А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Для этого перепишем соотношение (24) в виде (23) Из того, что суммы степенных рядов, стоящих слева и справа, совпадают в круге ) г — а ~ ( Я, следует, по свойству единственности для степенных рядов, что коэффициенты обоих рядов равны. Полу- [с,+с,(г — а)+... +с„(г — а)"+...) (Ье+Ь,(г — а)+ ...
+Ь„(г — а)"+...] аз+а,(г — а)+ ... +а„(г — а)"+... и заметим, что наши степенные ряды, сходящиеся внутри круга ~г — а~ ()г, должны сходиться здесь абсолютно. Поэтому ряды, стоящие в левой части последнего равенства, можно почвенно перемножить. Выполняя перемножение, получим: сЬ,+(с,Ь,+с,Ь )(г — а)+(с Ь,+с,Ь, +саЬе)(г — а) +... ° .. + (сеЬ„+ с,Ь„, +... + с„Ье) (г — а)" +... ае+ а, (г — а)+... + а„(г — а)" +... (26) 185 10.
делание степенных гядов чаем уравнения соЬо = ао соьг + сгЬо = а„ соьг + с,Ь, + сгЬо = аг, (21) соьп+сгьо-1+сгЬо г+ +спЬо= ар Пусть вообще мы нашли значения первых и коэффициентов с, с,...., с„,. Подставляя их в и+1 уравнение. получим: а„— ррьо — о,ьо, —... — с„гь, (28) со— о Таким образом,' можно определить коэффициент 'с любым наперед заданным номером. Легко получить выражение для с„через коэф- фициенты ар, а„а„..., а„и Ьо, Ь„..., Ь„в виде определителя. Определитель системы, образованной первыми и+1 уравнениями, равен Ь О О ... О ь, ь, о ... о Ьг Ьг Ьо '' О =Ьо т'- О Ьо Ьп-г Ьо-г Ьо следовательно, Ьо 0 0 ао ь, ь, о а, Ьг Ьг Ьо аг (29) с =— "= Ьо+г о Ь г ° ° ° ая Эта формула полностью решает задачу деления рядов. Это в бесконечная система линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов са, с„ с,, ..., с„, ...
Особенность этой системы, крайне упрощающая ее решение, состоит в том, что для любого и(и=о, 1, 2, 3, ...) первые и+1 уравнений содержат первые и+ 1 неизвестных. Определяя со иэ первого уравнения с =о-(Ь чь О, по предположению) и подставляя во второе, получим ар о уравнение — Ь, + с,Ьо = а,, откуда ар бо агЬр — арьг с' г о 186 гл. ть интзггяльнля оогмгля коши и вв слвдствия Покажем, что частное (25) двух степенных рядов может быть получено путем деления ряда (22) на ряд (23), выполняемого по тем же правилам, как если бы ряды (22) и (23) были многочленами, расположенными по возрастающим степеням г — а. Для доказательства начнем производить указанную операцию.
Получим: ао+ а( (г — а)+...+ а„(г — а)"+... ~ЬЬ+Ь1 (г — а)+...+Ь„(г — а)"+... ао+ — Ь,(г — а)+...+ аоЬ (.— а)*а-1-... во+ афо 'оЬ(,,+... Ьо Ьо о а(ЬЯ вЂ” аоЬ1( а)+ +а„Ьо — аоьо (г а)о+, Ь "' Ь '1Ьо-аоЬ((, а)+...+а1'о-аоЬ1 Ь„ ,(, а)о,.. Ьо Ьо (а -Ь с -Ь с ) (а-а)Я+... 1 2-й остаток ...+(о -ь со-ь с )(а-а)п+... (о -ь со-ь с —...-ь с ) (а-о)к-~-...
