А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Покажем, что при наших условиях !!ш ~ еа"Ф(г)(те = О. В'ь'а ВСА где сумма распространяется на все полюсы функции Ф(е), лежащие в верхней полуплоскости. Беря тот же контур интегрирования, что и в примере а), получаем: е езьеФ(х) их+ ~ ея" Ф(2)1(е=2я! ~~Выч.(е"(2Ф(е)).
-Я Вол 234 Гл. чп!, вычиты и нк пРиложкнйя. пРинцип АРГУмннта В самом деле, [Ун[ ~ ~ ЕР"Ф(з)ах ~=~ ~ ЕДР(Р!йевэч — Рйа(ПТ)Ф(йзз")!йз т!(Ч ~Д„ вол о <~а- не" т[Ф(йез )]йдр о По условию юах ] Ф (йехие) ] = е (й) -ь 0 при й -Р оз. Поэтому о<т<» » з ]Ун](е(й) ~ йе-Рне!атлт»»2»(й) ~ йе-Рн»1»т!!Ф( о о л.2»(й) ] йе * ИТ = — (1 — е Р )( — -~0 при й-~со. — Рнч ле (й) Н ле (й) о Следовательно, +И И 11т ] ЕРЕВФ(Х)СГХ»» Вен ] [аРЗЕФ(Х)-]-Е Р!аФ( — Х)]ИХ Н.ь»е ! 1' -и з = / [лв Ф(х)+е " Ф( — х)]!(х= 2л1Ч~~~~Выч, [евз*Ф(л)]. о Если Ф(л) — нечетная функция, то получаем формулу з1п рхФ (х) ах = л ~ Выч. [е"1»Ф (х)].
е Например, е» ах =л! Выч. соз 1ех аз+ха е а1 з ЗР1» лл Ра аз+ гз 2а ах=я Выч 1+ х з1о Рх аз+ хз е-ае а злтм» ле Ра аз+ зз 2 Это и есть нужный результат. Если Ф(з) — четная функция, то формула принимает вид соз рхФ (х) е(х = л! Я Выч. [е"1*Ф (л)]. з 2. пгинцип АРГумвитл н вго слвдстаня 2Зб 2. Принцип аргумента и его следствия. В качестве одного из важных приложений теории вычетов найдем значение интеграла — ~ е(я) сг, где у'(я) †функц, однозначная в области О 1 Р Р(г) 2а1,) У (с) — А 1! и не имеющая в ней особых точек, ва исключением, быть может, полюсов, А — произвольное комплексное число, у(л) — функция, однозначная и аналитическая в той же области, а à — замкнутая жорданова спрямляемая кривая, принадлежащая области О вместе со своей внутренностью и не проходящая ни через полюсы, ни через А-точки функции у(я).
Особыми точками функции Р(г) = е(г) — в области О могут Р (л) У (а) — А быть только полюсы, происходящре от А-точек или полюсов функции у'(я). Пусть аы ..., ам — 'А-точки функции Д(г), лежащие внутри Р, а,, ..., а„, †кратнос этих А-точек, Ь„ ..., да†полюсы функции/(г), лежащие внутри Г, и ~ы .., ра — кратности этих полюсов. В окрестности точки ау функции у(г) и 1(л) имеют следующие разложения: р(г) = р(а~)+..., У(г) — А=с„(л — а )"г+... Следовательно, У (л) =с„аг(я — ау) 5 +...
и и -1 с, ау(л — ау) у + .. Р (а) = (~р (а ) +... ) с, (л — а~) у+ ... ау . 1+... а. (е(ау)+...) = [р(а~)+...] = аут (а~) л — а Члены, не выписанные нами, содержат старшие степени г — а~. В частности, за членом, содержащим (л — а ) , должен идти свободный член лорановского разложения, затем член, содержащий г — аю и т. д.
Отсюда следует, что я = ау есть простой полюс функции Р(я), имеющий вычетом число ала(а~). Этот вычет может равняться нулю, если е(а~) =О; в этом случае точка ау фактически не будет являться полюсом функции Р(л). Рассмотрим, далее, какой-либо из полюсов Ьу функции 1(л). В его окрестности имеем следующие разложения: у( ) =Иб,г)+ Дг) — А =с1 З (я — ЬГ) Зу+ ..
