А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 29
Текст из файла (страница 29)
о а а о Выполняя интегрирование и извлекая квадратный корень из всех чле ю: неравенства, найдем: и '!Г к(1 — е "')с.2 ~ е 'ь!сч.тзГи(1 — 'е ™), о отку ш и Ьв 2 ( е !' л! = р" е Н.+ о а нли л! е о,= —. -Р у 2 10 зак !зза. л, н. Маркуимвач Впишем в квадрат с центром в начале координат, со сторонами, параллель. ными осям координат и равными по длине 2)т(, круг й, а также опишем около этого квадрата круг К. Тогда в силу положительности подынтегральион функции 146 гл.
ч. ннтвгвиговлнии екнкцнй комплексного пигвмвнного позтому )Ув()Е)) ~)Е ) ехр( — )Езз1п2Ч)сст. о 2 к Но з1п 2Ч ~ — ° 2е при 0 ~ 2Ч.4 — о). и Следовательно, ехр ( — — )сеу) 1оз(сЕ)! И;й ) ехр( — — тРЧ) ИГ= )с о — — )Р и! — о 4 !Е ~о откуда и вытекЪет, что Ию У (!Е) О.
В -ь со Наконец, рассмотрим ут(й)=* ~ гн с!Е= ~ сов ЕвасЕ+г~ з!пЕзссЕ. т. е. Ию ~ ~ соз Р ссЕ + ! ) з!п Р с(Е~ = — (1 + !). т' 2и В о со 4 Отсюда следует, во-первых, что существуют интегралы созРс!Еоо Ищ ГсозЕзссЕ и !. з1пЕзс(Е= Ищ ! з1п(зстЕ В о со В -ьос С о о о о з1п о с' в1 о) В самом деле, функция у(а) = — убывает в интервале !10, — ус, так как ее производная асов о — и!па соз а(в — !Ио) У'( )— а з а 3 и к з!по 2 прн 0(о( —. Позтому у (а) ~~»у~ — ), если о ( —, т.
е. — о —, или 2' 2' ' ' а и' 2 с' о!па) — а ~0(о(-2.) ° и Это неравенство переходит в равенство при а = 0 или о = — . 2' Так как Ут(сЕ)+ов(сЕ)+оз(!с) =0 при любом )с, то .Ут(сс) = — Уз(сс)— — Уз(й) и Исп Уд(!Е) = — Исп Уз(/Е) — 1пп Уз()Е) = — (1+ !), )/2и Л-ьсо, Л-оса л ь, з 4 6. пгимвнвнйв к вычислвнию опгвдвлвнных интвгвдлов 14у и, во.вторых, что соа $ак(= ~ а!паяя(= — 2я. у' 2я 4 2.
И н те грал е ~ соа (2Лах) лх (Л)О, а)0) Черт. 37. днфференцируема яо всей плоскости, то к ией применима интегральная тео рема. Следовательно, а-"™л( ~ а-лрлг [ ~ а-лолг [ [ а-ин«г [ ['е-лс'лг АВ ВС СВ ВА На АВ 0 =х ( — й~(х Сй) и аь= Лх, поатому ут —— е ~ Лс= [ е 'а гсх. Г Ы» Г Ла» А -л На ВС »=й+1у (ОК;у~а), »а= йа+21йу — уя н Ль 1ау, поатому в Ль= / ехр[ — Л(йа+Гййу уа)[Гну а 1 / ехр [ — Л (йт — уя)) ехр ( — 2йгуЛ) г(у. а ВС На СВ С= х+1» (йуьх> — й), »я = ха+ 21ах — ат и «ь=кх, 1Оа Для его вычисления будем интегрировать функцию у(л) е а по кон. туру. Л прямоугольника, иаобрахгеиного на черт, 37.
Так как ага функция 148 гл. ч. интвгвивовании етнкций компликсного пивкмвнного следовательно, Ув= Г е лс л»= ехр[ — Л(хз+2лах — аз)]ах= сТл +В ехр ( — Лхз — 2таЛх) ах = -и +В е-л ъ' [соз (2Лах) — У з!в (2Лах)) Нх. - — еЛ»' = — ех ' Наконец, на РА ( = — )т + Гу (а > у > 0), (в — Лз 2) лгу уз и и( г л(у позтому Ув = ] е-лра( = ] ехр [- Л()та †2Я вЂ” уз)] )с(у ВА » = — » ~ ехр[- Х(есв — уз)] ехр(2ЮуЛ) ау. о При У() а получаем: » )уз[~ / ехр[ — Л()[з — аз))ау =аехр[ — Л(ди аз))-»О (Р-ьоа), о Точно так лче [Ув ! ~, '~ ! ехр [ — Л (Угз — уз)) ! ! ехр 2Г)тЛу ) ау = о » ~ ехр[ — Л(есз — уз)]ау-»0 о (К -ь со) Интеграл Ут при )с-ьоо будет стремиться к пределу +»о +О» ехр ( — Ххз) Лх = — ~ ехр [ — ( Г' Лх)з! а ( уг Лх) = 1У так как ~ е-а'ах= ]/ и; см.
