А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

1 Если А = — со, то, полагая, например, е„= — н, следовательно, — = — !и, и ' г„ получим: 1 а!и — = — !зал -ьоо прн л-ьоо. еи 209 4. ТЕОРЕМА СОХОЦКОГО Пусть теперь А + со. Чтобы получить последовательность (г„), о которой говорит теорема Сохоцкого, попытаемся решит~ уравнение 1 з!п — = А. л Получим: — = Асс з1п А = — (.п (1А + Рг! — Аз), 1 1 7 откуда (.п(1А+ У'1 — Аз) !п ! 1А+ РгТ вЂ” Аз! -1- 2дв1 Полагая !п ~ 1А + У 1 — Аз ~ + 2пвг и придавая и значения 1, 2, 3,..., получим последовательность (г„), сходящуюся к нулю и удовлетворяющую условию У(л„) = А (и = 1, 2, ...), следовательно, 1пп У(ав) = А.

б) у(л) = е'. Здесь существенно особой точкой также является начало 1 координат, так как снова не существует предела 11ш е'. «ьа 1 Полагая А= со, возьмем л„= —. Имеем: У(лв) =е"-ч со при л-ьоо, Л (1 т. е. последовательность ! — ~ отвечает утверждению теоремы Ю. В. СохоцЛ 1 кого при А=со.

Пусть теперь А=О. Тогда, полагая лв= — —, будем и* иметь: у(лв) =е-ч при п-ьсо, т. е. утверждение теоремы проверено и в атом случае. Пусть, наконец, А + О, А + со. Здесь проще всего подобрать соответствующие точки л„, решая уравнение 1 е* =А. Получим: 1 — = !.пА, отиуда 1 1 (.и А 1п)А ~+2ав!' Полагая 1 1п !А ~+ 2пвг (и = 1, 2, ...), будем иметь последовательность (лв), сходяпсуюся к нулю и удовлетворяющую условию у(л„) = А; следовательно, 1пп у (л„) = А. Из теоремы Ю.

В. Сохоцкого вытекает, что если га — существенно особая точка функции У(х) и Гз — множество значений, принимаемых функцией в произвольно малой окрестности !г — хе!(Ь 14 зак. !Яб. А. и. маркушчвич 210 гл. чп. гяд лотлнл. цвлыв и мвгомотеныв етнкции втой точки, то замыкание множества Е, (т.

е. Е, вместе со всеми предельными точками этого множества) совпадает с расширенной комплексной плоскостью. В самом деле, каждая точка А комплексной плоскости является пределом для последовательности Яг„)) точек, принадлежащих к Ем и, следовательно, А принадлежит замыканию множества Е,. В примерах а) и б) мы видели, что за отдельными исключениями (А = со в первом примере, А = со и А = 0 — во втором) вместо последовательности точек )г„), для которой выполняется п р еде л ьное равенство Иш г(г„)=А, удается находить такие последовательности, для которых справедливы точные равенства г(г„) = А (п = 1, 2, ...).

Оказывается, что аналогичное положение имеет место и в общем случае. Об этом говорит следующее предложение: Теорема Пикара (большая). Если гь — существенно особая точка фуккции 1'(г), то для каждого А+ со, за исключением, быть может, одного значения А = А, существует бесконечная последовательность А-точек функции г (г), сходящаяся к г *). 1 В примере у(г) = з1п — исключительное значение отсутствует, г 1 1 в примере г (г) = е* оно равно нулю, ибо функция е' всегда отлична от нуля. Легко проверить, ' что теорема Ю. В. Сохоцкого заключается в утверждениях теоремы Пикара. Из последней теоремы следует, что множество значений функции г(г), принимаемых в произвольной окрестности )г — гь) с. В существенно особой точки гь, совпадает со всей конечной плоскостью )г) С со, исключая из нее самое большее одну точку Аь (А, не зависит от Ь).

Лорановское разложение функции у(г) в окрестности существенно особой точки г обязательно должно содержать бесконечное множество членов с отрицательными степенями г — г (подразумевается с отличными от нуля коэффициентами). В самом деле, если бы такие члены совсем отсутствовали в этом разложении, то точка гь была бы правильной для г(г), а если бы они имелись только в конечном числе,. то точка г была бы полюсом У'(г) (по теореме п. 3). Обратно: всякий раз, когда лорановское разложение функции г(г) в окрестности некоторой точки г содержит бесконечное множество членов с отрицательными степенями г — гь, ч) См., например, А. И.

М ар куш е в ич, Теория аналитических функций, гл. ЧШ, и. ВА. 211 4. теоевмх сохоцкого то ав является существенно особой точкой функции У(г). В самом деле, она не может быть ни правильной для Дл) (ибо тогда члены с отрицательными степенями должны полностью отсутствовать), ни полюсом (ибо тогда должно иметься лишь конечное число таких членов). 1 'В виде примера рассмотрим функцию ехр —,; для нее справедливо следующее разложение, сходящееся при любом е чь О: 1 1 1 1 р„— 1+„+ +„„,+ Очевидно, его можно рассматривать как лорановское разложение функции в окрестности точки я = О.

