А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 43
Текст из файла (страница 43)
При такой постановке вопроса внутренность кривой может содержать лишь конечное число особых точек (в противном случае особые точки имели бы, по крайней мере, одну предельную, являющуюся также особой точкой функции, но неизолнрованной). Пусть вы гз, ..., г„— изолированные особые точки функции,т (г), расположенные внутри спрямляемой замкнутой кривой Г. Опишем около каждой из точек ал окружность Тв: | г — аз 1 = Рь столь малого радиуса рю чтобы эта окружность лежала внутри Г и чтобы каждая из них лежала во внешности всех остальных. Тогда в силу интегральной теоремы для составного контура будем иметь: ~ т'(г)т1г = ~ Г(г) т(г + ~ У'(а) т1з+ ... + ~ Г(г) с!з.
г и т. те Таким образом, вопрос сводится к вычислению интеграла ) .г(л)ттл ть по окружности (г — л„)=р„, находящейся в окрестности изолированной особой точки ал функции т"(г) Заменяя т(з) ее разложением Лорана в окрестности точки аз и интегрируя почленно (что возможно ввиду равномерной сходимости Рада Лорана на Ть), найдем: +ОС Ч СО т (О) тсз — ~ У псв) (л Я )пь ттх У. и!щ~(а зь)тДа п(ю2тт! тз та сО сО Э= — сО т ь- В самом деле, из всех интегралов )(г †)О' дг отличен от нуля тл только один, соответствующий значению лт= — 1, причем интеграл этот равен 2кб .
230 Гл. Уп!. Въ!четы и их пРилОжениЯ. пРинЦип АРГУментА Итак, У (г) бг = 2к«'(ап1, + а!г! +... + а!'Я) Г формула (1) полностью решает поставленную задачу. Мы видим, что значение интеграла аналитической функции зависит при наших предположениях только от коэффициентов при минус первой степени в лорановских разложениях функции в окрестностях особых точек. Эти коэффициенты называются в ы ч е т а м и ф у н к ц и и. Таким образом, вычетом функции г(г) относительно изолированной особой точки а однозначного характера называется коэффициент при (г — а) в лорановском разложении функции в окрестности а э). формула (1) выражает следующую теорему.
Теорема о вычетах. Интеграл от функции у(г), взятый по замкнутому контуру Г, содержащемуся е области, где функция является однозначной и аналитической, за исключением изолированных особых точек однозначного характера, и не проходящему через особые'точки, равен произведению суммы вычетов функции огпносителэно есех особых точек, заключенных внутри Г, на 2пд Чтобы применять эту теорему, нужно уметь вычислить вычеты. Последние находятся без труда в случае когда особая точка функции есть полюс.
Пусть сначала а в простой полюс функции. Тогда в некоторой окрестности точки а имеет место разложение У(е) = — "' + а, + а, (г — а)+... *) Понятие вычета принадлежит Коши. Им уже указаны н многочисленные приложения этого понятия к различным вопросам анализа. Название в ы ч е т (ге»Ыа) объясняется, по-видимому, тем, что Коши пришел к этому понятию, отыскивая р а з но с т ь между интегралами, взятымн по таким двум путям, имеющим общие начало и конец, между которыми заключаются полюсы функции.
В таком виде вычеты можно усмотреть еще в «Мемуаре об определенных интегралах» (1814). Самый термин «вычет» встречается впервые в статье «О новом уоде исчисления, аналогичного исчислению бесконечно малых», помещеннои в первом томе «Ехегс!сез бе глайсшапцне» Коши (1826). Вот каким образом Коши вводит здесь это понятие: «Если, после того как найдены значения х, обращающие У(х) в бесконечность, прибавить к одному из этих значений, обозначаемому через хп бесконечно малое количество « и далее разложить у(х!+«) по возрастающим степеням того же количества, то первые члены разложения будут содержать отрицательные степени «и 1 один из них будет произведением — на конечный коэффициент, который мы назовем в ы ч е т о м функции у (х), относящимся к частному значению х! переменной х». Вслед за этой статьей Коши дал большое количество других, помещенных в этом и следующих трех томах «Ехегс!сеэ» (1826 — 1828), в которых он рассматривал приложения теории к вычислению интегралов, разложению функций в ряды н бесконечные произведения, к теории уравнений и т.
д, 1. творвмл о вычвтлх и вв паимвнвнив 231 откуда ,т (х)(г — а) = а, + ае(х — а)+ а,(г — а)з+ .. и. следовательно, а, =Выч. У(х) = Иш(У(х)(г — а)). (2) Вычисление вычета еще более упрощается, если у(») имеет вид у'(х) = —. в (г) ф (г) где р(а)+ О, а ф(г) имеет простой нуль при г=а (т. е. ф(а)= — 0 и ф'(а) Ф О).
