А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Таким образом, теорема Вейерштрасса выражает специфическое свойство аналитических функций комплексного переменного. Обращаясь к доказательству, заметим сначала, что теорему достаточно доказать для произвольного круга К: (л †, зв) ( р, принадлежащего вместе со своей границей данной области. Чтобы доказать утверждение а), воспользуемся теоремой Морера. Так как ряд равномерно сходится в К и члены его непрерывны, то и сумма его Г(я) непрерывна в К и его можно почленно интегрировать по любому треугольному контуру а, содержащемуся в К. Поэтому (мы воспользовались аналитичностью функций Г„(е) в круге К).
Отсюда вытекает по теореме Морера, что 7(е) — функция, аналитическая в К, а следовательно, и во всех точках области О. Далее, если л ~ К, то Рл1(з) =— л! Г у (С) 2ш (С вЂ” е)" +~ !с-..1=в (см. предложение !Ч п. 3). Но = у ", причем у (С) кч Л (~) .л>г г'е (г )лэг ' ч=! ") См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального н интегрального исчисления, т.л1, изд. З-е, Гостехиздат, стр.
461. б. тзогемл ввйвгштглссл о глвномвгно сходящихся гядлх 173. при фиксированном г последний ряд равномерно сходится на окружности )". — зе! = р (он получен из равномерно сходящегося ряда ~~~~~ )„(ь) путем умножения на ограниченную по модулю функцию в=г 1 ! „, ). Поэтому ряд этот можно почленно 1ь — г !"+' (р — ! — ле!)""' интегрировать по " и, следовательно, ОЭ О0 СО )те! ( ) л! ~ Ъ)~~ Лв (") ! ~~ л! ~ Ль (г) л~ ~ч1~~~у!а! ( ) 2е1, ° (Г, — л)а+г 2Ш „.! (~ — л)"+' ! е-ая р и=1 е 1 !е-з, !=р ч 1 т. е. справедливо утверждение б). Наконец, переходя к доказательству в), рассмотрим круг К'.
)л — ле! (р', где р') р, но меньше,' чем расстояние от з до границы области О. Замкнутый круг К' содержится в сг и содержит внутри замкнутый круг К. Для каждой точки в~К имеем: Ю Ж у!л!( ) Ъ)зуе( ) Л! )г У("-)Ж ~~ Л! !' Л,(С)ль < 2я! 1 (С вЂ” л)~+' ~Ы 2л! ! (С вЂ” л)~т' г !с-й!=и 1 !с-з!=-р~ В силу равномерной сходимости ряда ~р~у„(ь) на окружности )ь — ге!=р 1 последний множитель может быть сделан сколь угодно малым, если )ч' достаточно великб (независимо от положения точки а~К). Итак, для любого е ) О и г~ К ! г'!л! (г) — ~~~~~ 1~~~ (з) < е, если М > Ме(е). г Этим и заканчивается доказательство теоремы Вейерштрасса.
В п. 2 этой главы было доказано, что функция Д(г), аналитичесная в круге (з — зе) ()с, разлагается в этом круге в ряд Тейлора. Так как степенной ряд равномерно сходится в каждом концентрическом круге меньшего радиуса !з — зе) (г(г()с), то отсюда следовало, что в таком круге для любого е ) О выполняется неравенство У(л) — „г ( — яв) <,' > И(-, ). '~" У!"! (ло) л л! о 174 Гл. у!. интвгРАлънАЛ ФОРмулА кОши и ия сладствия Иными словами, существует многочлен, приближающий аналитическую в круге !г — гэ((г функцию у(г) с произвольно высокой точностью.
Теперь мы можем доказать обратное предложение: если функцию у(г), определенную в круге !я — г ! ( Е, можно в каждом концентрическом круге меньшего радиуса как угодно хорошо приблизить многочленом, то зта функция является аналитической в етом круге. В самом деле, пусть (гэ) — возрастающая последовательность положительных чисел, сходящаяся к Й; построим для каждого круга 1 '!г — г ~ (г„многочлен р„(г) такой, что )у(г) — р„(г)) ( — при !з — хе~ (г„. Тогда, как легко видеть, будем иметь: У(г) =р,(я)+ О) + ~~~ ~(ра(л) — р„, (г)), т.
