А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Рассмотрим прежде всего однозначную ветвь 1п г, определяемую посредством условия !и 1 = О в области О, границей которой служит неположительная часть действительной осв: х ~ О, у О (ветвь эта может быть представлена в ваде !и г 1п ! г ! + ! аги г, где ! згй г ! ч и). Так мах (!пг)'= —, то (1пг)! =( — 1) 1 в! в 1 (Д вЂ” 1)1 , и следовательно, разложег' гз ние !и г по степеням г — ! имеет вид ъ-т (!и г)1 ~1 1пг= я! о о или О л !пг 11 ( — 1) в-1 (г — 1) Ф 1 168 гл. и!. ииткггальная вогмглл коши и ке слидствия Расстояние г от точки г» = 1 до границы области 0 равно единице. Позтому найденным разложением можно пользоваться при ! г — 1! ( 1.
Заменяя здесь г — 1 на г, получим степенной ряд для 1п(1 + г), сходящийся при [г] ( 1: СО ь-! г" !П(1+с?-,'Е(-1) — ([с[<1). й ! !и(1+г) является однозначной ветвью функции (.п(1+г), определяемой условием [(.и(1+г)] !п1=0 в области О, границей которой служит часть действительной оси хк, — 1, у = О. Рассмотрим, далее, функцию г", где » — произвольное комплексное число. Это — многозначная (в случае, когда » не есть целое число) функция, выражающаяся через показательну!о функцию и логарифм при помощи соотношения г«ехр (» 1.п г). Выделим однозначную ветвь у(г) втой функции в той же области.
О, которая фигурировала в предыдущем примере, посредством условия в (1) = 1. Эту ветвь можно представить в виде Ч (г) = ехр (» ! и г), откуда 1 р' (г) = » ехр (» !и г) ° — = » ехр (» 1п г) ехр ( — 1п г) = » ехр [(» — 1) !п г] г и, далее, вой(г)»(» — 1)...(» — и+1) ехр [(» — й)1пг! (й 1, 2, ...). В точке г 1 производные равны т!"!(1) =»(» — 1) ... (» — й+1), и следовательно, разложение в(г) по степеням г — 1 имеет вид » т(т» (» — 1) ... (» — Ф+ 1) !, »! ! Оно имеет место, как и в предыдущем примере, при ] г — 1](!.
Заменяя здесь г — 1 на г, получим разложение для !у (г+1) в ряд по степеням г. Пользуясь вместо в(г+1) привычным обозначением (1+г)' (понимаемым как обозначение однозначной в области О функции ехр [» !п (1+ с)]), получаем: (1 + г)" = 1 + )~~ 'а га ([ г[ ( 1). ! Это — би номи аль на я формула, установленная здесь для самого общего случая. когда показатель степени есть произвольное комплексное число, П. Производная аналитической функции сама является аналитической функцией. Действительно, У'(г) обладает производной [у'(г)]'=у»(г) всюду в области О.
Ш. Действительная и мнимая части аналитической функции обладают дифференцируемыми костными производными всех порядков. 3. ввсконвчнья диеееввнциехвмость 169 В самом деле, если /(с)=и(х, у)+(п(х, у) — функция, аналитическая в области О, то и(х, у) и о(х, у) — дифференцируемые функции х и у в области О в силу п. 7 главы Н. Так как ди + . до до ди дх дх ду ду ' то отсюда следует, что и частные производные первого порядка от функций и и о дифференцируемы в области О. Чтобы доказать предложение !11, достаточно показать, что для любых целых недь чали С дьего отрицательных )г и 1 частная производная д, (или д „д, ) существует и является действительной или мнимой частью-некоторой аналитической функции (а именно функции -уч + (з)).
Пусть это утверждение верно для всех производных порядка и, так что, например, дьчги , — — Кер(х)=(7(х, у), где А+1=и. дхь дуг Тогда существуют: д(7 даьг+чи д0 дь" щчи д дхь+г дуг ( ) ду дхь дуг ' ~ а) ~ у (г) й 2щ2 (г )ььъ ' (10) В самом деле, если 7„— окружность с центром л, лежащая внутри Е, то 1 ! У(ч) дч 1 ! У(Г.) в% 2 г ) (С е)ь+' 2 С.) (С вЂ” в)ь+' т„ где аь — коэффициент при (я' — я)ь в степенном ряде, представляющем у(х') в окрестности я. Но этот коэффициент выражается также откуда вытекают справедливость утверждения для частных производных порядка и + 1, а следовательно, и справедливость предложения !!!.
В частности, существуют непрерывные (в силу их дифференцируемости) частные производные второго порядка от и(х, у) и о(х, у). Как раз на этот факт мы опирались в п. 12 главы И, когда доказывали, что действительная и мнимая части аналитической функции являются функциями гармоническими (сопряженными между собой). !У. Если Š— замкнутая жорданова спрямляемая кривая, принадлежащая области О вместе со своед внутренностью О, то в каждой точке с~О для любого натурального й справедливо равенство 170 гл. чь интвГРАльнАЯ еогмулА коши и Вв слвдстзия череа производную порядка й от суммы ряда в точке я по формуле г!ю (в) аь — — —.
