А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Тогда 1пп Рс!а„) = а а = !!Ш)г ) а„(=0 н, следовательно, для любого г 1!щ Рс~ а„(! г — го!"=О. В силу признака Коши отсюда следует сходимость ряда,«!аа()г — го), о т. е. абсолютная сходимость ряда (2). б) Пусть Л = со. Тогда существует возрастающая последовательность индексов 1А„) такая. что у'!ал ! -« оо. Поэтому для любого ьа,Г г Ф го имеем: ф/ (ав !!г — го! "= )/ )аь !)г — го! — «оо, а это в„ означает, что !аь ~!г — го( "-«со, т.
е. для ряда (2) не выполняется необходимое условие сходимости. в) Пусть 0 ( Л ( оо. Если г = го. то все члены ряда (2), начиная со второго, обращаются в нуль и, слеловательно, ряд абсолютно сходится. Если г чь г, причем точка г лежит внутри круга К, то в) Число Л1 — со(Л(+со) называется верхним пределом последовательности действительных чисел (а„); Л = 1нп а„, если выполнены следующие дво условия: 1) для каждого Л') Л существует М такое, что о„(Л' при а)М; 2) существует подпоследовагельность (а„), сходящаяся к Л. В ку:сах анолнзо доказывается 1см., например, Ф н х те н го л ьц, Курс лифференциального н интегрального исчисления, т.
1, изд. З-е, Гостехизлат, 1951, и. 421, что каждая последовательность обладает конечным илн бесхонечнын верхним пределом. 12б гл. ш. ряды с комплвксными члвнлми, ствпвнныв ряды з/э Л можно положить: ! г — гз! = —, где О ( О' ( 1. Так как Л' —, ) Л, то в силу свойств верхнего предела существует такое Л ы что У!а„!(Л' при и>Мю Тогда У!а„!!г — гэ!" <Л' ° !г — ге!= Л 6'3 = —,—,=0'(1 при и) Мы откуда по признаку Коши вытекает абсолютная сходимость ряда (2).
Наконец, если г лежит вне круга К, то !г — ге! = — (О < О < 1). 0 Лз В силу свойств верхнего предела су!цествует возрастающая последовательность индексов (й„! такая, что у' !ал ! -+ Л, поэтому ч ал л„ 1 !ал !!г — г ! "- Л!г — г,!= з ) 1. ь Следовательно, !ал !!г — гэ! "-+ со, т. е. для ряда (2) не выполнено необходимое условие сходимости.' 1 Круг с центром ге и радиуса †, внутри которого степенной ряд сходится абсолютно, а во внешности расходится, называется к р у- 1 гом с ходи мости степенного ряда, а число )с= — — радиусом Л сходимостн. Эти определения распространяются и на крайние случаи: Л = О ()с оо) и Л = со Я О). В первом из них круг сходимости есть вся конечная комплексная плоскость и внешность его в пустое множество; во втором случае он вырождается в точку г и внешность его представляет всю плоскость, за исключением точки г .
В случае, когда О (Л (+со, имеем еще окружность с хо- 1 димости !г — ге! =)э«=-. В ее точках степенной ряд может Л' вести себи по-разному (в смысле сходимости). %ч г«« рассмотрим, например, рял р — (« — действительное число). Здесь ?а и" ! « Л = 1!ш 1г/ -„ !!пэ и " 1 и, следовательно, радиус сходимостн Р 1. ««-+««и" ч-+«о !гч! 1 На окружности )г! = 1 имеем: ! — ! = —; поэтому при а)1 ряд абсолютно ' !и«! и"' сходится во всех ее точках, а прн а ( О расходится. Пусть теперь 0 ( а < 1, Тогда в точке г=! ряд будет расходнтсся; покажем, что он сходится во всех других точках единичной окружности.