„ У'(л)- — ~~в э,(я — й,) 'а ' —..., 236 Гл. Уп!. вычеты и их пРиложения. пРинцип АРГУментА откуда — — 1 — рви В (е — Ь) ! а' в(г — Ь) У+... а,. - ь,э (ь,) ) "' = — — '(п(Ь++ )=— 1+... е — ЬЗ ' ! — г — Ь. Р(г)=(, (Ь;)+ — ру ь, (™зН Следовательно, Е'(г) имеет простой полюс в точке г = Ьз с вычетом, Равным — ~РР(ЬЗ) (обРащающимсЯ в нУль, если 1У(ЬЬ)= 0). , Применяя теорему о вычетах к интегралу 1 !" (г) 2П1,) ' ( )у(г) — А г получаем: ы и 1=1 Первая сумма в правой части' представляет сумму значений функции е(г), принимаемых ею в А-точках функции !(г), причем каждое из них повторяется слагаемым число раз, равное кратности соответствующей А-точки. Если считать, что в перечне А-точек, лежавцих внутри Г, каждая выписывается в количестве„равном ее кратности, то сумму аиро(ав) можно называть просто суммой значений функ,!=1 ции в(г) в А-точках функции г'(г).
Аналогичное замечание справедливо и для второй суммы, где суммирование произвбдится по полюсам функции г'(г). Окончательно приходим к следующей формулировке. Интеграл — ~ 1в(г) йг равен разности между суммой значений, принимаемых функцией п(г) в А-точках функции Дг), лежащих внутри Г, и суммой значений, принимаемых той же функцией п(г) в полюсах функции у(г), лежащих внутри Г. Отметим частные случаи этого предложения: а) э(г) =г. В этом случае получаем формулу ы и 1 г() ъ 2ПХ ~ У(г) — А а~В 1 ЛЫ йг= т аза — г,~здр (6) т.
е. интеграл оказывается равным разности между суммой А-точек функции у(г), лежащих внутри Г, и суммой полюсов этой функции. лежащих внутри Г; 2. пгинцип лвггмвнтл и вго слвдотвия 237 б) е(г) = (. В этом случае получаем: 1ь ч ( ( у'() 2т „) у(г) — А Х г 1ер (8) Интеграл в левой части носит название логарифмического вычета функции ((г) относительно контура Г (заметим, что под знаком интеграла стоит логарифмическая производная функции у(г)). Итак, мы приходим к следующей т е о р е и е: Разность между количеством нулей и полюсов функции у(г) внутри контура Г (оба количества подсчитываются с учетом кратностей нулей и полюсов) равна логарифмическому вычету функции относительно этого контура. Логарифмический вычет функции имеет простой смысл. Чтобы раскрыть его, перепишем интеграл в виде — й = —,,) — „(Ь !П)))й.
г Отметим на кривой Г произвольную точку гь, которую будем считать начальной и конечной точкой пути интегрирования. При обходе кривой Г точкой г в положительном направлении Ьпг(г) будет непрерывно меняться, и после обхода всей кривой его значение в точке г будет вообще отличаться от исходного значения в той же точке. Но при одном и том же ((г ) значения Ьп ((г ) могут различаться лишь благодаря разным значениям, приписываемым Агйу'(г ) до и после обхода.
Обозначая исходное значение Агд((гв) через Ф, а значение Агй У(г ) после обхода через Ф,, найдем: — ~ — аг — — (!(п) Х(гь) )+ гФ,) — ((и ~ У(гв) ~.+ (Фь) ) = г Следовательно, по формуле (8) Х вЂ” Р= Фг — ФО 2е (9) т, е. интеграл оказывается равным разности между числом А-точек функции Д(г), лежащих внутри Г, и числом ее полюсов, лежащих внутри Г. Если А=О, то А-точки будут нулями функции Дг). Обозначая их число внутри Г через А(, а число полюсов функции У(л), лежащих внутри Г, — через Р, находим: — — с(е — К вЂ” Р. " У' (е) 21и',) г'(е) г 238 гл. чтп.
вычвты и их пгиложвния. пгинцип лвгямвнтл или (обозначая Ф,— Фв через Чаг Агре(х) — от латинского слова г наг!а1!о — изменение) М вЂ” Р— Чаг АгдУ(я). 1 2к г Это соотношение выражает так называемый п р и н ц и п а р г умента: Разность между количествами нулей и полюсов функции ((г), заключаючцихся внутри замкнутой кривой Г, равна изменению Ага !'(г) при обходе точкой г контура Г в положительном направлении, деленному на 2я.