л! Из сопоставления последних формул следует предложение 1У. Заметим, что доказанное равенство можно формально получить из формулы Коши 7'(з)= — —, если дифференцировать обе ! 77(сдж части я раз по з! в правой части дифференцирование проводится ,под знаком интеграла. Доказанное предложение устанавливает, следовательно, косвенным путем законность такого дифференцирования. Впрочем, можно было бы и непосредственно доказать законность дифференцирования под знаком интеграла в данных условиях.
4. Теорема Морера. Каждая функция 7(з), аналитическая в одно- связной области О, является непрерывной в области О и обладает тем свойством, что интегралы от нее вдоль любой кривой зависят только от начальной и конечной точек пути интегрирования. Очевидно, что это предложение лишь по ' формулировке отличается от интегральной теоремы Коши. Преимущество этой формулировки теоремы Коши в том, что в таком виде она допускает обратную теорему.
Теорема Морера. Если функция 7(л) непрерывна в однасеязной области О и интеграл от кее вдоль любой кривой зависит только от начальной и конечной точек пути интегрирования, то функция вта является аналитической в области О. а Для доказательства заметим, что интеграл ) 7(з)бя, где з — фиксированная, а з †текущ точки области, представляет в данном случае однозначную функцию Р(з). В п.
7 главы Ч было доказано при предположениях, совпадающих с предположениями данной теоремы, что Р(л) есть аналитическая функция, причем Р'(я)=7(з), т. е. 7'(г) есть производная от аналитической функции. Но отсюда в силу предложения П п. 3 следует, что 7(я) есть аналитическая функция. Условия теоремы Морера могут быть ослаблены. Прежде всзго, вместо того, чтобы требовать, что интеграл от 7(з) для любой кривой зависит только от начальной и конечной точек втой кривой, достаточно потребовать, чтобы интеграл от У(г) обращался в нуль вдоль любого треугольного контура.
принадлежащего области О. В самом деле, из такого предположения будет вытекать, как это было установлено при доказательстве интегральной теоремы Коши, что обращается в нуль интеграл также и вдоль любого замкнутого многоугольного, а затем и любого замкнутого спрямляемого контура. Но последний факт равносилен тому, что ) 7(л)йз зависит только д ! б. твоевмл ввйвештвлссл о елвномвено сходящихся гядлх 171 от начальной и конечной точек Е для любой кривой 1.. Далее, в интересах одной теоремы, которая будет доказана впоследствии (п.
5 главы !Х), заметим еще, что вместо обращения интеграла в нуль вдоль любых треугольников можно требовать лишь обращение их в нуль вдоль треугольных контуров, не имеющих общих точек с данным отрезком О некоторой прямой Й. Действительно. если треугольный контур а с= О имеет общие точки с О, то он или располагается по одну сторону от гс (случаи а) и б) на черт. 46), или разбивается )с на два выпуклых много- Черт.
46. угольника Ь, и Ь (случай в) на черт. 46). В каждом из этих случаев функция 1'(г) является непрерывной на контуре Ье (г= О, 1, 2) и внутри него и, кроме того, аналитической внутри ЬЭ (так как внутри Ье к г'(г) применима теорема Морера). В п. 8 главы Н было показано, что при этих условиях ) г(г) Фг = О.
В случаях а) и б) Ь получаем, следовательно: ) г(г)с(г = 0; в случае в): ),г(г) аг = 0 ьв А и ) У(г)де=О, откуда, складывая, получим: ) у(г)де=О. Итак. ЬС ЬС мы проверили, что интеграл будет обращаться в нуль и вдоль треугольников, пересекающих Я. Следовательно, 1(г) является аналитической во всей области О (включая точки гс). 6. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах СО аналитических функций.
Пусть члены ряда' ЯО1„(г) — функции г однозначные и аналитические в области О, и ряд этот равномерно сходится в каждом замкнутом круге, содержащемся в области О. Тогда: а) сумма ряда г(г) является аналитической в этой области; б) ряд можно почленно дифференцировать любое СО число раз: .У~~~ ~(г) = ~" (г),, и в) все продифференцированные ряды г равномерно сходятся в каждом замкнутом круге, содержащемся в области О.
172 гл. чь ннтвгглльнля эогмглл коши и вв слвдствия В дальнейшем для краткости ряд, равномерно сходящийся в каждом замкнутом круге, принадлежащем некоторой области О, называется равномерно сходящимся внутри области О. Пользуясь теоремой Гейне — Бореля э покрытиях, можно легко доказать, что равномерная сходимость внутри области О эквивалентна равномерной сходимости на каждом ограниченном замкнутом множестве точек, лринадлежаигем О.
Заметим, что для равномерной сходимости внутри области О не требуется равномерной сходимостн ряда во всей области О. Поэтому теорема применима, например, к любому степенному ряду в его круге сходимости (см. п. 4 главы 1Ч). Для справедливости теоремы существенно, что ее условия выполняются в облает и плоскости, точнее говоря, существенно то, что для каждой точки О существует круг с центром в этой точке, содержащийся в множестве О. Если, например, рассмотреть ряд простейших аналитических функций — многочленов Рз(е), равномерно сходящийся на отрезке действительной оси (множестве, ни одна из точек которого ие удовлетворяет упомянутому только что условию), то сумма такого ряда может и не быть дифференцируемой на этом отрезке, а в случае, когда она днфференцируема, не всегда будет законно почлениое дифференцирование ряда ").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