предыдущий пример). ( Заставим теперь )т неограниченно возрастать. Тогда интегралы Уз и У» будут стремиться к нули» В самом деле, [Уз !»~ / [ ехр [ — Л()тз — уз)! ! ° [ехр( — 2ЯЛу) [ ау а» ~ е л1В' зиву. о о 6. пгимвнвник к вычислвнию опввдвленных интвггалов 149 Наконец, из соотношения !+уз+ з+/4 О выводим: е'ы ~ е-"и» (соз (2Лах) — »' з1п (2Лах))»тх = 1 — 11ш Уз= Вш Ут+ 11ш Уз+ 1!ш У»=3г» Л-ьь» и +ь» в~со н.ась Сравнивая в этом соотношении действительные части, получаем: +»»» ет ' ~ е-лз' соз (2Лах) а»х = 'з з' Л' т.
е. е-"и' соз (2Лах)»(х = -»» » я = У вЂ” е-ь». Л 3. Интеграл з!и$ Черт. 38. На АВ ь равно действительному числу 1. Поэтому »ть =*»1т и интеграл сов с»(с ( в!пИЕ '+~"— На ЯС0 С =Я(соз е+1з!ив) (О~!»~я), поэтому »1( = )»» ( — з)п ф + 1 соз у)»ЕЭ = ггг (соз Э + 1 з!п у) Л у е!» Возьмем вспомогательную функцию у(х)= —. Функция эта определена г' в области сг, образованной всеми точками плоскости, исключая начало координат, и лифференцируема в втой области. Беря контур интегрирования Е, изображенный на черт.
38 (этот контур, как и все точки его внутренности, лежит в односвязной области В, ограниченной отрицательной частью мнимой оси), найдем по интегральной теое»* реме, примененной к.функции у(г) !50 гл. ч. ннтигвнгованнв ехнкцнй компликсного пвввминного л ( е т(Е 1 ехр[!тЕ(сове+(в!по))йт(сове+та!пч)яч .! -Е тс (сов о + ! в!п т) ВОВ о Г ~ ехр (И сов о — Р в1п о) КГ. О На в!Я Е равно действительному числу Е, поэтому я( = ЛЕ я — у г Э' ЭЯ -Я вЂ” Я -В Заменяя здесь переменную интегрирования Е на — Е, получим: Я . В сов ЕяЕ ~ в1п ЕМ Е Наконец, на ЕРА Е = г (сов о + т' в1 и 1) (я > о > О), поэтому ос = (г (сов ф + т в!п ф) ФГ о ехр(!г(сову+!в!по)] !г(сов о+!в!по) „ г (сов о +! в1п е) — ! ~ ехр(!гсов у — гв1п у)ЛЧ, а Заставим !с неограниченно возрастать, прн этом ов *т' ~ ехр((тЕсов и — Рв!ну) ЛЧ о будет стремиться к нулю.
В. самом деле, 1Ув) ~ ~ ехР(®сову — гтв!пй аар) < ~ ехР( — У(в!по)ЛУ= о о и!в "'о ~2 ~ ехр ( — гт в!яр)КЕ(2 ~ ехр( — 1( — Э~Фу =и — ч" я, я) -- й й о о откуда и следует, что !1и! ув =О, В +ос б. пгимкнинив к вычнслвнню опгвдклвнных интиггллов 151 Пусть, наконец, г стремится к нулю; на6дем предел иитегралауе равного — т ~ ехр (!г соз е — г з1п е) ФЕ. а так как функцив ехр(!л) непрерывна в точке л= О, где она обращается в елиницу, то длв любого з)0 можно указать такое Ь(е))0, что при ~з! г(Ь(а) будет выполняться неравенство | ехр(Рг) — 1| = ! ехр(!г сов е — г з!и е) — 1~(а. Отсюда вытекает,.что ! л ь+~)~ е)~-~)ь~а г- е-+ т.
е. !!ш Уа= — 1 ~ 1 6р — вд г-ьо Возвращаясь к основному соотношению етс аŠ— = 4т+Уз+Уа+Уа= 0 Е выводим из него: 4т+,/з — Уз — Уа или, пользуясь указанными выше выражениями для ут и уз! В ып1«с 21 ! — = — Уз — Уе Е При Р-ьсо и г-ьО правая часть, как мы видели, стремится к пределу — 1!ш Уз — 1!ш,/а--и!. Следовательно, и левая часть стремится к тому же Вььь з -ьа пределу: В !пп 2! ~ — ПЕ = и!. , ! з!пЕ и Обозначая !!пт ~ — пЕ, существование которого мы доказали, через ! а!пЕ г+е — а%, получаем окончательно: з1п Е Е о — — ° Б!пЕ и — ФЕ = —. 2' й 152 гл. ч. интвгеиговьнив взнкций комплексного пегеменного 7.