действительно, если г = лп (0(В(2х), то яер глэ р-э Х вЂ”. е -э . 1 ! «р! л" Ц «1 „'- Э' ~ «1 -~-2««( -!-р«) ' 3. Анллитичность суммы ствпвнног2 РядА !27 где 5!и — 0 /+! 2 1(В+1! 5 5 ее ~ 1 + ЕП + . + 5115 = Есср еез 0 в!и— 2 1 Тех хек )ос)< —,, то 0 ' 51П— 2 < — ! Ъ.Г 0 ~л 'Цп+/+1)с (п+/+ 2)"Л (л.+р)"! 51П 2 1 О о-1-Р ое! 1 -«О, л — «со. 5!и — (л+ 1)" 0 2 Отсюда н следует схолнмость данного ряда при )г~ = 1 и Е ~ 1. П е р в а я т е о р е и а А б е л я.
Если ряд ~ а„(г —" гз)" сходится о в точке г, +г, то он абсолютно сходится в круге !г — г ( < <)г,— гз!. В самом деле, из условия следует, что точка г, не может лежать во внешности круга сходимости ряда. Поэтому она лежит внутри него или на его гравице.
В обоих случаях круг ( г — ге ~ < ) г, — гз ) принадлежит кругу сходимости и, следовательно, ряд абсолютно сходится в нем. 3. Аналитичность суммы степенного ряда. Покажем, что в круге сходимости ~ г — гз( < )сс (гс ) 0) етепенйого ряда ~~~~~ а„(г — гр)" 5 сумма его 7(г) являетея аналитической функцией, причем производная 7'(г) может бать получена путем почленнозо дифференсо цирования ряда 7'(г) = ",~ па„(г — г )" '. Убедимся в том, что 1 радиус сходимости с(' последнего ряда также равен Ас. Очевидно, прежде всего, что он совпадает с радиусом сходимости ряда со и ! о о ~~', пап(г — ге)".
Но 1нп )с и ~ а„~ = 11ш и" 1пп у' '!а„'! = !пп ф' ~а„), 5 о.+ со о.+со о-+со о.+со поэтому )сс =( 1пп )с и!а„() 1=( 1пп )с !а„() 1= !сс. о +со о-1 со Пусть г, — какая-либо точка круга !г — г ) < )с! возьмем точку ч еак, чтобы ~(г1 — гз! <1ч — ге(= р <е1. Итак, степенной ряд может сходиться во всех точках окружности сходимости, может расходиться во всех ее точках и, наконец, может сходиться в одних и расходиться в других ее точках. Из теоремы Коши в Адамара как простое следствие вытекает следующая теорема: 128 гл. !ч.
вяды с компляксиыми членами. ствпвнныв гады ~ /(ае! рл-! (в о+! Ю при у~~ по(в) = по. Полагая ч'„па„(2 — го) = ч! (2) ! ПРИ 2+ гг, ~ г — 20 ~ (Р: выполняется будем иметь %ч (2 — 2о ! — (2! — 2о) ъч и — ! — т(2!) =- го ао,7в пав(2! го) о ! л (2) — л (2!) ! ео) + (2 го) (2! 2о) + + (2! ео) 1 2 а„((2 ! —,«~ па (2, — го)" (,~~ а„Н2 — го)" + +(2,— го)" ' — п(2,— 2,)" '1 + 2 ~ а~а„~р"-!. о„-~- ! Первая величина стремится к нулю, когда 2-ьг„поэтому она будет меньше в при )2 — 2!) (о(о); последнее слагаемое меньше 2в в силу выбора по. Итак, ! ' — а (2!) ( ( Зз при ( 2 — 2, ( ( В(е), откуда и следует справедливость теоремы. Применяя эту теорему к сумме ряда ~~„' па„(2 †2 ')ч = у'(2), ! получаем, что л'(2) также является аналитической функцией в круге 12 — го!(В причем ле(2)=~и(п — 1)а„(2 — го)" ', Повторное применение этой теоремы приводит к следующему выводу: СЭ Сумма степенного ряда ~~", а„(2 — хо)"=Л(2) бес!сонечно дифо ференцируелга в круге сходимости ~2 — го((ЙЯ )О); производная люоого порядка р получается путем р.кратного почленного СО Так как ряд ~ па„(г — го)" ' абсолютно сходится, то для любого ! е .