Отметим еще геометрическую интерпретацию полученного предложения. При обходе точкой г замкнутой кривой Г в положительном направлении конец вектора ш =у(г) опиеывает некоторую замкнутую кривую Г'. Обозначим через ч колмчество полных оборотов вокруг начала координат, которые вектор тв сделает при указанном обходе. Каждый оборот будем при этом засчитывать как +1, если он совершается в положительном направлении, и как — 1, если он совершается в отрицательном направлении. Тогда для изменения Агру(г) получим величину 2яч, откуда вытекает следующая формулировка принципа аргумента: Разность между количеством нулей и полюсов однозначной функции 1(х), заключенных внутри замкнутой кривой Г, равна числу полных оборотов ч, которые делает вокруг начала координат вектор, изображающий ч(г), в то время как точка я описывает контур Г в положительном направлении.
В частном случае, когда у(г) не имеет полюсов внутри Г, получаем: количество нулей функции у(г), заклчоченных внутри замкнутой кривой Г, равно числу полных оборотов вектора 1(л) вокруг начала координат при однократном'обходе точкой г контура Г в положительном направлении. Из принципа аргумента вытекает следующая теорема: Теорема Руше. Если г(з) и 1ч(х) — две функции, однозначные и аналитические в точках замкнутой спрямляемой кривой Г и внутри нее, и если в точках втой кривой выполнено условие ]ч(г)!) ! р(х)], то внутри Г сумма 1(х)+р(е) имеет столько же нулей, сколько их имеет функция ч(к). Доказательство.
Для отыскания числа нулей функции 1(г)+ + р(г) воспользуемся принципом аргумента. Переписывая 1(з)+ 1ь(г) для точек кривой Г в виде ~( )+ т( ) ~( ) [ + г (е)~ (]У(г)] в точках кривой Г больше, чем ]р(г)], и, следовательно, в нуль не обращается), найдем: ' Агд [У (х) + <р (г)] = А АУ(г) + Агд [1 + ™ ~ . 2. пвинцип лтгимвнть и иго слидствия 239 Но ~ — ~ ч, 1, поэтому конец вектора, изображающего 1+ —, ! р(г)! т (г) !у()! у(г) ' описывает замкнутую кривую, целиком заключающуюся внутри круга с центром в точке 1 и радиусом 1. Следовательно, соответствующий вектор не делает ни одного оборота вокруг начала координат, и изменение Агд~1 + — 1! при обходе точкой г кривой ь равно нулю.
ч (г) 1 у(г) 1 Итак, изменение Агй [У(г)+р(г)! при указанном обходе совпадает с изменением Агд У(г) при том же обходе, откуда по принципу аргумента вытекает равенство числа нулей функций р(г)+ о(г) и р(г). Полезным приложением этой теоремы является следующее предложение: Т со р е и а Г у р в и ц а. Если (у„(г)) — лоследователькость функций, аналитических и области 0 разномерно сходящаяся внутри атой области к некоторой функции у(г) фО, то для любой замкнутой спрямляемод кризои т, принадлежащей О вместе со своей внутренностью и кг проходтцей через нули функции У(г), можно указать таков число ч = ч(1), что при и ) ч(1) каждая из функций У„(г) будет иметь внутри т одно и то же число нулей,разное числу кулейфуккции у(г), лежащих внутри атой кривой.
До к аз а тельство. Обозначим через р минимум !У(г)! в точках кривой т; в силу условия !ь ) О. Следовательно, в силу равномерной сходимости последовательности (у„ (г)) на 1 можно указать такое ч(т), что при и ) ч(1) во всех точках крйвой 1 будет выполнено неравенство !Л (г) — у(г)!(Н<!у(г)!. Но отсюда, по теоРеме РУше, следУет, что фУнкции У(г) и У(г)+ (Уя(г)— — у(г)1=уя(г) (л)ч(1)) имеют одно и то же число нулей внутри 1, чем и заканчивается доказательство. П р н м е р ы: а) Найти число корней уравнения га — 4гь+ гэ — 1 = О, по модулю меньших, чем единица.
Применим теорему Руше. Для этого представим гз — 4га+гт — 1 в виде У(г)+ в(г), где У(г) = = — 4гь и ч(г) = гз+гт — 1. Так как при ! г! =! ! 'р (г) ! = ! гз + г — 1 ! ~ ! гз ! + ! гт ! + 1 = 3 и ! У (г) ! = ! 4гь ! 4, то ! т(г) /(!у(г) !. Следовательно, по теореме Руше, функция У(г)+т(г) =гз — 4гь+гт — 1 имеет внутри окружности ! г ! = 1 столько же нулей, сколько их имеет функция У(г) = — 4гь. Но последняя имеет пятикратный нуль в начале координат, и следовательно, число ее нулей в единичном круге равно 5. Поэтому и уравнение гз — 4гь + гт — 1 = 0 имеет пять корней внутри единичного круга, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