Интеграл и первообразная. Из интегральной теоремы Коши вытекает, что интегралы от аналитической функции вдоль любых двух кривых Е, и ~, с общим началом ге и концом г (черт. 39) имеют равные значения. В самом деле, кривая Е = Л, + ( — Ц) является замкнутой и, следовательно, ~ з (г) б = ~ У(г) йг+ ~ У(г) йг = ь в, — г„ ~ У'(г)йг — ) /(г)йг = О, откуда Черт. 39.
Итак, интегралы от функции з(г), аналитической в односвязной обласрьи О, зависят только от начальной и конечной точек пути интегрирования. Поэтому для интеграла вдоль произвольной спрямляемой кривой 1., соединяющей точки ге и г, можно пользоваться обозначением ~ Дг)йг. Мы будем называть гв и г пределами интегрированияя (соответственно нижним и верхним). Фиксируя гв, рассмотрим интеграл ~ З(г)йг как функцию верх- него предела: Покажем, что Р(г) — аналитическая функция и что ее производная равна з(г). В интересах дальнейшего дадим этому предложению более общую формулировку. Теорема. Пусть 7(г) — функция, непрерывная в односвязной области О, для которой интегралы вдоль любых спрямляемых кривых, принадлежащих области, зависят только от начальной и конечной точек кривых. Тогда интеграл Р(г)= ~ У'(г)йг н является аналитической' функцией, причем Г'(г) -Лг) 7.
ИНТЕГРАЛ И ПЕРВООБРАЗНАЯ До к аз а те л ь ство. Рассмотрим какую-либо окрестность (/ точки г 1".— г! ~ Р, принадлежащую области О. Пусть 7.<=0 — какая-либо кривая, соединяющая г с г, н Л вЂ” прямолинейный отрезок, соединяющий г с какой-либо точкой г, чь г, г, с= (7 (черт. 40), тогда ()= 1~()~; (,)= 1~() =1~() +1.«() Ь Л и, следовательно, Р(г1) — — Р(г)= ) У('-)Г("- ,.1 ".: УМА'".— 7(г) (г — г) Р(г,) — Р(г) . ( л~ г1 ~ У("-) — У(г)1 ~". Л В силу. непрерывности Р(г) можно для любого е>0 выбрать радиус р окрестности У столь малым, чтобы для любой точки ".~(7 выполнялось бы неравенство 17(") — Р(г)! (е.
Тогда будем иметь: — (г)1 ( Р(г,) — Р(г) 1 А дл, л г,— г 1 1г,— г1 (так как 1г,— г!=дл.Л); отсюда и следует, что Дщ = Р(г) = Р" (г). Р (г~) — Р (г) А Назовем функцию Ф(г), аналитическую в некоторой области О, первообразной церт. 4О, относительно функции .Р(г) (короче: первообразная от 7(г)), если Ф'(г)=Р(г) во всех точках области.
А При условиях доказанной теоремы можно утверждать, что 1 7(г)с(г есть первообразная от „Г'(г). Покажем, что любая первообразная от Р(г) выражается формулой Ф (г) = 1 Р(г) Г(г + С, где С вЂ” постоянное. Положим: ы(г)=Ф(г) — ~ 7(г)Иг=и(х, у)+(и(х, у), ,154 гл. о. интвгеиговлние егнкций комплексного пвгвмвнного тогда м'(е) = — + 1 — = — — 1 — = У'(я) — У(х) шг О, ди до до ди дх дх ду ду откуда ди до до ди — — — ~0 дх дх ду ду и, следовательно, и(х, у)=С,, о(х, у) С,, т.
е. м(я)= и(х, у)+го(х, у)~С, +!Сз= С. Полагая в формуле (1) я =хо, получим: ф(яо)- С, поэтому ./ г (я)бл ~(е) ~(яо) и (г) Тзк, например, замечая, что в области — я«'агре(п функция 1пе = 1 = 1п !е1+ гасил является переообрззной от У(л) = —, получим: дс — = !ве — 1п! !п е. 1 8. Обобщение интегральной теоремы Коши на случай, когда функция не является аналитической на контуре интегрирования. Интегральная теорема Коши обобщается в различных направлениях. Пусть область О представляет внутренность жордановой спрямляемой кривой Г и у(я) — функция, непрерывная в замкнутой области О и аналитическая в области О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
