А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Пусть гг — точка круга сходимости, лежащая вне круга ! г — ге ! ( г. Тогда г( (г,— ге! =р(й и, следовательно, неравенство ( а„(г — г ) ( ( ~() а„(г1 — ге) ( выполняется в каждой точке круга )г — ге( (г. Но Рад с постоЯнными членами )аи(г1 — гз)'! сходитсЯ, поэтомУ РЯд ОЭ ,'~~~а„(г — г,)" равномерно сходится в крузе )г — ге~ (г (г(й). о Пока1хем, что существуют степенные ряды, сходящиеся неравномерно в круге сходимости.
Простейший п р и м е р такого ряда — геометриЕв.Е1 ческий ряд ч~~~~гв. Здесь й=1, 5„(г) =1+с+ ... +г11= о 1 — г 1 г»+1 у'(г) = —, й (г) = — и зпр ! й„(г) ! = знр = +со 1 — г' 1 — г 1,!<1 " )е)<1~1 — г~ при любом п, т. е, условие равномерной сходнмости не выполнено. С другой стороны, существуют степенные ряды, равномерно сходящиеся ъч гч в замкнутом круге сходнмости.
П р и и е р о м может служить ряд 7 —,. Лв и" 1 гв) 1 Здесь й = 1 и ~ — ~ ( —, при ) г ! (1; по признаку Вейерштрасса заключаем, что ряд раенрмерно сходится в замкнутом единичном круге. Отметим, что на равномерно сходящиеся ряды комплексных функций без изменений распространяются формулировка и доказательство известной теоремы: если функции уу(г) непрерывны на Е и ряд ~~~~~,УЗ(г) равномерно сходится на Е, то сумма ряда у(г) также 1 непрерывна на Е. ГЛАВА Ч ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1. Интеграл от функции комплеисного переменного.
Пусть 1.— спрямляемая кривая комплексной плоскости и «=Л (1)=х(1)+ 1у(1) (а (1.с, р) — ее уравнение"). На Ь можно выбрать одно из двух возможных направлений: одно соответствует возрастанию, а другое— убыванию параметра 1. Выбрав произвольно одно из них, будем в дальнейшем понимать под символом Ь данную кривую с фиксированным направлением; ту же кривую с противоположным направлением обозначим через — 1.. Пусть для определенности выбранное направление соответствует возрастанию параметра 1.
Тогда точку г = Л(е) назовем началом, а г' = Л(р) †конц Ь. Каждой системе значений 1:1а = е ( 1, ( 1а ( ... ( 1„ = р соответствует разбиение Т кривой 1. на дуги 1, 1„ ..., 1„ ,; началом дуги 1а служит точка гл — — Л (1ь) = ха+ 1уа, а концом га„, — — Л (1„„) («„= г'). Если те=,г(г)= и(х, х)+1п(х, у) — функция, однозначная и непрерывная на 1., то, выбирая в каждом сегменте 1а(1(1ач, по одному значению параметра 1=та, получим на каждой дуге 1а по одной точке Сь=Л(т„), в которой и будем брать значение функции 1(г) для построения комплексной интегральной суммы в-г ~~ у(Гл)(гач.,— га), соответствующей данному разбиению Г. Полагая в длЯ кРаткости 1'("л)=п(9а, йа)+гола, т)л)=и,+1оь, г,— г,=* (хяы — хл)+1(у„, — у„) = Ьха+ 1йуа, получим; е 1 в-1 в-1 ~ 1(Гл) (гае,— «а)= ~~' (иаЬха — папуа)+1~~~ ~(оа Ьха+иаЬуа).
о о в Очевидно, что действительная и мнимая части комплексной интегральной суммы сами являются интегральными суммами для пары действительных функций от х и у, вводимыми в анализе при опре- ") Определение спрямляеиой кривой см., например, в книге Г.М. Ф и хт е н г о л ь ц, Основы математического анализа, т. !, и.