е. Г(з) представляется в круге ~!г — еэ~ ( Й в виде ряда многочленов, равномерно сходящегося в каждом меньшем круге. Отсюда и следует по теореме Вейерштрасса, что /(г) — аналитическая в круге ~!г — гь~ ( г(. Сопоставляя указанные факты, получаем. следующее предложение. Для того чтобы функция 7'(г) была аналитической в круге !г — гэ~(Я, необходимо и достаточно, чтобы в каждом концентрическом круге меньшего радиуса ее можно было приблизить многочленом с произвольной степенью точности. Этим установлено свойство г) и. 2 введения.
6. Теорема единственности. Одно из важнейших свойств аналитических функций выражается теоремой единственности: может существовать самое большее одна функция У(з), однознач"ная и аналитическая в области О, принимающая заданные значения на каком-либо множестве точек Е этой области, обладающем, по крайней мере, одной конечной предельной точкой ге~ О. Прежде чем доказывать теорему единственности, поясним ее на примерах: и а) Пусть 0 — конечная плоскость и Š— интервал 0(х( — действи- 2 тельной оси.
Очевидно, что каждая точка Е в этом случае является предельной для Е и принадлежит О. В силу теоремы может существовать самое большее одна аналитическая в конечной плоскости функция У(г), значения которойдляг=хЕЕсовпадают, например, с в!Лх у'(х)=з!Их 0(х( ! 2)' Известно, что такая аналитическая функция действительно существует: еы — е —" у(г) = з!и г.
Теорема единственности позволяет утверждать, что 2! вта функция — единственная, совпадающая с з!их в точках Е. Аналогичное е" +е-! утвержаение справедливо для функции Ч(г) = 2 соэ г. б) Теорема единственности позволяет утверждать, что некоторые соотношения, установленные между аналитическими функциями прн частных предположениях относительно значений аргумента, справедливы и беэ этих ограничений. Так, например, справедливость соотношения зййг+соаэг 1 175 6.
твогвмл вдинстввнности на интервале Ос.,г= хс — вытекает прямо из теоремы Пифагора. Чтобы 2 установить его справедливость при любом комплексном г, достаточно заметить, что функция Р(г) = з!паг + соззг, аналитическая во всей плоскости, принимает на Е значения, равные единице. Но те же значения на Е принимает аналитическая функция Ф (г) 1. По теореме единственности Р(г) и Ф (г) должны быть одной и той же аналитической функцией, т. е.
з!пзг + + созагжм1 во всей плоскости. в) Выясним, существует ли функция, аналитическая во всей конечной плоскости О и удовлетворяющая условиям у~ — ) У~ — — т! = — (л = 1 '1л! 1 и) и 1 1 1 2, 3,...). Пусть Е обозначает множество точек 1, —, —, ..., —, ...; оче- 2' 3'''" л'"' видно, что оно обладает предельной точкой О, принадлежащей О. Так как аналитическая функция Р(г) = г принимает в точках Е заданные значения /1! 1 Р !1 — ) — (и =!. 2, 3, ...), то другой аналитической функции, удовлетво(лу л ряющей тем же условиям, не существует и,следовательно, у(г) Р(г) г.
1 1 1 Но у(г) =г в точках — — принимает значения — —, а не —, как зто треп и' л' буется в условии вопроса. Отсюда вытекает отрицательный ответ на зтот вопрос: ни одна аналитическая в О функция у(г) не может удовлетворять условиям У( — )=У( — — )=* — . (л= 1,2,3,...). г) Пусть, наконец, нужно найти функцию У(г), аналитическую в конечной плоскости, зная, что у(ая) =О (Л О, ~1, ~2, ...). Здесь значения функции заданы на множестве точек Е: О, ~п, ~2я, ~3я, ..., не имеющем ни одной предельной точки в конечной плоскости.
Следовательно, мы не можем опираться на сформулированную выше теорему единственности. Легко видеть, что она в данном случае неверна. В самом деле, существует бесконечное множество различных аналитических функций, удовлетворяющих поставленным условиям, например, у(г) имо, з!пг, Сз!нг, з!пзг, з!пзг, ..., з!пиг, ... Обратимся к доказательству теоремы.