Тогда »=а является простым полюсом функцииУ(х), и по формуле (2) получаем: Выч. У(х) = Выч. — = !пп р(г) . т(г)(г — а) . Ч(г) ега) =Игл, =~ '.(3) а в а е ф (г) а~е 'ть (г) я+я ф (г) — Ф (а) «((а)' г — а В случае, когда а есть полюс кратности а(а > 1), имеем в окрестности точки а разложение у'(~)=~(, ») + +, '„+ав+ат(г — а)+"' откуда у (х) (х — а)» = а»+ а»+т (» — а)+... + а, (г — а) '+... Дифференцируя почленно и — 1 раз, получим: ««(у(г) (г — а) ) », =(й — 1)1«т т+й(й — 1).
2ае(» — а)+... и, наконец, при х-ь а (ь, 1)! а =Ив-~ аг» ' или а, = Выч. У'(х) = Иш», ° (4) ! . а» '(У(г)(г — а)") а я )!я +а аг П р и м е р ы. а) Вычислить интеграл ~ Р(х) «Гх, где Р(х) — рациональ- ОЭ Р (х) ная функция: Р(х) = — , не имеющая полюсов на действительной оси и ф(х)' такая, что степень знаменателя Ц(х), по крайней мере, на две единицы превышает степень числителя Р(х). Возьмем контур интегрирования, изображенный на черт.
50, где ВСА— полуокружность радиуса )1 с центром в начале координат. Выберем радиус гс 232 гл. чн!. выпиты н их пгнложвння. пгинцнп лгггыиитА Р(х) ах+ ~ Р(е) аг = 2и! ~ Выч. Р (е), ВСЯ где сумма распространяется на все полюсы функции Р(е), принадлежащие верхней полуплоскости. Так как 1+ +— аэ аих'" аы Ь еи-ю я Ьэ + ''" + Ь„еи и и — яг ~~ 2, то при достаточно больших значениях )е! = гг будем иметь: 2)аи,! С ! Р(г) !(! Ь„!,Оз,)тз' Поэтому С яС Р(г) ал ~( — и)г = — -э 0 утгз й ВОЯ при )с -ь со. Следовательно, + СО +В Р(х)а'х= !пп ~ Р(х) с!х В-э:о Черт.
50. =2я! ~' Выч. Р(е). Итак, интеграл от рациональной функции, не имеющей полюсов иа дей- ствительной оси и обладающей в бесконечно удаленной точке нулем, по край- ней мере, второго порядка (это условие эквивалентно требованию а — и ) 2), равен произведению 2и! на сумму вычетов функции Р(з) относительно полю. сов, лежащих в верхней полуплоскости. Пусть, в частности, г я — зэт Р(е) = 1 — гз" где р, и и г — целые неотрицательные числа, причем Р(г и а(г, Здесь степень знаменателя 2г, по крайней мере, на две единицы превосходит степень числителя. Все полюсы функции Р(з) заключаются в формуле а ь е=е г (Ь= 1,..., г — 1, г+1,..., 2г — 1) (точки+1 и — 1 ие являются полюсами функции Р(е), таи как числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель 1 — ез; если р — а и г не взаимно простые, то некоторые из указанных точек также не являются полюсами Р(е)).
Из них в верхней полуплоскости лежат полюсы а т е е " (й = 1, 2, ..., г — 1) столь большим, чтобы все полюсы функции Р(л), находящиеся в верхней полуплоскости, заключались внутри этого контура. Тогда будем иметь: !. ТЕОРЕМА О ВЪ|ЧЕТАХ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 233 Все они являются простыми и, следовательно, 2 1 ау( 2 1 зу! — 2Р— 22 (22.1- Ц вЂ” (2Р+ 1)— е" — е" 1Г у 1 Выч.
Р(е) = — е — "' Фу-!) 24 1 — 2ге " Пазтому .1- о 1-1 ая! 2.( =" Х~ х'р — х'2 у! ъзГ ('2+') —,. (2РУ(), 1! "— е ! — хт" -СО 1 у( (22+ 1)— 1+е (ар+ ив 1+я я 2р+! 2у 11 с(к 2 я — с(и 2 я) '- ( —. — —. (22.1-1)— 1 1 — е (2р Е1)— 1 — е Замечая, что подынтегральная функция является четной, получаем: хеи — хзя '1 / 2Р+1 2'1+1 ) 1 — хт' с(х 2 с(д 2 и — с(д 2г и г( г о Если г = 2п и Ф =р + и (р ч, и), то последняя формула приобретает вид Хзр' я ((х= 2 1 1+ха" 2изш Р ' л 0 2л— б) Пусть Ф(е) — функция, аналитическая, за исключением конечного числа полюсов, в некоторой области, содержащей замкнутую верхнюю полу- плоскость (исключая бесконечно удаленную точку). Если она не имеет полюсов на действительной оси н стремится к нулю при е, стремшцемся к оо в верхней полуплоскости, то для любого р ) О справедлива формула ~ [ез(ЯФ(х)+е асаф( — х))((Х=2я! ~ Выч.(ез" Ф(е)] о Радиус )! выбираем столь большим, чтобы все полюсы функции е"!'Ф (е), принадлежащие верхней полуплоскости (они совпадают с полюсами функции Ф(е)), лежали внутри контура интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
