А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Очевидно, точку я = со можно также рассматривать как алгебраическую точку разветвления порядка и — 1 функции 1/ л, так как каждый обход вокруг нее вдоль окружности сколь угодно большого радиуса с центром в начале координат является вместе с тем и обходом вокруг начала координат. Поэтому многозначная функция тв = ~! я имеет две точки разветвления в плоскости гн е = 0 и е = со, обе порядка и†1. *) Последнее понятие предполагает еще, что в данной точке существует предел функции (конечный нли бесконечный), и 17. эгнкция тв= р'г 103 Описанные выше однозначные ветви этой функции строились для областей типа О' илн 0', граница которых представляла прямолинейный луч, соединяющий обе точки разветвления.
Более общий тип подобной области получится, если вместо прямолинейного луча провести произвольную жорданову кривую расширенной плоскости, соединяющую точки 0 и со. Пусть à — эта кривая и Π— ограниченная ею область. Если г описывает Г от начальной точки (0) до конечной (со), то соответствующие ей л точек тз= у' л описывают л жоРдановых кРивых Тю соединающих точкУ 0 с точкой со.
Эти кривые не имеют других общих точек, кроме 0 и оо, и составлЯют попаРно (Ув с Тл+,) замкнУтые жоРдановы кРивые РасшиРенной плоскости. ПУсть У„' — та из двУх областей, огРаниченных кРивыми Тв и твом котоРаЯ не содеРжит кРивых т„..., твом Тв„„..., Т„. ПРи по2л вороте плоскости г вокруг начала координат на угол — тв в силу l постРоениЯ пеРеходит в (ь+,, Тьо, — в тв+о и область Я)о пеРеходит в область д' н Так как у„' и дво, не имеют общих точек, то ни одна из этих областей не содержит пары точек, которые переходили бы одна в другую в результате такого поворота. Поэтому все области д„' (й 1, 2, ..., л) являются областями однолистности для г = тзл, и мы получаем л одйозначных ветвей функций у' я в области О, потребовав, чтобы значения каждой ветви принадлежали соответствующей области ль'.
Для фиксации одной ветви достаточно указать значение )~ г в какой-либо точке яо области О; если это значение 'есть тзо, то найдется единственная область у„', содержащая точку тво, и вместе с тем и единственная ветвь у' » в области О, принимающая значение тзо в точке яо. Именно таким путем и поступают обычно, когда хотят фиксировать определенную ветвь у'я в области типа О. Пусть у' г и г' л — две ветви у' в в области 0 и их значения в в некоторой точке го суть соответственно тз' и тв". Так как — чо+2е'л, .
чо+2е'е~ тз'=~ я= Р (л(~соз ' +(з1п ' ), о, 1 л л те+ 2илв ° ЧО+ 2иов З тзо= ~l «=7 (я~~сов '+ +(з(п ' ), л л где и' и и" — целые числа, то тв" можно получить из ш' путем умножения на =сов +(з1п 2 (е" — е') л 2 (е" — и') я л л 104 Гл. н!. элвмвнтАРнык ФУнкции и конФОРмные ОтОБРАжзния п и т. е. на одно из аначений )/1. Но, умножая функцию )/г на число ти мы, очевидно, получим однозначную и непрерывную в области О функцию э) 1/ г, значения которой представляют у' г и принадлежат той же области, что и точка э)'1/гэ= 1/г . Следовательно, ь э)~/ г= у' г во всей области О. Мы видим, что две ветви 1/г в одной ь и той же области О могут быть получены одна из другой посредством умножения на некоторое значение )/ 1. Все выводы этого пункта переносятся с соответствующими очевидными изменениями на функции несколько более общего вида: "/ г — а тв= р г — а или те=1/ — ~/ г — Ь.
Рекомендуем читателю рассмотреть эти примеры, заметив, что функции эти являются обратными по отношению к функциям Ьдеи — а г = а+ ь и или г —, для которых области однолистностн— ши — 1 те же, что и для функции г = тв". При этом следует обнаружить, что точки разветвления функции е = )/г — а суть а и со, а точки "/ г — а разветвления функцйи ш 1/ — суть а и Ь и что выделение $/ г — Ь однозначной ветви функции возможно во всякой области, граница которой есть жорданова дуга, соединяющая точки разветвления.
18. Функция и! 1/ Р(г). Лля лучшего выяснения понятия точки разветвления рассмотрим многозначную функцию де = / (г) '1/ Р (г) где Р(г) — произвольный многочлен. Пусть М вЂ” степень этого многочлене, еи аэ ..., а,„— все разлнчные его нули, э ад, иэ, ..., аю — ях кратности (ад+аз+... +а„,= Ад). Тогда Р(г) можно представить э виде а Р (г) А (г — ад) ' ... (г — а,„) ид, откуда /(г) = Р' А (г — ад)"' ... (г — а,„)'ди (49) Рассмотрим произвольную замкнутую жордэнову кривую т (например, окружность), не проходящую нн через одну нэ точек аь (а = 1, ..., т).
Заставим г однократно обойти эту кривую в определенном направлении. ФиксиРУем значениЯ аРгУментов длэ г — аь ..., г — ади в какой-либо точке ге Ба хряэой р Пусть эти значения булут тд, ..., Рю. Прн обходе точкой г 18. екнкция то = )7Р(я) 105 кривой т угол и» между вектором в — а» и положительным направлением действительиой оси будет непрерывно изменяться, отправляясь от начального значения ев, и в результате однократного обхода кривой 1 он либо вер- <о> нется к прежнему значению Т» (если точка а» лежала во внешности 7), <е> либо приобретет приращение +.2я (если точка а» лежала во внутренности т ) *) (черт. 28).