Допустим, что у(г) и ф(г) — две аналитические функции, принимающие одни и те же значения во всех точках Е. Тогда ид разность ф(г)™У(г) — Т(г) есть функция, аналитическая в О, обращающаяся в нуль в каждой точке Е. Если мы докажем, что ф(г) О, г~О, то отсюда будет вытекать, что у(г) ф(г), что и утверждает теорема. Рассмотрим сначала частный случай, когда 0 есть круг конечного или бесконечного радиуса (в последнем случае О совпадает с конечной плоскостью) с центром в точке ге, предельной для Е. Функция ф(г), аналитическая в 0 н обращающаяся в нуль на Е, представляется степенным рядом, сходящимся во всем круге: ф(л) се+с,(г — ге)+... +си(г — ге)+...
(11) Покажем, что все коэффициенты ряда суть нули; отсюда н будет следовать, что ф(г) ~ О. 176 гл. щ. интеГРАльнАЯ ФОРмУлА коши и ва слвдстэиЯ Так как з есть предельная точка множества Е, то из Е можно выделить последовательность отличных от г и различных между собой точек гы га, ..., Яю ..., сходящуюся к ге.
Имеем: ф(гь)=се+с,(гь — аа)+... +с„(ЛА — г )" +... =О (12) (л = 1, 2, 3, ...), откуда, переходя к пределу при ль -ь гм получим: ф (да) = с = О. Пусть уже доказано, что коэффициенты с, с„..., с„, суть нули, тогда ф(ЛА) = си(ЛА вв) + с (яв — ло) + ° ° = О или с„+-с„,1(яь — г,)+... =О ((с = 1, 2, ...). (13) Переходя в соотношениях (13) к пределу при гь-+ ям получим: с„= О. Итак, все коэффициенты ряда (1!) суть нули, откуда и следует справедливость теоремы в случае, когда область есть круг и центр его является предельной точкой для Е.
Рассмотрим общий случай. Пусть К вЂ” какой-либо содержащийся в области 0 круг с центром в точке аш предельной для Е. По доказанному выше функция ф(г), обращающаяся в нуль в каждой точке Е, лежащей в К, обращается в нуль во всем круге К. Так как 0 не совпадает с этим кругом, то должны сушествовать точки области О, не содержащиеся в К. Покажем, что ф(г) обращается в нуль в любой такой точЧерт. 47. ке г'. Соединим гв с л' внутри 0 не- прерывной кривой Е и пусть р ) О— расстояние между Е и границей 1" области О.
Разобьем 7. на дуги точками га, яы г,, ..., г„ ы в, = я' так, чтобы расстояние между каждыми двумя соседними точками было меньше р, и опишем из каждой точки г1, как из центра, круг К7 радиуса р (черт, 47). Очевидно, что внутренность К1 принадлежит 0 и содержит центр следующего круга я7Ф, (7' = О, 1, ..., и — 1). Во всех точках круга К функция ф(г) обращается в нуль. Допустим вообще, что уже доказано, что ф(г) =О во всех точках круга К1 (/ (л — 1), и покажем, что ф(я)=О во всех точках круга К „,. 7. А-точки и, в частности, нели 177 или У(») — А=У (.,)(.—..)+",,'(.—..) + .. (14) Если У(»)фА, то среди коэффициентов правой части найдутся отличные от нуля.
Пусть (» — »ь)" — младшая степень» — »ь, коэффициент при которой отличен от нуля. Тогда равенство (14) принимает вид "УРО (»о) У!в+!!(»ь) У(») — А=(»»з)ь~ ь + ь (»»о)+...~ (15) л! (л+ 1)! где Угв>(»з)ныл. НатУРальное число Уг называетсЯ поРЯдком илн кратностью А-точки». В случае, когда й = 1, А-точка называется п растай, в случае. когда Ус) 1,— кратной. В силу определения простая точка характеризуется,тем, что для нее У(»э) = А и У'(»ь) чь 0; кратная А-точка порядка Уг )~ 2 характеризуется соотношениями У(»ь)=А, У (»о)=0, ..., У!ь Ю(»о)=0, УРО(»о)+О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