О неравенство 1 129 3. Аналитичность суммы степенного ряда диффеРенциРованил РЯда СО Г<р>(») = Х а(и — 1) (и — р+1)ак(» — »о)" о СО ч~ и(и — 1)... (и — р+ 1) а„(» — »о)" я. Полагая здесь»=», найдем; Ття>(»~)=р(р — 1)... 1 ° а, откуда Усе> (ео) а р Этот результат верен и для р=О, если считать Т!ое(»)=Т"(») и О! = !.
Поэтому степенной ряд можно переписать в виде О ~в~~~у сн> (ео) ( )к о Последний ряд называется р я д о м Т е й л о р а функции Д(»). Мы доказали, следовательно, теорему: Каждый степенной ряд с положительным радиусом сходи- мости является рядом Тейлора для своей суммы. СО ОС Пусть ряды ~,а„(» — »о)" и ~~~~до(» — »о)" имеют одну и ту же о о сумму У(») в окрестности !» — »о) (р (р ) 0) точки» . Тогда, по доказанному, будем иметь: т. е. соответствующие коэффициенты двух рядов равны между собой. Это предложение выражает свойство единственности разложения в степенной ряд.
В качестве примера применения доказанного свойства установим вид степенных рядов, расположенных по степеням » и представляюгцих соответственно четные или нечетные функции от ». Пусть функция у(») =а +а,»+а,»е+... +а„»"+... — четная, т. е. у( — »)=Т(»). Тогда сумма данного ряда совпа- дзег с суммой ряда у'( — ») = а — а,»+ ав»а+... +( — 1)"а„»" +..., откуда по доказанному а„ = ( — 1)"а„ (и - О, 1, 2, ...), 9 зак !озе А. и маркуксевка 130 гл. пн гады с комплексныин членами„степенные гады При и нечетном получаем а„= — ан, откуда а„= О (и = 1, 3, 5, ...) и, следовательно, Иг)=а,+ааг'+...
+а„нг""+ .. Аналогично покажем, что в случае, когда г(г) — не ч е т на я функция, т. е. у( — г)= — г(г), все коэффициенты с четными индексами должны обращаться в нуль н, следовательно, г'(г) = а,г+ а«гз -!-... + а«,«!г«!-' -+ Мы доказали выше, что сумма каждого степенного ряда есть ана- литическая функция. Впоследствии мы сумеем доказать, что каждая аналитическая функция разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности ее точки аналитичности. Это позволит распространить на все аналитические функции свойства сумм степенных рядов, уста- новленные в этом пункте.
4. Равномерная сходимость. Понятие равномерной сходимости рядов с действительными членами н основные их свойства распро- страняются и на ряды с комплексными членами. Именно ряд ~/~(г), ! где функции УВ(г) определены на множестве Е, называется р авно- мерно сходящимся на множестве Е«~Е, если он сходится на Е, и для каждого е) 0 неравенство ~ уу(г) <е выполняется во че! всех точках Е, при и ) Аг(е). Полагая ",«„гг(г)=Д(г), ~Р (;(г)=Я„(г) и ", "У~ (г) = г'(г) — 5« (г)= ! ! «!«! =Я„(г), можно представить это условие в виде зпр !)с„(г)( (е при и) Аг(е), или !нп зцр (Е„(г)(=0.
«йн, « -+ «««да', В случае, когда ряд сходится на Е„ но не равномерно, имеем: !!гп гс„(г) — — О, г~ Е,, но 1!ш зир ! Й„(г) ! либо не существует, либо Н +«« «.+ '««в отличен от нуля. Условие равномерной сходимости можно представить также в виде н+я ~~~„~В(г)~(е во всех точках Е, при'п)~А!(з) и любом натуральном р. Отсюда получаем следующий признак равномерной сходимости (признак Вейерштр асс а): если ряд ч„'и„ ! с постоянными положительными членами сходится и ).1,(г) ! ~(и„, .~Е„п)~Ам то ряд ~У„(г) равномерно (и абсолютно) схо! 4. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ дитсЯ на Е,. ПРименим этот пРизнак к степенномУ РЯДУ ,'Р„а„(г — ге)", е радиус сходимости которого й) 0; покажем, что в каждом круге )г — ге) ( г, где г ( й, он сходитсЯ РавномеРно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
