А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Эйлеровы числа Е,а, входящие в коэффициенты 2' разложения, полностью определяются условиями е й е~.( )е.$-( )е ~-....$.(, )е $-е О ои (п=1, 2, 3,...). У(з) -.'", (а.+ !рв) (г — л.)" о (42) где о„ и бв — действительные числа. Введем полярные координаты г и В с полюсом в точке го, так что г = го+ге", и будем употреблять для и (х, у) и о(х, у) обозначения и (г, 0) и о (г, 0) в качестве равнозначащих с и (х, у) и о(х, у). Отделяя в (42) лействительные и мнимые части, получим ряды и (г, 0) = ао+ ~~~ (а„соз п — бв з!и пб) г", 1 (43) о' (г, 0) = бо + ~~~~~. (Вв соз пб + а„з!и пб) г", ! (44) равномерно сходящиеся внутри К. Таким образом, каждая функция и (г, В), гармоническая внутри круга !з — зо'!ч, )Т, допускает е нем разложение вида (43), равномерно сходящееся внутри этого круга.
Коэффициентами ряда являются действительные числа а„и — бп. Так как степенной ряд (42) сходится в данном круге и, быть может, имеет радиус сходимости, больший, чем гг, то числа зти должны удовлетворять неравенству 1 Е( !ип рг)ан+ 1бв ! Легко видеть, что если а„и бн — а рг!ог! заданные числа, удовлетворяющие последнему неравенству, то ряд (43) определяет функцию, гармоническую внутри круга К. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что при выполнении указанного неравенства степенной ряд (42) сходится в круге К и, следовательно, представляет в нем аналитическую функцию, действительная часть которой и изображается данным рядом (43).
Итак, наличие разложения вида (43) или (44) с соответствующим неравенством, наложенным на коэффициенты ряда, язлнется характеристическим признаком функций, гармонических внутри данного круга. 12. Разложение гармонических функций в ряд. Интеграл Пуассона н формула Шварца. Пользуясь связью гармонических функций с аналитическими, можно вывести основные свойства гармонических функций из уже известных свойств аналитических функций. Пусть и(х, у) — однозначная функция, гармоническая в некотором круге К: ! г — го! ( тс.
Тогда по п. 12 главы П В круге К существует однозначная гармоническая функция о(х, у), сопряженная с и(х, у). Образуем соответствующую аналитическую функцию У(г) = и (х, у)+ !о (х, у) и разложим ее в ряд по степеням г — е. Получим: 12. ИнтегРАл пуАссОнА и ФОРмулА шВАРНА 123 Рв»«+ (2 — 2 ) «/ " //*»- — ' Рвы — (2 — 26) ' КОтарай В КруГЕ ! 2 — 2О ! ( о ИМЕЕТ Сдвдушщнй Внд; рвы + (2 — во) 2рвы о (2 — 26) (2 во) = — ! + 2 ~1 + — +, +... ! = 1 + 2 еуа., е-»а«; 2 — 2« (2 — 26)2 1 \ч (2 — 26)»» ре»« рзвз» ,Дв 1 получим») Ке/«(2) = 2 2 2  —— 1+2 ~~'( — ) соз и (0 — «), р2+гз — 2гр сов(0 — а) 2»''тр) 1 «О !шУ(2) = 2грз1п(8 — а) сч гг1« =2 Р ~ — ) З!ПН(0 — а), рз+ 㻠— -2гр соз ( — «) 1 р ) 1 (45) (40) пРичем оба РЯда РавномеРно сходЯтсЯ внУтРи кРУга 12 в 26( ( Р.
Возвращаясь к рядам (43) и (44), перепишем первый из них, заменив г через произвольное р(р ( /») и 0 — через а, затем умножим обе части на сов та и проинтегрируем (при фиксированном р) по а в пределах от нуля до 2». Получим: 2» 2« и(р, а) соз та»»а = атр»» ~ соззт«»»«, о о отиуда 2 ао —,— ) и(Р, а)»»а, «,„— ) и(Р, а)соз та«/а (т>1). о 2» ) ' ' ш лрщ ) (47) Аналогично, умножая на 2!и та и интегрируя в тех же пределах, найдем: 2« — рш»» — ) и(р, «) 2!и т««а (т,и1).