199, Гостехиа. дат, 1955. 1. интвгглл от эвикции комплвксного пвгвмвнного 133 делении криволинейного интеграла вида ~ Р(х, у) их+ Я(х, у)О1у; первая сумма построена для пары функций и(х, у) и — о(х, у) и данного разбиения Т кривой Л, вторая †д пары о(х, у).и и(х, у) и того же разбиения. Так как каждая нз функций любой пары непрерывна на ь, а сама кривая — спрямляема, то по известной теореме анализа *) суммы эти стремятся к конечным пределам ~ и (х, у) 6(х — о (х, у) 6(у и ) о (х, у) 6(х+ и (х, у) 6(у для любой й й последовательности подразделений Т, удовлетворяющих условию 3=так(61 — 1«, Фа — 1„..., ń— М„1)-«0. ПрЕдЕЛЫ Этн, КаК НЗВЕ- стно, не зависят от рассматриваемой последовательности подразделений и выбора точек че, ч„ ....
ьн 1 на дугах каждого подразделения. Итак, существует предел « — 1 11ш Х У((~(я„1 — яь)- 6+ел=О = ~ и(х, у)66х — о(х, у)6(у+1~ о(х, у)61х+и(х, у)6(у. Предел этот называется интегралом от функции у(г) вдоль к р и в о й 1'. (в выбранном направлении) и обозначается символом ~ У(г) сбл1 11п Х,У((ь)(гл~,— яь)= ~ Дг)Нг. 6.+06 О й называется также путем или контуром интегрирования. Из определения следует, что интегралы от У(г) вдоль 1'.
и — 1'. связаны соотношениями ~ У (г)ггг = — ~ У(я) сбл. Примеры. а) Пусть У(л) =1, тогда интегральная сумма «-1 «-1 ~~~ у (ьь) (ля+1 ль) = ~ (ля+1 аь) = 2« — ло л — л«, Ь=О Ь=О следовательно, ~ ил = л' †. В частности, когда ь' — замкнутая кривая, 'й т. е. 6« = а~: ~ ал О. й «) См., например, Г, М, фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального нсчаслеинв, т, Ш, Гостехиздат, 1949, и.
560. --134 гл. ч, интвггировлнив егнкций комплвксного~пвгвмвнного ( и(1 и')е — е ") = п2(г1п —, и' следовательно, ке — !пп 2п!. л — а и.ь )г-а)=р и з!и — = 2я! и 2. Свойства интегралов. Из известных свойств криволиней интегралов вида ) Р(х, у)(гх+(,)(х, у)((у как следствия вытекают соответствующие свойства интеграла ~ у(я)(!я. А ииенно; х р р 1.
~ ~ са)а(я)= ~ са~ уа(с)(1я; а=! а=) г 1!. ~ у(с)((я= ~~~, ) у'(а)()ж р =! б) Пусть у(л) = е, тогда, полагая ьа =л» (а= О, 1, 2, ..., и — 1), полу- и-г чим интегральные суммы ',~~~ еа (еа„( — еа). Если положить 1а = еа+( а о и — ( (а=О, 1, 2, ..., и — 1), то иитегральнйе суммы примут вид у~ еаь((еа+( — ла). а=о Так как они имеют общий предел, то и их среднее арифметическое должно иметь тот же предел ~ епа( в и-) и-1 1 1 кч лйг = 11щ —, д (лае(+ да) (га г — еа) 1!щ — 7 (ег д — лг) = г-ье 2 г-го 2 .Л1 а=е а=о !!т — (л — ле) = — (г' — л ). 1 г г ),г г з ьа2 и е 2 е' Если и — замкнутая кривая, то снова получаем: ~ лрл = О, ие в) Вычислим еще йптеграл ~ —, где окружность (е — а ! = р е — а' !и†а)=р проходится в направлении против часовой стрелки.
Уравнение окружности можно представить в виде л = а+ ре(Р (О~(! < 2я). Выберем подразделение 2ая (а+ (аег 2а+ 1 (а = — и положим еще га = — я (а=О, 1, 2,..., и — 1), и 2 и га1 ( (га ь1) тогда ла = а+ ре и Са = а+ ре " . Соответствующие интегральные и суммы примут вид и — 1 ! г(аьиим га.(т 1 р)е " — е") (гав))— е ре 2. сВойствА интеГРАлОВ ~Зб Здесь Л, + ~о+... + А'.о обозначает кРивУю, составленнУю из дУг 1.у так, что конец (~ совпадает с началом (.1„, (/=1, 2, ..., д — 1). Весьма часто приходится оценивать сверху модуль интеграла.
