А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В этом слуо чае достаточно взять окрестности, одна из которых (У') целиком лежит внутри единичной окружности, а другая (У") — вне окружности (черть 62). 120 Гл. Нп злементАРные Функции и конФОРмные ОтОБРАжения / Если же г лежит на единичной окружности и находится, например, в верх- а 1 ией полуплоскости, то г — также лежит на единичной окружности и прис о том в нижней полуплоскости. В атом случае достаточно взять олпу окрестность (У') в верхней полуплоскости, а другую(У") — в нижней полуплоскости. 1/ 11 В каждой из окрестностей У' и У" функция л= — 1Г+ — ) будет однолист- 2 1 ной (она принимает одно и то же значение только в парах точек, связанных соотношением гг Г" = 1) и, следовательно, будет взаимно однозначно Черт.
32. отображать У' и У" на некоторые области л' и я" плоскости л, содержащие внутри точку ла (образ центров г и г' окрестностей У и У"). БУдем бРать окРУжности 1» — лз)=Р с центРом в ла столь малыми, чтобы они содержались как в области й', так и в области Е". Очевидно, все окружности с достаточно малыми радиусами удовлетворяют атому требованию. Тогда в силу отображения (58) такой окружности будут соответствовать замкнутые жордановы кривые Т' и т", по одной в окрестностях У' и У".
Ни одна нз зтих кривых не содержит внутри точки О. Позтому, когда л обходит окружность )л — лз! = Р, г обходит либо кривую т' (соотзетственно одной ветви функции (60)), либо кривую Тч (соответственно другой ветви ункции (60)). Если фиксировать значение Агп Г а какой-нибудь точке тг или Тч) до обхода, то оно, изменяясь непрерывно, вернется в результате обхода к прежнему значению (именно потому, что нн т', ни !л не содержат внутри точки Г = О). Поэтому в результате обхода вернется к своему исход- 1 ному значению и значение — Еп Г= Агссоз л. Итак, точка ле отличная от +. 1 и со, не может быть точкой разветвления для Агссозл.
Лля того чтобы получить какую-нибудь область плоскости л, в которой воаможно выделить однозначные непрерывные ветви Агссоз ж нужно соединить между собой точки разветвления втой функции жордаиовыми кривыми, Возьмем, например, бесконечный сегмент Ь действительной оси, соединяющий точки — 1 и + 1 через бесконечно удаленную точку. Этот сегмент Ь является границей некоторой области О.
121 21. овтлтныи . тгнгономитгнчвскни еонкцнн Из того, что нам известно о фуинцни (58), слелует, что зта функция отображает на область 6 взаимно однозначно как верхнюю, так и нижнюю ! полуплоскостн !. В свою очерель функциа то = — (.п! отображает каждую ! из них на полосы плоскости то, параллельные мнимой оси и имеющие ширину я, а именно верхнюю полуплоскость — на полосы хтть (2я — 1)я(и(2яя (я=о, ~1, д:2,...) и нижнюю полуплоскость — на полосы гтд. 2йя с, и < (йй + 1) я. Итак, образами области О в плоскости то являются указанные полосы о .
Чтобы фиксировать какую-либо'однозначную ветвь Агссоз г в области О, достаточно указать, какой именно из полос гя принадлежат ее значения. Так, получаем ветви: Агссозаг, Агссоз, г, Агссоз ,г,... Впрочем, достаточно фиксировать значение Агссоз г в какой-либо одной точке области О, например в начале координат. Тогда та полоса оя, куда попадает зто значение, и определит собой всю ветвь Агссоз г. Однозначные ветви Агссоз г можно определять, конечно, и ао многих других областях плоскости г.
Укажем, например, область О', граница которой состоит из конечного сегмента а действительной оси, соединяющего точки — 1 и + 1, и из положительной части мнимой оси, или область 6", граница которой состоит из того же сегмента а и отрицательной части мнимой оси. Предлагаем читателю выяснить, на какие области плоскости то отображают О' или 6" соответствующие зтим областям однозначные ветви функции Атосов г.
Перейдем к рассмотрению функции то = Агс!и г, обратной по отношению к функции г=!кто. Выражая !я'то через я1пто и соясо и, далее, через показательную функцию, получим: 1 егш е чш ! еззш — 1 г (63) ! еьш-1-е-зш ! етъш.+1 или, полагая ея™=т: 1 т — 1 гшш — —, ! .+1' откуда 1+ гг 1 — !г и, наконец, 1 1-1-гг то = — 1.п —. 2! 1 — !г Итак, Агс1пг выражается через логарифм от дробно-линейной функции то = Агс!д'г = 2) 1.ив ! 1+!я 1 — !г ' (64) 122 гл. ш.