аьй остаток ть (а„— Ь„со ующий за с„, Ь(с„ Первый член и-го остатка ес — Ь„,с,—... ... — Ь,с„,) (г — а)", поэтому след (г — а)" ' член частного равен а„— Ь„со — Ь„(ст —...— во Но коэффициент этого члена совпадает со значением с„, определяемым по формуле (28) из уравнений (27). Итак, способ неопределенных нбзффициентов в применении и делению степенных рядов приводит и тому же результату, что и операция, выполняемая по правилам деления многочленов, расположенных по возрастающим степеням х =г — а.
Приведем пример иа деление степенных рядов. Рассмотрим фуикциЮ р(г) =— 1 Первые два коэффициента получаемого частного совпадают со значениями со и с„найденными выше из уравнений (27). Допустим, что мы получили, таким образом, первые п коэффициентов частного, совпадающие со значениями с, с,, ..., с„ „ найденными из системы (27). Тогда будем иметь: с +с (* — а)-(- а (а-с) -)-...+ с (а-с) +... ~ Ь ЬЬ (а-с)+...Ьь (а-с)"+... о о ЬЬСЬ+Ь(СЬ(а-а)+Ьяао(а-О)О+...сыском-С) +.„1 Со+С(и-О)+...+С 1(а-С) +... (с -Ь с ) (а-с)+ 1 1О ,(а -ь с ) (а-а)йь...
... +(о -Ь с„) (а- а)ко... 1-й остаток Ь ст(а-о)+Ь с (а-о)2+... ...+Ь„ст (а-а)"+... 10. днлннив сткпвниых гядов 187 и сокращая числитель и'знаменатель дроби на г, мы получим следующее выражение для Р(л) (хоторое определит функцию Р(г) также и прн «= 0): Р(л) 1 1+ — +" + — +" 2! " ' (л+ 1)! ряд, стоящий в знаменателе, сходится при любом л н имеет те же нули, что и функция еэ — 1, за исключением олного нуля в начале координат. яа (Все это следует из того, что ряд этот представляет функцию — (при 0).) Поэтому внутри круга !я! с„2л сумма его не обращается в нуль.
Следовательно, функцию Р(л) можно разложить в ряд в этом круге, пользуясь делением рядов. Первое из уравнений (27) дает ее ° 1 * 1, т. е. сс =* 1. Так как все коэффициенты ряда делимого, кроме начального коэффициента, равны нулю, то (и+1)-е уравнение (27) имзет-вид 1 1 1 се + +ст — +... +с„! —,+е„=О (и= 1, 2, 3, ...). (30) Это уравнение позволяет определять числа с„ одно за другим.
Для опреде- ления коэффициента с„ можно воспользоваться также формулой (29): 1 0 0 ... 1 .1 0 ... 0 ! 1 ... 0 1 2! 1 3! се=1, с„ 1 1 (и +1)! н! 1 2! — 1 1 '3! 1 4! 1 (н — !)!''' 0 ... О 1 ... О 1 2! ! 3! ( — 1)" (н=!, 2, 3,...). ...0 1 2! 1 1 1 1 (н +1)! н! (и — 1)! ''' 2! Числа с„и1 называются чи с лами Бернулли и обозначаются через Вв: Вв с„л! функция эта является аналитической во всех точках плоскости, за исклю-. чением нулей функции с* в 1, т. е. за исключением точек О, ~ 2ит, ~ 4яг,... Заменяй са — 1 разложением в ряд за л" а* — '= — + — +" + — + .. 1 2! ' ' и! е 188 гл, чь интигнлльная еогмглл коши и ив слидствия Через зти числа просто выражаются козффициенты многих важных соотношений.
Лля их вычисления имеем формулы: Вз= се О! =1, 1 0 ... 0 1 2! 1 1 3! 2! 1 ... 0 ... 0 1 1 1 4! 3! 2! (и = 1, 2, 3... ). (31) В„= с„л! = ( — 1)"и! 1 1 1 1 (и+ !)! и! (и — 1)! ''' 2! или, умножая обе части равенства на (л+1)! и замечая, что (л + 1)! й! (и+1 — А)! гл+ 11 есть биномиальный коэффициент ! ), ~й) Вз("+ )-~-В!("+ )Ч-... -(-Вв( )=0 (п=!, 2, 3,...). формулу зту можно представить в следующем символическом виде: (1 + В)" ~~ — В" +' = О. (32) После возведения в степень по биномиальиой формуле пени здесь нужно заменить индексами.
