А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Тогда можно утверждать, что ~ У(л)йя= 0. Обобщение здесь заключается в том, г что у(з) уже не' предполагается аналитической в точках кривой интегрирования. Мы докажем это обобщение при дополнительном условии, что каждый луч. выходящий из некоторой точки яе !с О, встречает с. только в одной точке и что С состоит из конечного числа гладких дуг. Очевидно, что эти условия выполняются, когда Е есть выпуклый многоугольник (в частности, треугольник) или окружность. Этот результат позволяет сводить вычисление интеграла от аналитической функции У(я) к отысканию какой-либо первообравной функции. !бб 9.
ТЕОРЕМА О СОСТАВНОМ КОНТУРЕ Пусть г =ло+Л(Г) (0< о < 2п) — уравнение Ь; Л(Г), по предположению, обладает кусочно-непрерывной производной Л'(Г). Подвергнем Л преобразованию подобия в отношении р (О < р < 1) с центром го; получим замкнутую кривую Лр.
'г = го+ рЛ (Г) (О < Г~( 2к), лежащую в области О. По интегральной теореме Коши г.-. ] .Г(я)да= [ .Г[зо+рЛ(Г)]рЛ'(Г)ю(Г= О, ь о 'о откуда ] у [го+рЛ(Г)] Л'(Г)аоГ= О. о Следовательно, 2 ! ] .Г(г)с(г!= ( ] .Г[го+Л(Г)] Л'(Г)йГ(= Ь о = / / [У[во + А(г)[ / [л~+РЛ(Г)]] Л~(Ю)Ж! ~. о 2 ° 1У [со т- Л(Г)] — -У[зо+РЛ(Г)] ) [Л'(Г)[еоГ, Но у(я) равномерно непрерывна в замкнутой области О, поэтому для любого о ) 0 [у(г') — ((яо)[<е, если [з' — во[<6(е), л', я" ЕО. Обозначим верхние грани функций Л(Г) и Л'(г) на отрезке [О, 2и] соответственно через Л и Л'.
Тогда [[яо+Л(Г)[ — [яо+рЛ(г)] [о ~<(1 — р)Л < й(о), если 1 — р < а(е)/Л, и, следовательно, ) ~ ((г) г(г ! < е ° Л' ° 2я, в В силу произвольности о отсюда вытекает, что ] T(е) г(з = О. 9. Теорема о составном контуре. Пусть теперь У(я) — функция, аналитическая з области 6, не являющейся односвязной областью конечной плоскости. Если Ь вЂ” замкнутая спрямляемая кривая, лежащая' в области О, то ее внутренность может либо принадлежать.
либо не принадлежать О. В первом случае к интегралу ~ „Г(в)ооя р 156 гл. ч. интвггиеовьнив фтнкций комплексного пвззманного 1 Простой пример функции у(г) = —, аналитической в области О, получающейся нз конечной плоскости путем исключения начала координат (зта область не является односвязной. з конечной плоскости), показывает, что здесь существуют замкнутые спрямляемые кривые Е, по которым ~ У(г) йечьО. й Такой кривой будет каждая окружность с центром в начале координат, йе так как ~ — =2яг чь О (см. пример з).п. 1).
1ь (=Е Покажем с помощью интегральной теоремы Коши, что в общем случае функции е(г), аналитической в произвольной области О(вообще многосвязной), можно свести вычисление интеграла по одному замкнутому контуру й вычислению интегралов по другим замкнутым контурам, лежащим внутри.
данного. Точнее, пусть à — замкнутая жорданова спрямляемая кривая, лежащая внутри области О, а То Тг, ...,,„— кривые, обладающие теми же свойствами и расположенные во внутренности Г. Потребуем еще, чтобы каждая кривая Ту лежала во внешности любой другой кривой Тл()', и= = 1, 2, ..., п, е+ й) и, наконец, чтобы многосвязная область В, ограниченная кривыми Г, Т„..., Т„, содержалась бы в О (черт. 41). При этих условиях е(г)йг= ~ г(г)йг+ ° .. + ~ у(г)йе (6) ьл где все пути интегрирования проходятся в одинаковых направлениях, например против часовой стрелки.
Для доказательства соединим жордановыми спрямляемыми дугами, например ломаными, кривую Г с Т„Т, с "„, ..., Т„, с;„и 1„ с Г так, чтобы эти дуги 3„3г, ..., 3„„, попарно не имели общих точен .и содержались бы в области О (за исключением концов дуг, лежащих на границе г)). Начальные и конечные точки дуг бо б„..., бя+, разобьют каждую кривую Г, Ты ..., Т„на две применимы без изменений все рассуждения, приведенные выше при доказательстве интегральной теоремы Коши, и мы снова получаем, что ) 1(г)йг = О. Во втором случае эти рассуждения не удастся Ь применить до конца. В самом деле, теперь мы уже не сможем утверждать, что внутренность любого многоугольника, вписанного в Е, а также внутренность любого из треугольников, на которые этот многоугольник может быть разложен, принадлежат области О.
Следовательно, мы не сможем и опереться на существование производной от функции г(г) в некоторой точке " такого треугольника (сравните с п. 5 этой главы). 9. ТВОРЕМА О СОСТАВНОМ КОНТУРЕ дуги, которые мы будем обозначать так же, как и всю кривую, но с одним или двумя штрихами наверху. Эти штрихи можно расставить так, чтобы внутренность каждой из двух замкнутых жордановых кривых, составленных соответственно из дуг Г', 3,, у,', 3, области О, а следовательно, и О. Интегрируя г'1а) вдоль этих замкнутых кривых в направлениях, соответствуюших выбранному Черт. 41. обходу кривой Г (см. черт.