Для модуля интегральной суммы получаем о ц е н к у о — 1 о-Г Х У(Гайза о за)~ < Х !П'-а)1~ ла. Ва! ° а-о а=о Очевидно, что (зао, †! †дли хорды, соединяющей точки г, и га „ поэтому (га„, †! ~( длина 1а = аа и, следовательно, о-о о — 1 Х У'(()(Ям, —:) < Х1П~ Н а=о а=о Переходя здесь к пределу при условии, что О=щах(г, — (о, ., 1„ — ~„ ,) -а О, получаем: П!. 17(з)И < ~ ~у(ЛМ6 . В правой части здесь фигурирует криволинейный интеграл вида Г(о)о(о, где о †дли дуги, отсчитываемая от начала 1.
до произвольной ее точки в выбранном направлении. Если 1у(г)~ < йт (я ~ Е), то из найденной оценки выводим более простую, но в общем случае менее точную: 1Ч. 1У(з) (з <М, д.. (.. в В частности, 1т'. ~ Пз) о(л(.< знр ~)'(г)( дл. (.. Ь Отметим еще следующую формулу почлен ного интегрирования ряда: ~~~~ Го (8) о(з = ~~~ ),~д (з) пЗ'' 1 1 г Эта формула справедлива, например, при следующих условиях: СО функции У„(г) (п= 1, 2, 3, ...) непрерывны на Е и ряд ~~~~ Го(я) г равномерно сходится на ~. Доказательство точно такое же, как и для функций действительного переменного. Известные из общего курса анализа примеры показывают (в частном случае, когда а, есть отрезок действительной оси и все функции 1„(г) =Хо(х) принимают 136 гл.
ч. интвггивовлнне егнкций компляксного пвгамвнного действительные значения), что одной лишь сходнмости ряда недостаточно для того, чтобы формула Ч была справедлива. 3. Сведбнне к вычислению обыкновенного интеграла. Пусть Š— г л а д к а я кривая; это ' означает, что для нее можно указать параметрическое представление я=Л(В)=х(В)+Гу(Е) (а~(В~(Д) такое, что Л(Г) имеет непрерывную и не обращающуюся в нуль на сегменте [а, Р] производную Л'(В) = х'(г)+(у'(В).
Геометрически гладкая кривая характеризуется тем, что в каждой точке она обладает касательной, причем угол наклона касательной к действительной оси (равный Ага'Л'(В)) непрерывно изменяется, когда точка касания перемешается по кривой. - Для интеграла ] Р(х, у)Нх+Я(х, у)НУ, взятого по гладкой кривой, в курсе анализа выводится формула ] Р (х, у) г[х+ Я (х, у) ду = в В ~ ( Р [х (В),-у (В)] х' (В) + Я [х (В), у (В)] у' (В) ! Ж, а сводящая вычисление криволинейного интеграла к обыкновенному. Следовательно„ ] у(г)Ж= ~ идх,— оду+1 ] о~х+ иду= Ъ Х Ъ В вЂ” / (и [х (В), у(В)] х'(В) — о[х(В), у(В)[у'(В) ! (В+ В + ' ] ( ™ [х(г) у(г)] х (г)+ " [х(г) у(г)! у (г) ! аг.
а Заметим, что обыкновенный интеграл ~ Г(В)Ш можно рассматривать как частный случай комплексного интеграла ~ 7(г) Иг, определен- Ь ного в п. 1: здесь Е представляет отрезок действительной оси, пробегаемый в направлении от а к р, а у(г) принимает действительные значения. Поэтому к интегралам в правой части последнего равен- 138 Гл. у. МнтеГРПРОелнне Функций кОмплекснОГО пеРеменнОГО гле гу — внутренность замкнутой жорлановои спрямляемой кривой 1,, выводится обычно прн следующих предположениях; а) любая прямая, параллельная координатной осиг пересекает не более, чем в двух точках (исключения допускаются лишь для двух крайних положений в направлении каждой оси, гдв возможно пересечение по прямолинейному отрезку); дС) др б) Р, с), — и — непрерывны в замкнутой области В.
Считая, 'дх ду что Е удовлетворяет условию а), и замечая, что из непрерывности ди .до до .да ди ди до /' (г) = — + 1 в = — — 1 — вытекает непрерывность дх дх ду ду дх' ду' дх до и — (и, конечно, также самих функций и и о), получаем: ду Выражения под знаками двойных интегралов 'обращаются в нуль в силу уравнений Даламбера †Эйле ди до до ди дх ду' дх ду' поэтому ) У(г)ба= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
