+ 2ляй Ьп( — «)= !п/ — «/+!АЙ( — «) =!и !«/+!ай«+(23+1)к1 и, очевидно, ни одно из чисел, являющихся значениями Ьп«, не совпадает ни с одним из чисел, являющихся значениями Ьп( — «). Ошибка в приведенном выше доказательстве произошла при переходе от равенства 2) к равенству 3). Первое из них, полученное на основании формулы(52), конечно, справедливо. Но сумму Ьн( — «)+ +Ьп( — «) нельзя заменять через 2 Ьп( — «), так как указанная сумма получается из множества чисел Ьп( — «) путем сложения любого из этих чисел с таким же или о т л и ч н ы м о т н е г о числом того же множества, тогда как множество 2Ьп( — «) получается путем удвоения каждого из чисел Ьп( — «), т.
л. путем сложения такого числа только с самим собой. Итак, Ьп( — «)+Ьп( — «) чь 2Бп( — «); точно так же и Ьп«+Ьп«+ 2Ьп« .Читатель вполне уяснит себе суть этого возражения, обратившись к простейшему примеру. Пусть А обозначает множество, состоящее из двух чисел: О и 1. Тогда А +А обозначает множество, состоящее из трех чисел: О + О = О, О + 1 = 1 и 1 + 1 = 2, тогда как множество 2А состоит только из двух чисел: 2 О = О и 2 1 = 2. Заметим еще, что, полагая в соотношении (33) «, = «а = « чь О, мы получим: Ьп 1 = 1.п « — Ьп « Это — верное соотношение; но правую часть здесь нельзя заменять нулем, так как речь идет о множестве всех разностей между парами значений логарифма одного и того же числа.
Это множество состоит из всевозможных целых кратных числа 2лЬ так что'в соответствии с истиной имеем: Ьп1= 2йк! (й= О,'='1, -+ 2, ...). Переходя к рассмотрению однозначных ветвей логарифма, найдем сначала области однолистности функции « = е", для которой логарифм является обратной функцией. 19. ЛОГАРИФМ Так как все значения те, з которых ее принимает данное значение я(а ~,0 н а ~ оо), даются формулой (24) та =1и (а~+ГАга'л и значения эти получаются из любого из них путем сдвига на величину .2лпг (л=-+ 1, -+-2, ...), то область однолистности показательной функции не должна содержать ни одной пары точек, одна из которых может быть получена из другой путем подобного сдвига. Ф" +Г >с' Проще всего удовлетворить этим условиям, взяв какую-нибудь Ггб+ лг Ау прямолинейную полосу ле, парал- я~я~ г / лельную действительной оси и имеющую ширину 2п: юа < о < У и < се+ 2п.
ят д~~ Наряду с ней мы получим еще асг бесконечное множество областей Ггв-Флл" однолистности ль' .о„+ 2лп < и < 'Й'й <ее+(2л+ 2)к (л= ~ 1, ='2,...). У Очевидно. каждая точка плоскости тл будет либо внутренней У для одной из областей а„, либо общей граничной точкой для двух областей Аь и л„,, (черт. 31). 4 Образом каждой полосы и» в плоскости л является одна и та же область О, а именно угол раствора 2п с вершиной в начале координат. Границей области О служит прямолинейный луч, выходящий из начала координат под углом .ое к действительной оси.
В области О получаем бесконечное счетное множество различных однозначных ветвей функции (.п г. Каждая из этих ветвей 1.пью будет полностью характеризоваться тем, что ее значения должны принадлежать определенной полосе ла. Впрочем, вполне достаточно фиксировать значение тае функции 1.п г в некоторой точке ге области О, так как из всех областей ль одна и только одна область Ад содержит точку та . Рассмотрим какую-нибудь ветвь логарифма 1па я = 1и ~ г ( + ю' А Гйа л, 112 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