Так как Вз = 1, то последовательно находим: 1 Во+ 2Вт = 0' В! = — — Вз = 2 все показатели сте- 1, ! 2 1. в = —, 1 Вз+ЗВт+ЗВз 0 Вз 3 Ве 1 Вз+ 4Вт+6Вз+ 4Вз = 0; Вз ~ — — Вз— 4 Вз+ 5Вт+ 10Вз+ 1ОВз+ 5Вз 0: 3 в — — в =о; 2 1 1. Вз = — Вю  — 2Вз — 2В = — — ' .т 30' =0; 1 5 10 5 Вз+ 6Вг+ 15Вз+ 20Вз+15Ва+ 6Вь Вь — ~ 6 Вз Вт Вз Вз Вз — 0 2 3 2 Вз+7Вт+21Вз+35Ва+35Вз+21Вз+7Вз 0; 1 1, Вз = — —  — Вт — ЗВв — 5Вз — 5Вз — ЗВь 7 42' Впрочем, вычисление бернуллиевых чисел удобнее производить последовательно, пользуясь формулой (30). Из иее получаем: Вз ' 1 1 1 з О! (я+ !)! 1! и! ''' я л! 1! + В! — +... + Вя — = 0 (и = 1, 2, 3,...), разложвние в отвпенныв вялы ехнкций с!пг, !пг, свсг и вес г 189 Итак, 1 1 1 1 Во-1, В! —, Вт= —, В!=О, Вв= — —, Вь=о, Вв=42 .
2' 6' ' 36' Для доказательства заменим з разложении )г св + стг + сзгз ч" .. ° + сиги +... = В„+ — г+ — гэ+ ... + — г" +... В! Вз Вн 1! 2! ' ' ' о! (33) г на — г; получим: — г гев е-в — 1 (е-' — 1) е В, В В е" — 1 ' П 2! 3! = Вс — — г+ — гз — — гз+ или, вычитая последнее соотношение из (33): г ге* в в„в„ ев — 1 ев — 1 = — г 2 — г+2 — га+...
+2 — гана+ ... 1! 3! ''' (2й+1)! Отсюда иа основании единственности разложений в степенной ряд следует: 2Вт= — 1, Вз Вь= ... — — Вва ! — — ... — — О, + что и требовалось доказать. Пользуясь доказанным свойством бернуллиевых чисел, мы можем пере- писать разложение (33) в виде = ! — — + У вЂ” гаа. В~ ев — 1 2 лы (2л)1 (34) а ! 11. Разложение в степенные ряды функций,с)дг, хнг,свсг и зесг. Из разложения (34) можно без труда получить разйожейия функций гс!яг, !яг и гсзсг. Представим с!8г в виде сов г в!в+в-св еже+1 21 с!яг= — =1 .
=1 =!+ —, в!и г ест — е-ы ем» 1 емв 1 откуда 21г го!яг= 1г+ 21г Функцию — — ~ можно разложить по формуле (34), если заменить в этой формуле г на 21г. Так как ряд (34) сходился при )г ((2л, то вновь полученный ряд будет сходиться при !2!г((2я, т. е. при !г)(я. Итак, 21г 21г ч)т Вть у 2нВ„ васс — 1 2 мы (2й)! = 1 — — + У.— (21г)и! 1 — 1г+ У. ( — 1)а гаь лчд (2й)! ь ! и, и, следовательно, ЭнВ аваь гс!йг= !+ У ( — !)а —. (2й)! .«! (35) Покажем, что все бернуллиевы числа с нечетными номерами, большими единицы, равны нулю: В„„=О (й=(, 2, 3...,). 190 гл.