ш— (40) Подставляя найденные выражения для а» и 0» в ряды (43) и (44), будем иметь: 2» «О 2'» »" жч 1 Гг1ш и (г, 0)ОΠ— ) и (р «) »!« + у — ~ и (р, а) соз т ( — «),!» Г 2» и й о 2« кч 1 У/'1ш " (' 0) = ро + Д~ — 1 и (р, а) 2!п т (0 — а) а/а »,1 р 1 О ре'" — гв»2 (рв»« — гв»о) (рв-»' — ге-» ) р»+ге — 2гр соз ( — «) 13 За». !626, А. И. Мар»ушао»ч ") Действительную н мнимую части у(2) находим, умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряженное со знаменателе»с рв»«+ Гв»2 (рв»" + ГЕП) (рв-»" — ГЕ-»2) р2 — Гз+»2ГР 2!и ( — а) 194 гл.
ти интнгрлльнля еормклл коши и кп слкдствня Пусть р удовлетворяет условию гк.рк.!с. Очевидно, последние фор. мулы могут быть получены нз формул (45) и (46) путем умножения на ! 2а — и(р, а! и почленного интегрирования по а в пределах от нуля до 2к (при фиксированных г и р). Все эти операции законны в силу равномерной сходимости рядов (45) и (46) внутри круга [ » — »о[ ( Р. Итак, получаем: Зо и(г, О) = — ~ и(р, а) [1 Г 2к,~ о г — и (р, а) о о(г ~) = Ро+ 2 [ и (Р о го -Оо+ — ~' (Р, 2а л о жч ггта +2 у, !1 — Г! соз и (Π— а)~ в!а~ Р ! рз гз иа, +гз — 2ргсоз (Π— а) (49) жч /г!в а) [ 2 7~э[ — ! з!и и (8 — а)~ с(а = 2го 3!и (Π— а) ь а) о(а. рз+го — 2гр соз (Π— а) (50) рз гз о (г, О) = — о (р, а) 2и,) ' рз+ гз — 2рг соз (Π— а) иа.
о (51) Интеграл, стоящий в правой части формулы (49) илн (51), называется и йтег р а лом П у а с сова соответствующей функции и(р, а) или о(р, а), а гармоническая функция Р' — Г' [ реги+(» — »о) =Ко рз+го — 2рг соз (Π— а) ! Рет" — (» — »о) ~ — ядром интеграла Пуассона. Полагая в формуле (49) и(г, О) =1, получаем: ! Рз гз 1=— йа. 2к,! Рз -[- гз — 2рг соз (Π— а) о (52) Вообще, если в(а) — действительная функция, определенная и непрерывная на сегменте [О, 2к[, то мы будем называть интегралом Пуассова Мы нашли для функции и(г, О) и сопряженной с ней функции о(г, О) интегральные представления через значения и(р, а) в точках окружности [»»о ! = во ( )р Различие вила интегралов в формулах (49) и (50) объясняется тем, что во второй из нкх гармоническая функция о (г, О) выражается не черен свои собственные значения на окружности [» — »„[ р, а через значения сопряженной с ней функции.
Однако формула (49), установленная для любой гармонической в данном круге функции, справедлива также и для и!л, у). Поэтому для о(г, О) имеем формулу, аналогичную формуле для и(г, О): 12. ииткгглл пвлссоил и еормрлл швлрцл 195 выражение вида Рв — гв Рв+ гз — 2Рг соз ( — е) — ) В (я) в (53) не требуя, чтобы функция е(а) совпадзла со знзчениями некоторой гармонической функции и(р, а). Можно показать, что интеграл (53) представляет гармоническую функцию в круге )л — гв! (р, которвя при приближении точки (г, В) к какой-либо точке (р, «) стремится к пределу, резному Ч (а) *).
Интеграл Пуассона аналогичен интегралу Коши, распространенному на окружность, и может быть получен некоторыми преобразованиями из последнего интеграла. С этой целью рассмотрим наряду с формулой Коши У( ) — ) ~ — бЕ. у(Е) 2я),) Š— л )с т! (54) где точка л лежит внутри окружности )" — 'гв ! = Рв, интеграл Коши,. полуРв ченный путем замены е точкой е~ = лв+, симметричной с е отно. е — ло сительно окружности )Š— ев)=*р. Так кзк точка л' лежнт во внешности окружности, то этот интеграл должен равняться нулю; у (Е) 0 2я) 3 Е- ° (55) !с-з ! Р Вычтем почленно (55) из (54) и преобразуем результат, воспользовавшись тем, что Š— л — Š— ее — (2 — лз) =ь Рег» ген, рв Е- ге *=".
