А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В первом случае говорят, что г — правильная точка функции У(г) или что функция Д(я) — правильная в этой точке; во втором случае яе называется изолированной особой точкой однозначного характера для функции Дг), коротко особой точкой. Основным аппаратом для представления и изучения аналитической функции в окрестности изолированной особой точки г является ряд Лорана. Применим теорему Лорана к функции /(г) в области 7); 0 < (г †! < Я. Эта область есть вырожденное круговое кольцо с внутренним радиусом г = О. Получим: 7'(г) = Х а„(г — ае)" (г б В), (20) где тр пРичем Тр есть окРУжность с центРом в точке ае и РадиУсом р (О <р < Я). Разложением (20) можно пользоваться и в том случае, когда г — правильная точка.
В этом случае ряд Лорана превращается в ряд Тейлора, и мы имеем: а, а а ... О. 204 гл. чп. гяд лоелнь. цвлыв и мвгомогвныв втикции Докажем следующее основное предложение. Теорема. Для того чтобы функция 1(л), однозначная и аналитическая в области Е>: 0 ( ~ л — г ! ( !т, была иравильной в точке г, необходимо и достаточно, чтобы существовала окрестность (l точки г, в которой г(г) ограничена ио модулю.
Док азате льство. Пусть точка гь является правильной дляу(г). Тогда )(г) можно определить в точке хь так, что она станет аналитической и, следовательно, ограниченной в некоторой окрестности точки я . Тем самым необходимость условия теоремы доказана. Докажем теперь достаточность. Пусть существуют окрестность с! точки г и положительное число М ( со такое, что ! г (з)~ ( М для всех я!- Е/. Тогда, выбирая р (О ( р ( )т) так, чтобы окружность Тр принадле- жала СУ, получаем из формул (19) для модулей коэффйциентов а„ ряда Лорана (20) следующие оценки: т. е.
~ а„! ( — „. М Р )а„! ( — М вЂ” „,, 1 2яр Рассмотрим здесь лишь коэффициенты при отрицательных степенях з — яь, т. е. для и ( О. Устремляя р (подчиненное единственному условию 0 ( р ( )с) к нулю, получим, очевидно: а„=О при и= — 1, — 2, — 3,... Итак, ряд Лорана превращается в ряд Тейлора остается положить: г'(гь) = аь, чтобы убедиться, что точка гь является правильной для У(л) Из доказанной теоремы вытекает, что для того, чтобы точка яв была изолированной особой точкой для у(л), необходимо и достаточно, чтобы в любой ее окрестности модуль ! ((л)) был неограниченным, т. е.
чтобы выполнялось условие 1пп ~! (я)~ = + оо. е «м (21) Отсюда следует, что.а рг!ог! имеются две возможности для поведения г(л) в окрестности изолированной особой точки: а) !пп 1(г)= со; в -««ы б) не'существует ни конечного, ни бесконечного предела функ-' ции 1(л) при л, стремящемся к г . Каждый из этих случаев действительно осуществляется. 3. изолиговлнныв осовыв точки однозначного хлвлктвгл 200 1 Положим у(г) — -щ-, где л — натуральное число. Очевидно, эта (л — ло) функция является аналитической при О(!л — ла! и для нее !!щ у(л) со.
Итак, в ятом примере осуществляется случай а). « В качестве другого примера возьмем у(л) =а* ". Эта функция также является аналитической прн Оч. !х — хе(, но в отличие от предыдущего при- Черт. 49. мера !!т У(л) не существует. В самом деле, если, например, точка л лежиг « 'ь «« иа прямой, проходящей через ле параллельно действительной осн, так что 1 л — хе= х — хе — действительное число, то при х)хе и х-ьхе ее х -ь со~ 1 а при х(хе и х-ьха ее *"-ь О.
Итак, в етом примере осуществляется слу- 1 чай б), На черт. 49 представлена поверхность и = ~ екр-~ — рельеф рассматриваемой функции (при ха О) *). ') Чертеж заимствован нз «Таблиц функцийэ Янке и Эмде. 206 гл. чн. гяд логана.
цглыв и магомогеныв еянкцни Изолированная особая точка гз однозначного характера, для ко- торой выполнено условие а) пнн 7(г) = оо, называется и о л ю с о м аналитической функ ци и. Изолированная особая точка г однозначного характера, для ко- торой выполнено условие б): 1нп /(г) не существует (ни конечный, е -ь е, ни бесконечный), называется .существенно особой точкой ф у н к ц и и. Исследуем подробно каждый из этих двух типов особых точек.
Пусть гв есть полюс функции 7(«). Тогда 11гп17'(г)!=со и, е+е, следовательно, существует окрестность ) г — «с ~ ( 3 ( 77 точки г, в которой 7(«) удовлетворяет неравенству 1Г(г) ~ )!. В этой окрест- 1 ности функция у (г) = — будет, очевидно, аналитической всюду, У(е) за исключением, быть может, точки «е. Но из того, что 1 ( у(г) ~ = — ( 1, следует по теореме этого пункта, что точка г, !У(е)1 является правильной для а(г).
Значение этой функции в точке «и 1 равно 11щ — =О. Поэтому точка ге является нулем функции ~у(г). , У(е) Обратно: если известно, что ч(г) — функция, однозначная и ана- литическая в некоторой окрестности точки г, и ге является нулем этой функции, причем а(г) ф О, то можно указать д ) 0 столь малое, чтобы у(г) не имела в круге ~г — ге( ( а других нулей, 1 кроме точки «е (см. п. 7 главы Ч1).