элвмвнтагнык егнкции н конеогмныи отовглжвння Предлагаем читателю убедиться в тон, что Агс1ял имеет только две точки разветвления: ~ й Простейшими областями, в которых можно выделять однозначные ветви Агс!ял, будут область В, границей которойслужитбесконечный сегмент Ь мнимой оси, соединяющий точки разветвления л-Г и +д и область я', границей которой является конечный сегмент е, соединяющий те же точки. Читатель легко убедится, далее, в том, что однозначные ветви Агсгдл в области О отображают эту область взаимно однозначно и конформно иа полосы шириной к, параллельные мнимой оси.' йв — — (и(лв+ — се=О, +.1,...), 2 " 2 а однозначные ветви этой функции в области я' отображают я на подоб- ные же полосы йя(и(1л+1)я ГЛАВА 1Ч РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 1. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Пусть !чо„*и„+!о„)— последовательность комплексных чисел. Выражение ос+тог+щг+ ' +чо + или, коротко: ~~~~~чо„, называется рядом, числа исо чог, тов, ... — 'его 1 членами, суммы е„= чо, + чог+... + то„(п = 1, 2, ...) — ч ас т и ч н ы м и с у ми а м и ряда. Если последовательность частичных сумм сходится, то ряд называется сходящимся, а предел последовательности Иш в„= е — с у м м о й р я д а; в этом случае пишут; и.и со со ~~ чо„= в. Если последовательность частичных сумм расходится, то 1 ряд называется расходящимся. Очевидно, что втн определения включают как частные случаи известные определения для рядов с дей. ствительными членами.
Замечая, что и и в„».~ ~ив+ ! ~~~~ ов 1 1 и что соотношение рлп в„= е эквивалентно двум соотношениям: п -Ь со !!ш ~ив=!(ее е и !пп ~он —— !шеоо с, заключаем, что схои-Ьсо 1 и +со димость ряда с компленсными членами внвивалентни одновременной сходимости рядов, составленных соответственно ив действительных и мнимых частей данного ряда: ~ и„и ~~~~о„. 1 1 Прнменяа к последовательности (е„) общий критерий Коши, получаем следующий общий критерий сходимости рядов: ряд(1) сходится тогда и только тогда, когда для любого з) 0 существует такое Аг(е), что неравенства ! еи р — еи! о..
е выполняютея при н АГ(е) н любом натуральном р. Как частный случай (р=1) получаем н'еоб- 124 гл. 1н. виды с комплексными членами. ствпвнныв гяды ходимое условие сходимости ряда йш товО1=0, т. е. !!ш то„= О. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд модулей его членов ~~'„~то„~. 1 Из общего критерия сходимостн рядов вытекает, что каждый абсолютно сходящийся ряд сходится. Что обратное предложение неверно, следует уже из известного примера сходящегося, но не абсолютно сходящегося ряда с действительными членами т.( — 1) У -11 лв и ! Из двойных неравенств !ив!! ~ ~ ( 1шв ! ( !и„! + М вытекает, что абсолютная сходимость ряда ,'"„ тов зквизалентна одно- 1 ВрЕМЕННОй СХОдНМОСтн рядОВ ~~'„(ив( И ~~' !ОО(, т. Е. абСОЛЮтНОй СХО- 1 " 1 СО СО димости рядов ~~~~~ и„ и "Р~э„. Следовательно, на абсолютно сходя- 1 " 1 щиеся ряды с комплексными членами переносится теорема о том, что произвольное изменение порядна !ленов не влияет на сумму ряда.
Судить об абсолютной сходимости ряда (1), т. е. о сходимости ряда ~ !шв), можно на основании любого признака сходимости рядов 1 с неотрицательными членами, например признака Коши (ряд абсо- О лютно сходится, если у' ~а~„( (су(1 при и рл ) или Даламбера ( ряд абсолютно сходится, если (д(1 при п)~п ). ! ИСООС ! 1ВО ! Заметим, наконец, что сумма или разность двух сходящихся рядов СО СО "~~~ го'„=з' и ~~Р„то„'=зО выражается сходящимся рядом 1 в о) При дополнительном условии абсолютной сходимости даннлх рядов ряд 1 2.
ТВОРвмА коши — АдАмАРА также абсолютно сходится и сумма его равна э'1'. Последние предложения доказываются для рядов с комплексными членами точно так же, как и соответствующие предложения для рядов с действительными членами. 2. Теорема Коши †Адама. Степенной ряд ао+ а, (г — го)+ + аа(г — го)" + (2) где ао, а,,..., а„,... — фиксированные комплексные числа, а г — комплексное переменное, является простейшим примером функционалького ряда, т.
е. ряда, члены которого суть некоторые функции от г. Такой ряд, вообще говоря, сходится при одних значениях г и расходится при других. Сведения о том, где это происходит, дает следующая теорема Коши — Адамара: Если 1нпуо ~а„~=Л о), то при Л=О ряд (2) абсолютно сходится во всей плоскости, при Л = со он сходится только в точке г= г и расходится ари г ~г, наконец, в случае, когда 0(Л ( оо, он абсолютно сходится в круге К: ~г — г ( ( — и расходится 1 во внешности этого круга. о Доказательство. а) Пусть сначала Л =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