Так как это разложение содержит бесконечное множество отрицательных степеней л, то я=О является существенно особой точкой функции. Разумеется, то же самое можно установить, наблюдая поведение этой функции в окрестности начала координат. Читатель легко обнаружит, что она стремится к со, когда г приближается к началу координат, оставаясь на координатных осях, и к нуЛю, когда г приближается к началу координат, оставаясь на биссектрисах координатных углов. Следовательно, 1 Иш ехр — не существует, и точка г = О является существенно особой е +О 1 точкой функции ехр Из всего изложенного вытекает, что определяющее значение для характера особой точки имеет совокупность членов с отрицательными степенями в лорановском разложении рассматриваемой функции У(е) в окрестности этой точки. По этой причине ряд ~~'„а ь(г — лв) г называют главной частью лорановского разложения э со СО .Еа„(я — ев) в окрестности точки ге.

Ряд ~~'„ав(г — ав), состоящий к о из всех членов разложения с неотрицательными степенями, представляет функцию, правильную в точке ле, и поэтому называется и р а- вильной частью ряда Лорана. Применяя высказанные предложения, следует помнить, что они имеют в виду лишь те лорановские разложения, которые сходятся в некоторой окрестности О ( 1л †~ ( ег исследуемой точки. В виде приме р а рассмотрим ряд Лорана Он содержит бесконечное множество членов с отрицательными степенями е. Однако раньше, чем утверждать, что в= О является существенно особой точкой для суммы ряда, следует выяснить, сходится ля ои з какойанбудь окрестности атой точки. Заметим, что наш ряд представляет сумму 14е 212 гл.

чн. Ряд лОРАнА. целые и меРОмОРФные Функции двух прогрессий: ~2-я и «у —. первая нз них сходится для )г!)1 2" Ф1 1 з 1 1 и представляет функцию — = —; вторая сходится для )2)(2 и 1 2 — 1 1 —— 1 2 1 представляет функцию — Следовательно, область сходимости 2 — г' 1 —— 2 данного ряда есть кольцо 1 с ! 2 ! с. 2, которое, конечно, не является окрестностью начала координат.

Сумма ряда в этом кольце равна 1 1 — 1 2 — 1 2 — 2 лв — 32+2 :+ — = — функции, для которой начало координат является правильной точкой и все особые точки которой сводятся к двум простым полюсам: 2= 1 и 2 = 2. б. Особые точки проневодных и рациональных комбинаций аналитических функций. Для скорейшего определения положения и характера особых точек функции в конкретных случаях полезно иметь в виду следующие простые предложения, вытекающие из теорем пунктов 3 и 4. а) если у(2) и Ф(2) фб — две функции, однозначные и аналитические в данной области О, то функция Р(2) = — может иметь в области 0 У(2) Р (2) особые точки, а именно полюсы, только в нулях функции Р(2).

Пусть " является й-кратным нулем функции Ф(2) (й) 1) и 1-кратным нулем функции у(2) (1,2-0) (в случае, когда ь не является нулем функции у(2), полагаем != О). Тогда в окрестности точки ь имеем: у(" «) — (2 — С) +... Р(2) = л Ч'"! «) — (2 — () +... Ри где У!О(ь)чьО и ч(~! «)чьО. Отсюда следует, что Р(2) имеет в точке ь полюс порядка Л вЂ” 1, если й) й и правильную точку, если й ~ й причем она является нулем функции Р(2) порядка ! — я, если й(!. б) Если у(2) и Ф(2) — две функции, не имеющие в области 0 других особых точек, кроме полюсов, то их сумма, разность, произведение н частное (последнее образуется только в том случае, когда Ф(2)фб) также не имеют других особых точек, кроме полюсов. В частности, рассмотрим разность этих функций у(2) — Ф(г) и пусть ь — точка, в окрестности которой лорановские разложения функций у(2) и й(2) имеют вид у(2)= ' 1+" +='+аз+а1( — ()+" (2 —,") 2 — б Р(2)= „+ "+ +Ь +б (2 — 1)+" б а Ь (2 — ь) .

г — 1 Здесь ! и й обозначают порядок точки С, рассматриваемой соответственно как полюс той или другой функции. Условимся для большей общности считать, что ! ~; О Лили й ~ О) в случае, когда 1 является правильной точкой 5. осовыв точки пгоизводных н национальных комвннаций 213 для у(г) (или в(г)), и начинать в этом случае разложение с членов с неотрицательными степенями г — В Вычитан почленно из разложения для у(г) разложение для е(г), полу. чим разложение для у(г) — е(г). Очевидно, точка ь будет полюсом для этой разности тогда и толы!о тогда, когда она является полюсом по крайней мере для одной из функций у(г) и в (г) (Ф )-1 или ! )~ 1), причем главные части разложений для у(г) и о (г) не совпадают друг с другом.

В случае же, когда главные части одинаковы (т. е. д = 1, а л = Ь-ы ..., а т — — Ь-т), мы получаем для разности разложение У" (г) — Т (г) ао — Ьо+ (ат — Ьт) (г — С) +..., откуда следует, что С является правильной точкой для у(г) — о(г), рассмотрим, далее, функцию у( ) Р (г) = — (й (г) ф 0). Т (г) Ее особые точки возможны только в нулях функции о(г) или в полюсах функции у(г). Пусть Г,— точка, являющаяся нулем или пол!беем функций у(г) или о(г).

Характеристики

Список файлов книги