ч1. иитеггзльиля еогмзлл коши и ее следствия Заменяя в формуле (35) г на 22, получим ряд, сходящийся, при !221 ч.и, т. е. при )г!с —: 2' 22С!я22=1+ у ( — 1)а — гза. Й МВ, (2л)! (35) Л 1 Вычитая почленио (35) из (35), найдем: 2а(1 2 )Взь ге!яг — 22 с!и22 2!на= Д ( — 1)" гза (2Ф)1 1 или ,,2в(ВЗ 1) В,а ( 1)а 1 За За 1 (2л)! а 1 (37) Из способа получения етого ряда следует, что он сходится, если (2)( —. 2' Переходя к функции 2сзс 2, замечаем, что 2 г соз г соз — + 3!п 2 з!п— 2 2 г соз— 2 — СЗС 2. з!п 2 соз 2 с!Кг+!й 2 2 з!и г соз— 2 Заменяя в (37) г на —, получим ряд, который будет сходиться при 2' г! и — ~( —, т.
е. прн 12)с„я. Отсюда и из разложения (35), сходящегося 2~ 2' также при )г! 'я, находим: гсзсг=~ге!Яг+2!й — =1+ 7~ ( — !) 'кт я-1 (2'з — 2) Вза 2 з' 4 (2Д)1 2з" . (38) Найдем, наконец, разложение зесг. Так как зта функция является ана- н литической в круге ) 2 ! ( —, то искомое разложение будет сходиться в том 2' же круге. Воспользуемся снова способом деления рядож Будем иметь: 1 1 зес г— соз 2 гз гз гза 1 — — + — — ... +(-1)" — + ... 21 41 (2л)1 ~ оз + 212+ лазе + Чтобы получить тейлоровское разложение тн г, проще всего заметить, что с!нг — !нг= 2 С!п22, откуда 1я г = с!я г — 2 с!я 22.
1! раэложкннв в ствпвнныв ряды ернкцнй с1дг, юг, сзсг и зесг 191 Нз того, что вес г — четная функция, следует, что все коэффициенты прн нечетных степенях ат, аз, ав ... равны нулю: 1 зесг= 1 — — + — —... 2! 4! - по+аз" + яо" +... (39) Коэффициенты ао, аз, ао, ...
этого разложения принято записывать в виде Езь ать =( — 1)в — (я О, 1, 2, ...). . (2я)! зо 1 I Ез Ео 1 = (1 — — + — — — + о..)! (Š— — гз+ — го —...) 2! 41 б! ''' 'т' ( 2! 4! и производя умножение в правой части, найдем: г Ео 1 Ео Ез — + — О, 2! 2! — + — + — =О, Ео Ео Ео 4! 2!2! 4! Ео Ез Ео Е„ — + — + — + — О, б! 'й 2! 21 4! 6! откуда Этн уравнения позволяют последовательно определять зйлеровы числа. Получаем: Ео=!, .Ез= — 1, Ео 5, Ео= — 61, Ез= 1385..., Если вообще найдены числа Ео, Ез, ..., Ево з, то для определения Ево имеем уравнение Ео Ез Ео =О (2л)! (2п — 2)!2! + (2п — 4)14! + '''+ (2п)! нли Еа+(2) Ез+(4) Е,+...
+( — 2) Ево-з+Езн = О Отсюда следует, что если числа Ео, Ез, ..., Езе з — целые, то н число Емо будет целым. Но первые найденные нами числа суть целыв. Следовательно, все эйлеровы числа — целые. Разложение зес г окончательно запишем в виде Еза зес г = ( — 1)а — гза. лы' (2Л)1 о (40) Числа Е, определяемые такнм способом, называются ай ле ров ым н числа ив. Переписывая (39) следующим образом: 192 гл. ч!. интигглльнля еогмглл коши н вв слвдствия Оно сходитси при ) г(с, —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