Образуем функцию У(г) = —; э (г)1 она является однозначной и аналитической при 0 ( 1« — г ) ( а и стремится к оо, когда г стремится к гы Следовательно, « является полюсом для 7(г). Итак, мы доказали следующее предложение: для того чтобы точка г была полюсом функции ~(г), необходимо и достаточно, 1 чтобы эта точка была нулем для функции а(г) = —. У(е) ' Благодаря этому свойству, устанавливающему соответствие между нулями и полюсами, появляется возможность ввести понятие к р а т- ности или порядка кратности (короче, порядка) полюса.
Яы будем говорить, что точка' ге является полюсом кратности я (я)~ 1) для функции У(«), если эта точка является нулем порядка Й 1 для функции —. В случае й = 1 полюс будет называться п р от(е)' етым, в случае ге ) 1 — кратным. В окрестности полюса кратности ге лорановское разложение имеет определенный характер, который мы сейчас обнаружим.
Именно, докажем следующее предложение: Для того чтобы точка г, была полюсом кратности я для функции У(г), необходимо и достаточно. чтобы лорановское раз- ложение У(г) в окрестности точки г не содержало членов со 3. изолиговлнныв осовыв точки однозначного хАРАктеРА 207 степенями ниже, чем — й, и коэффициент при (г — г )-» бил отличен от нуля.
Иными словами, лорановское разложение функции Г(г) должно иметь вид У(г) = а-а(г го) + ° + а-г (г го)+по+ +а,(г — го)+..., (22) где а а+О. Пусть, в самом деле, г есть полюс функции у(г) кратности й. ! Тогда для — мы должны иметь в этой точке нуль порядка )е, У(г) откуда 1 =Аа(г — го)а+Аь1(г го)а+'+ ° (Аач»0) в некоторой окрестности точки г . Поэтому У(г)— (г — го)" да+ Ааог(г — го)+."' Степенной ряд А»+А»+,(г — г )+... представляет аналитическую функцию, не обрац1аюп1уюся в нуль в некоторой окрестности точки г 1 (так как А»ФО). Поэтому функция является Аа + Аа+, (г — го) + ...
аналитической в окрестности г и допускает разложение вида ио+ 1 + и,(г — го)+ ..., где а = — ФО. Подставляя последний ряд в форо мулу (23), получаем для г(г) разложение У(г)=ио(г — го) а+а1(г-го) "'+"'(иочьО) которое в силу единственности разложения в ряд Лорана является лорановским разложением функции г(г). Оно совпадает с (22) с точностью до обозначений (а„= а„а, и = О, 1, 2, ...). Итак, условие доказываемой теоремы является необходимым.
Докажем теперь, что оно и достаточно. Пусть у(г) обладает в окрестности г разложением вида (22), где а а чь О. Переписывая его в виде а а+а а+,(г — го)+ ... Ф (г — го) » заключаем отсюда, что 1 а 1 У (г) = (г го) а а-1-а а+,(г — го)-1- °" 1 или, заменяя функцию ее разложением в ряд а-а+ "-м~ (г — го) + ° " Тейлора по степеням г — го: 1 а у( ) =(г го) Ро+гг(г го)+ ° .! 'го(г го) + 0~ (г го) + ° ° ° ° где ро= — + О.
1 о — а 20З гл. чп. Ряд лОРАЯА. цялыв и мвгомогэныв егнкцни Мы нашли, что. точка гь является нулем порядка я для функ- 1 ции —. Следовательно, та же точка есть полюс кратности к для У(е) ' функции У(г). Теорема доказана. 4. Теорема Сохоцкого. Обратимся к случаю существенно особой точки. Поведение функции в окрестности существенно особой точки характеризуется следующим предложением: Теорема Ю. В. Со хо цк ого. Каково бы ни было комплексное число А (собственное или несобственное), существует такая последовательность точек (ая),-сходягфаяся к существенно особой точке вь, что 1!ш У(еи)= А. Доказательство. В случае, когда А=со, теорема справедлива, ибо функция г(я) не ограничена по модулю в любой окрестности существенно особой точки.
Пусть теперь А чь со; будем доказывать теорему от противного. Если в произвольной окрестности точки ее нельзя найти точек, в которых значения функции сколь угодно близки к А, то должны существовать окрестность О < ~г — гь1, < 3 и число а > О такие, что )у(г) — А ) > а при О < !г — ге1 < ч. 1 Построим функцию о(я) =; она является аналитической У(е) — А ' в окрестности О < ~в — е ~ < 6. Кроме того, она удовлетворяет в этой окрестности неравенству 1 1 !У(е) — А) < а ' Следовательно, по первой теореме п.
3 о(а) является правильной в точке ге и ее значение в этой точке должно равняться пределу 1 Пш . Но У(е) не ограничена ни в какой окрестности точки гь. ч '+ 2а Поэтому указанный предел может быть только нулем, т. е. р(е ) = О. 1 Итак, функция имеет нуль в точке ге, откуда вытекает, что У(е) — А функция г(г) — А, а значит и 1(л), имеет полюс в этой точке. Мы пришли к противоречию с условием теоремы, откуда н следует ее справедливость. Иллюстрируем эту теорему на двух примерах. 1 П р н м е р ы: а) у(е) = е1п —. Здесь существенно особой точкой является х' 1 начало координат. В самом деле, прн т стремящемся к нулю, з!и — не стремнтся нн к какому пределу, ни к конечному, нн к бесконечному, яак немедленно обнаруживается прн рассмотрении одних лишь действительных значений е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
