А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Во всех случаях мы можем писать: у(г) =(г — С)г(дую+ах(, () Т (г) = (г — ь) (Ьо+ Ьт(г — ь) +...1, где 1 и Д вЂ” целые числа (пеложительные, отрицательные или нули), а в квадратных скобках заключены степенные ряды, сходящиеся в некоторой окрестности точки ь и имеющие-"отличные от нуля свободные члены (по~О, Ьо+0). При этом условию Ь) О, например, соответствует случай, когда о (г) имеет Ь-кратный нуль в точке ь, Ь = б означает, что г = ь есть правильная точка, в которой е(г) + О, и, наконец, Дч.О означает, что г= С является особой точкой функции е(г), а именно полюсом порядка — Ь. Подставим разложения для у(г) и е(г) в формулу для Р(г).
Будем иметь: ( ! л по+а,(г — С)+... Ь,+Ь,( — ()»-... Очевидно, при 1) Ь точка ь" будет правильной для Р(г) (в частности, при !) Ь вЂ” нулем порядка ! — Ь), а кри 1ч. Ь вЂ” полюсом функции Р(г) порядка Ь вЂ” 1. в) Пусть у(г) — однозначная функция, не имеющая в области 0 других особенностей, кроме полюсов. Тогда и производная втой функции у'(г) Ме может иметь в области О других особенностей, кроме полюсов.
й именно уг(г) имеет полюс в каждом полюсе функции у(г) и притом кратности на единицу большей, чем кратность полюса у(г). В самом деле, пусть Π— полюс функции у:(г) кратности Ь > 1. Тогда у(г) имеет в некоторой окрестности У точки О, 0()г — ()(й', разложение У(г) = ь + ° ° »- — !+Аз+Ах(г — ()+. (А-ь+ 0).
Оь ''' г — г 1 Так как члены этого разложения являются аналитическими в У и само разложение сходится равномерно внутри области У (по свойству ряда Лорана), то его можно почленно дифференцировать в У. Получаем: 1(,) = „. — +А,» ... (ДА,+О). ЬА а А-т (г — ~)аог (г — С)э 2!4 Гл. ч!н Ряд лОРАнА. целые и меРОмОРФные Функции Мы получили для уг(л) лорановское разложение в окрестности точки С, откуда видно, что С является полюсом кратности Д+ 1 для производной У'(л).
г) Пусть у(л) ф сопз1 — однозначная функция, не имеющая в области 0 других особых точек, кроме полюсов, и А ~ со — произвольное комплексное число. Тогда лога рифм иче с к а я производная функции у(л) — А Л (Еп [у (л) — А)) у' (л) Пл / (л) — А не имеет в области 0 других особых точек, кроме полюсов; а именно оиа имеет простые полюсы во всех полюсах функции у(л) и во всех А-точках втой функции (т.
е. во всех нулях функции.у(л) — А). Для проверки етого утверждения сошлемся на общий случай, рассмотренный выше в рубрике б). Мы видели, что частное двух функций может иметь полюсы в нулях знаменателя илн в полюсах числителя. Пусть точка а=С является Ькратным нулем знаменателя, т. е. А-точкой функции у(л) кратности Д. Тогда У (з) — А = ае (л — С)к + а,(л — С)"+' + ...
(д ) 1, ао чь 0). Отсюда следует, что Уг(в) = Даз(г — С)ь '+аз(й+1) (л — С) +..., т. е. точка С является Д вЂ” 1-кратным нулем числителя дроби. Отсюда и сле- дует, что зта точка есть простой полюс логарифмической производной. Пусть, с другой стороны, Л= С есть полюс числителя у'(л). Это воз- можно лишь в случае, когда С есть полюс для У(г) — А; при атом, как мы видели в рубрике в), кратность полюса для у'(л) будет. Иа единицу выше кратности того же пол1оса для у(л) — А. Следовательно, для логарифмиче- ской производной снова получаем простой полюс в точке С.