— е, — (е' — гв) = реы — — егв и «Е )рег,(е г Найден (! 1) Заменяя здесь |(е) на и(г, В)+ Го(г, В), а у(Е) — на и(р, е)+)о(Р, е) и отделяя действительные и мнимые части, вновь получим формулы (49) и (51). Из формул (49) и (50) легко выводится важная формула, выражающая аналитическую функцию у(е) через значения ее действительной части нв *) См., например, А. И.
Маркуше внч, Теория аналитических функций, Гостехиздат, 1950, гл. Ч1, п. 1.5. 13ч у(л) =,— „~ у(Е) 1 )С-з) Р в:а 1 ( -Б ! У(Е) в 1 ге)(ч-в) + 1 на =а р — ге)(в-.) Р ге)(«в) ) р' — га — У (Е) «ч. 2я 3 рв+га 2).р сов (а — В) е 196 гл. чк интзггллыгяя еогмулл кОши и ВВ следстВия окружности. А именно, умножая (50) на 1 и складывая с (49), получаем: зл 1 Г Г рз — гз, 2гр 21п ( — о) ~лл~ ( — ", —,- — лб „,П-Л~л' о Но выражение в квадратных скобках представляет собой аналитическую функцию от г: рет+ (г — го) (г го) Позтому 2л гро + 2 ) " (Р - о) 1 (' Р""+( —;) о реол — (х — г ) (55) Здесь 252 — чисто мнимаа постоЯннаЯ, пРедставлающан мнимУю часть значения у(хо); зта постоянная, конечно, не может быть определена по действи.
тельной части функция 7(г). Формула (56) называется ф о р и у л о й Ш в ар ца. Из формулы (49) получаем при г = О, т. е. для центра круга К; 2л и(хо уо) = — ~ и(р, и) йи, о где и(р, о), как условлено, обозначает значения функции и(х, у) в точках окружности )е — ео~ с центром в го = хо+ (уо. При более подробной записи будем иметь: 2л и(хо Уо)=2 ) «(хо+ Рсози Уо+Рз!пи)оа. о (57) Итак, значение гарзонической функции в центре круга равно среднему арифметическому,ее значений на окружности с центром в этой точке. Можно доказать, что последнее свойство является характеристическим свойством гармонических функций. Точнее говоря, справедливо слелуюшее предложение: Пусть и(х, у) — действительная функция, однозначная и непрерывная в области 6.
Если для каждой нючки хо = хо+ (уо б 6 существует окрестность 1г — го~(В(ео), в которой и(хи уо) равна среднему арифметическому своих значений ло любой окружности (г — го(=р(0( ( р ( Ь (хо) ), то и (х, у) является гарлсонической функциеи в области 0*), ь) См., например, А.
И. Марку шевич, Теория аналитических функ. ций, Гостехиздат, 1950, гл. Ч1, п. 3.1. ГЛАВА Н!! РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ 1. Ряд 'Лорана. Среди классов рядов аналитических функций, отличных от степенных, наиболее близкими к степенным по своему происхождению и свойствам являются рялы, расположенные по целым отрицательным степеням г †,яо: Ао+А(л — ло) '+Аз(л — 'о) '+ +Ап(я лоГ" + (!) Полагая ч= —, преобразуем ряд (1) к виду 1 со Ао+ А|1+ Аагз+ ° ° ° + Ап7 + ° . (2) Радиус сходимости последнего ряда есть )г = ; если 1 !!ш 'у' ! А„! Я = О, то ряд (2) сходится только в точке С = О; если О < Л < со, то ряд абсолютно сходится в круге ~ч~ < Л и расходится вне его; наконец, если )с = со, то ряд абсолютно сходится я каждой конечной точке плоскости.
Отсюда в силу соотношения !".~ 1 сле! г — ло ! дует, что если !!ш~/ТА ~=сю, то ряд (1) расходится в каждой кои печной точке; если О < !пп ф'! А„( < оо, то он абсолютно сходится при !г †( ~ !1ш )/( А ! и расходится при ! г †) < !!ш Р ) А„); наконец, если !пп )l) А„) = О, то ряд абсолютно сходится во всех точках плоскости, за исключением точки л = го. Иными словами, область сходимости ряда (1) есть внешность круга радиуса г= 1!ш У (А„) с центром го, которая при г=со вырождается и.+ сО в бесконечно удаленную точку, при О < г < со является внешностью круга в собственном смысле слова и, наконец, при г= О превчащается во всю плоскость, за исключением из нее точки в=го.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