41), и замечая, что при этом у', т" будут проходиться в направлении, противоположном выбранному на 12(й= 1, 2, ..., и), получим: ПгИ =~'Л Из+~'Лл)ж..— ~'Л.) Т.+ 6, г, Г+'",-т,+12 — 12+."-1„+з„ч.г + ~ У(г) Ж вЂ” ~ У(г) Жз+... — ~ у(г) а!а+ ~ У(г) о!л = О. 2, 2 12 !!+1 г'(г) и!а = Г -2 -1 -" -!2-! -! ЧГ1 ч ''' 2 1 1 =.) ")"'- У~<')"- Г~<')"— г" 1 и+1 ㄠ— ГУ()" — У~()" — ~~< )"=б т, !88 гл. ч. интзггиеовлнив еэнкцнй комплексного пвгзменного Сложим почленно эти равенства, тогда интегралы по дугам йо ...,Ьсы попарно уничтожатся, а интегралы по дугам Г' и 1»', Т', и и Т„" попарно дадут интегралы по соответствующим замкнутым кривым. Следовательно, ~ У(г)бг — ~ У(г)с~г —... — ~ У(г)бе= — О, (3') га что и требовалось доказать. 1 Вернемся к функции у(г)= — з обласги О: г ф О.
Если à — любая замкнутая жорданова спрамляемгя кривая, внутри которой находится начало координат, а т — окружность с центром з начале, содержащаяся внутри Г, то по доказанному будем иметь Ь -~-.-- — ив= ~ — ив=Зал г Доказанному общему результату- можно придать иную форму. Условимся рассматривать границу многосвязной области О, состояшУю из отдельных кРивых Г, Ум Тю ..., Тю как олин составной контур Е. Положительным направлением Ь будем считать такое, при котором внешний контур Г проходится в направлении против часовой стРелки, а внУтРенние Ты ..., Ти — в напРавлении по часовой стрелке. Иными словами, при положительном обходе составного контура Е внутренность О этого контура должна оставаться слева от обходящего.
Теперь выражение в левой части равенства (3') можно условиться ааписывать в виде ) у(г)бг. Тогда можно утвер- Ь ждать, что интеграл от У(г) вдоль составного контура (., принадлежащего О вместе с областью О, ограниченной этим контуром, равен нулю. Это предложение является, оЧевидно, распространением интегрзльной теоремы Коши на случай составных контуров, принадлежащих многосвязным областям. Для удобства ссылок мы будем называть предложение, доказанное в этом пункте, т е о р е м о и о составном контуре. 1О. Интеграл как фуннция точки в многосвязной области.
Теорема о составном контуре позволяет изучать интегралы от аналитических функций в многосвязной области. Пусть О в многосвязная область и у'(г) †функц, однозначная и аналитическая в ней. Если ~ у'(л)ь(я = 0 для каждой замкнутой спрямляемой кривой, прн- Ь 1 надлежащей О (так будет, например, для функции у(г)=— 1+ г' 10. интвгвал клк еянкция точки в многосвязной овллоти 109 в круговом кольце 1 < ~г~ < )с, где )с в любое число, большее я единицы), то к интегралу ) У(л) Ыг можно применить все сказанное я, в п. 7. Мы снова получим, что этот интеграл является однозначной аналитической функцией — первообразной от У(г).
Допустим теперь, что в области 6 существуют замкнутые контуры У.(по крайней мере, один), для которых ~ У(г)гул чь О (тзк будет, ф 1- например, для функции в в области г + О хт Ю 1 или для функции — в области 1+гзФО, 1+аз бз т. е. г чь 1 и л чь — П в первом случае .4 1 — саул = 2ж', во втором случае при г < 2 лл иг Черт. 42. — =я, ~ — = — н). Тогда 1+О =,~ 1+.а и-ы ~ а+11 для двух кривых АВВС и АВОС (черт. 42), соединяющих точки А(ле) и С(г), имеем: у(л)абул — ~ у(л)ил= ~ у(я)~мл — ~ у(л)Мха= ~ у(2)длФО; лвлс лввс ввс ввс ь следовательно, интеграл ~ У(л)дг имеет, по крайней мере, два раз.
Е а личных значения в точке л, т. е. функция Р(г)= ~ У(л)г1л является многозначной в области 6. 1 Выясним характер этоймногозначности на примере функцнну(г) =— в области Сч я~с. Убедимся в том, что интеграл ~ — Фю где У. ~ б — про- Ь невольная, спрямляемая кривая, соединяющая точки ге= 1 н л, может быть представлен в виде суммы интеграла вдоль какой угодно другой кривой б соединяющей те же точки н целого кратного значения интеграла вдоль жорданова замкнутого контура т, содержащего внутри точку О (не принадлежащую области).
Пусть Е, 1 н т — контуры, указанные на черт. И. Присоединим к Е дуги АВ н АС, проходимые прн интегрирования по два раза' в противо- положиых направлениях. Получим: 1-"-..Р' ...',,-".~.— !60 ГЛ. Н. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Каждый из двух замкнутых контуров, по когорым берутся первые два интеграла правой части, вместе с контуром Т образует составпои контур.
Следовательно, по теореме п. 9 ~ — = ~Ф .~ — ":=.~Т Далее, кривые 1 и ОСА образуют замкнутый контур, внутренность которого принадлежит области О, позтому интеграл по нему равен нулю, отктда Итак, — ~ — +2 ~ —. Это рассуждение носит вполне общий характер; .для произвольной кривой й будем иметь: В=.~Ф Черт. 43. где л — некоторое целое число, которое может равняться нулю, а также быть отрицательным (последнее — в случае, когда замкнутые контуры, построенные в предыдущем рассуждении, проходятся в отрицательном направлении).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