При этом знак приращения + или — будет зависеть » яя Черт. 28. только от выбранного направления обхода кривой П мы будем называть положительным то направление, при котором соответствующие углы получают положительное приращение 2я. Предположим для определенности, что точка е описывает т в положительном направлении. Если ни одна из точек а» не лежит внутри 7, то все углы е» вернутся в результате обхода к первоначальным значениям Ч~~~, а вместе с тем вернется к первоначальному значению н функция (49). Отсюда следует, что ни одна из конечных точек ь плоскости, отличных от а», не может быть точкой разветвления для этой функции.
В самом деле, для такой точки можно указать окрестность, не содержащую ни одной точки а»; тогда обход любой замкнутой жордановой кривой т, принадлежащей этой окрестности и содержащей внутри точиу С, будет сохранять избранную ветвь нашей функции.
Итак, никакая конечная точка С отличная от всех аю не является точкой разветвления для 7'(с). Рассмотрим теперь окрестность какой-нибудь точки а», настолько малую, чтобы в ней не содержались другие точки: аь ..., а» и а»ьь ..., ат. Тогда при обходе кривой 7, принадлежащей этой окрестности и содержащей а» внУтРи, Угол е изменитсЯ на 2Я, тогда как все Углы 9,..., Т» ц Т»+т . °,Т,„ вернутся к прежним значениям. Отсюда следует, что аргумент подкоренного выражения в формуле (49) в результате обхода кривой 7 изменится на 2кат 2иав 2иа» а следовательно, радикал (49) приобретет множитель соз — + !в!и — , л и который, очевидно, будет отличным от единицы тогда и только тогда, когда а» не является кратным и. Итак, каждый нуль а» многочлена Р(л), кратность которого а» не есть число, кратное н, является точкой разветвления для функции )/ Р (с).
Чтобы определить порядок втой точки, предположим, что г ь»(ь» и) есть наибольший общий делитель а» и н. тогда, полагая ໠— — в»а» *) Эти факты, легко проверяемые в простейших случаях (например, когда т есть окружность, эллипс или многоугольник), могут быть доказаны в самом общем случае. См., например, П. С. Александров, Комбинаторная топология, Гостехиздат, 1947, глава П, 106 Гл. и!. элементАРные Функции и коиФОРмиые ОтОБРАжения 2яа 2яа» 2аа» т и и Б»э» (т»~1), запишем двучлен соз — »+ ! Б1п — в виде соз — + и и.
т» 2яа» +!Б1п —. В результате р.кратного обхода кривой Т в одном и том же направлет / 2яа»р 2аа»р нии функция у(г) приобретет множитель соз — + ! э!н —, который, т» очевидно, будет равным единице тогда и только тогда, когда р кратно ч». Наименьшее соответствующее значение р есть т». Отсюда следует, что порядок точки разветвления а» есть т» — 1. Рассмотрим, наконец, окрестность бесконечно удаленной точки, ие солержащую ни одну из точек а», и в этой окрестности жорданову кривую 1, содержащую внутри все точки а». Тогда внешность Т будет содержать точку со и не будет содержать ни одной иэ точек а».
Совершим однократный обход кривой ф Все углы Т приобретут приращения 2а, следовательно, аргумент подкоренного выражения в формуле (49) изменится на 2я(а, +аз+... +а„,) и вся функция у (л) приобретет множитель 2а (ат+ ... + ата) 2я (ат+... + аа,) 2а)!Г 2я!т' соз ' ' ' +!з1н =сов +!з!и —, м и и и Он будет равен единице или отличен от единицы в зависимости от того, будет ли !ч' кратным и или нет. В первом случае со не будет, а во втором будет точкой разветвления функции у(л). Если при этом Б есть наибольший общий делитель )т' и и(аа и) и и =В», то порядок бесконечно удаленной точки, рассматриваемой как точка разветвления, будет равняться т — 1. Мы заметили, что в случае, когда а» кратно и, обход жордановой кривой В заключающей внутри точку а» и не заключающей ни одной из остальных точек а, не изменяет значения у (л).
Точно так же не изменяет значений у (л) обход кривой Т, заключающей внутри все точки а», в случае, когда Р( к атно и. усть вообще а», ..., ໠— такая группа точек разветвления, для кол торой сумма а» + ... +а» кратна и; тогда обход любой замкнутой жорда», новой кривой В содержащей внутри указанные точки и не содержащей ни одной точки аы отличной от них, не сможет изменить значений у (з).
Поэтому во всякой области О, содержащей только такие замкнутые жордановы кривые, внутренности которых либо не заключают ни одной точки разветвления а», либо заключают группы точек разветвления, для которых суммы соответствующих чисел а» делятся на и, можно выделять однозначные ветви функции у(л). Для этого достаточно фиксировать значение шэ фуниции у'(л) в одной из точек лэ втой области. Среди и образов у(0) области б в плоскости ш один будет содержать точку ш; пусть этот образ есть л . Тогда однозначная ветвь функции у (л) в области С вполне определится тем требованием, что все ее значения принадлежат Р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