д) Если С является правильной точкой или полюсом для функции у(л)фО, а для функции Ф (л) С есть существенно особая точка, то С будет существенно особой и для каждой из функций Ч(л) п.у(л) у(л) Т(л) и ч (л) у(л) ' Действительно, обозначим последние функции соответственно через фт(л), фз(л) и фа'(л). Тогда будем иметь: 6 ( Т(')=ф (з)~У(л) Т(л)= —,', Т()-фз(л)У(). у(л) Если допустить, что фу(л) (у' 1, 2, 3) имеет правильную точку или полюс при1Л= С, то и функция Т(л) будет иметь правильную точку или полюс при я= С, что противоречит условию.
Итак, точка в= С не может быть правильной для функций фу(л). Так как зги функции являются однозначными аналитическими в некоторой окрестности точки С, исключая зту точку, то она должна быть изолированной особой точкой однозначного характера для ф1у(л). Ио мы убедились в том, что точка С не может быть полюсом для фу(л).
Следовательно, она является существенно особой для каждой из зтйх функций. е) Если С является существенно особой точкой для функции Ф (з), то 1 функция — будет иметь в С либо также существенно особую, либо не Т (л) изолированную особую точку — предельную точку и олюс он. В самом деле, имеются две возможности: либо существует окрестность точки С, в которой Ф(л) ие обращается в нуль, либо такой окрествости не 1 существует. В первом случае функция ф (л) = — будет аналитической ч() 21$ 6. слячлй весконвчно ядллинной точки в некоторой окрестности точки ь, за исключением самой точки С Эта точка яе может быть для ф(г) ни правильной точкой, ни полюсом; в противном 1 случае 1 была бы полюсом или правильной точкой для т (е) = —, вопреки Ф (л) ' предположению.
Следовательно, ь является существенно особой точкой лля ф(г). Во втором случае в каждой окрестности точки ь существуют нули функции т (г) и, следовательно, в ней же существуют полюсы функции 1 ф(г) = —. Отсюда вытекает, что любая окрестность точки Г. содержит = т (г) ' особые точки (а именно полюсы) функции ф(е). Поэтому ь является в рассматриваемом случае неизолироваиной особой точкой для ф(г). Это — предельная точка полюсов. 6.
Случай бесконечно удаленной точки. Рассмотрим однозначную функцию у(г), аналитическую во всех точках внешности ~г( ) г некоторого круга с центром в начале координат, за исключением, быть может, бесконечно удаленной точки. Выполняя преобразова- 1 ние л= —, мы сведем изучение такой функции к изучению функ/11 ции у (ч) =~~ †), аналитической во всех точках окрестности начала ~~)' координат, за исключением, быть может, самого начала координат. При этом точка ч=0 будет служить образом бесконечно удаленной точки я=со, и каждой последовательности точек (я„), сходящейся к бесконечно удаленной точке, будет соответствовать последователь- 1 ность (ч„= — ( точек, сходящаяся к нулю, и обратно.
ев В зависимости от того, будет ли точка ч=0 правильной точкой, полюсом порядка Й или существенно особой точкой для г*(ь), мы будем называть точку я = со правильной точкой, полюсом порядка Ф или существенно особой точкой. Так как в указанных случаях у (ь) будет иметь в окрестности точки ч = 0 лорановское разложение, имеющее соответственно вид У'(ч)=аз+а,"-+лайз+ . +а С"+.
у'*(ь) аьч "+... +а,Г'+аз+а, +... (ав Ф О), ) '(ч) = ~~', а„ч (где в последнем случае бесконечное множество коэффициентов а„ при отрицательных степенях ч отлично от нуля), то функция у(я)= (11 =У*~ — ) е окрестности бесконечно удаленной точки е заеиси~е) мости от того, будет ли зта точка правильной, полюсом порядка й или существенно особой точкой, должна иметь 216 гл, чп. гяд ловлна. цвлыв и мзгомогеныв эвикции лорановсное разложение вида У'(г)=ав+а,г-'+а,з-'+...
+а „г- +..., 1(г)=аьг" +... +а,а+аз+а,г-'+... (аа +ь 0), +со у() =Х"" (где в последнем случае бесконечное множество коэффициентов при положительных степенях л отлично от нуля). Таким образом, связи между характером точки по отношению к функции и соответствующим разложением в ряд Лорана получаются здесь такие же, как и в случае конечной точки, только роли членов с положительными и отрицательными степенями меняются между собой.
В соответствии с этим главной частью лорановского разложения в окрестности бесконечно удаленной точки является совокупность членов с положительными степенями, а правильной частью †совокупность членов с неположительными степенями. Мы внаем, что различать правильную точку, полюс и существенно особую точку при Г.= 0 можно, не рассматривая соответствующего лорановского разложения, а изучая лишь, какая из трех возможностей имеет место: 1) 1* (г) ограничена в окрестности начала координат; 2) предел зв (ч) при ч, стремящемся к нулю, равен бесконечности; 3) не существует ни конечного, ни бесконечного предела 1'* (") при С стремяшемся к нулю. 1 Из того, что У(з)=7*(ч) и л= — „, следует.
что те же крите'рии остаются в силе и для бесконечно удаленной точки, и функция У(з) будет иметь правильную точку, полюс или существенно особую точку при л = со в зависимости от того, будет ли она ограниченной в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, стремится ли к бесконечности при г, стремящемся к бесконечности, или же, наконец, не имеет никакого, ни конечного, ни бесконечного, предела при г, стремяшемся к бесконечности. 7. Целые н мероморфные функции.
Целая функция г'(з) по своему определению (функция однозначная и аналитическая во всей конечной плоскости) не имеет особых точек в конечной плоскости. Следовательно, она может иметь особую точку только в бесконечно удаленной точке. Так как г(з) изображается всюду сходящимся степенным рядом У(~)=аз+а ~+ +а «я+ то этот ряд представляет функцию в любой окрестности бесконечно удаленной точки и поэтому совпадает с лорановскнм разложением функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Отсюда следует, что в случае, когда точка л = со является правильной для 7(г), 217 7. цвлыз и мвгомогэныз вгнкции то а, = аз = ... = а„ = ... 0 и 7(г) аь. Этот результат следует также из теоремы Лнувилля из того, что точка г = оо правильная для 7(г), вытекает, что У(г) ограничена по модулю в некоторой окрестности этой точки и, следовательно, ограничена во всей ~лоскости, поэтому 7(г) = сопзй, В случае, когда точка г = со†полюс Г(г) порядка я, имеем: аь+ О, аяы — — аь+ь —— ...
— — О, откуда у(г) аз+а,г+ ... +алга, т. е. Дг) — многочлен (целая рациональная функция) степени я. Наконец, в случае, когда г = со †существен особая точка 1'(г)г среди коэффициентов г(г) должно быть бесконечное множество отличных от нуля' чисел, В этом случае 7(г) отлична от многочлена; она называется целой трансцендентной функцией.
Примерами таких функций является еь, з)пг, сове, Итак, целая функция может иметь в бесконечности правильную точку, полюс или существенно особую точку; соответственно атому целая функция будет являться константой, мкогочленом (степень которого совпадает с порядком полюса) или трансцендентной целой-функцией.
Мер о ма рфная в конечной плоскости функция (от греческих слов 1ььроо — часть, дробь и ророаа — форма, вид) — функция, которую можно представить в виде частного двух целых функций: ,1(г) = й (й (г) ф 0). На основании п. 5 заключаем, что в конечных точках плоскости она не может иметь других особых точек, кроме полюсов. Именно 7(г) имеет полюс в точке гь тогда Н только тогда, когда эта точка есть нуль знаменателя (й(гь) = 0), а числитель либо отличен от нуля в этой точке (и(гь) Ф 0), либо имеет нуль,'порядок которого ниже, чем порядок нуля знаменателя. При этом порядок полюса гь равен разности между порядком нуля знаменателя и порядком нуля числителя. Если во всей конечной плоскости существует только конечное число полюсов У(г), то существует такая окрестность точки г со, в которой не лежит ни одной конечной особой точки Яг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
