А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 13
Текст из файла (страница 13)
для любых линейных отображений Е, Е1 и Е имеет место соотношение (1'('1) 1'2 ~' (1'1~"2)' Свойство это легко проверяется. В самом деле, пусть !'.2(г)=г,. Тогда (~'~1) ~2 (г) ~~'! 1 '2 (г)! ~ ~! (гз) и ~' (~'1~ 2) (г) ~' (~'1~'2 (г)1 ~'~'! (22) итак, ((-(-1) 12 (г) = ~ (~1(-2Нг) Свойство ассоциативности распространяется на произведение любого числа отображений. Оно избавляет нас от необходимости писать скобки в этом произведении. Так, например, ~ А((2Ь2)) (г) =Ы~(С2Е2)(г) =Е(1 1Е2)Л2(г) = =~1!1212(г) Так как множество М наряду с каждыми двумя отображениями 1'. н 1.1 содержит также и их произведение 111 (или ЕС,) и наряду 60 гл. ш.
элвмвнтлгныи егнкции и конеогмныв отоввлжвния с отображением Ь содержит обратное отображение Е ', то оно образует г р у п п у отображений (преобразований) *). б. Круговое свойство. зОбратимся к доказательству к р у г о в о г о с в о й с т в а дробно-линейного отображения, выражающегося в том, что образом прямой или окружности при отображении св = Е(г) является прямая или окружность, причем образом прямой могут быть и прямая и окружность, точно так же как и образом окружности могут быть прямая н окруженость.
Для целой линейной функции Е(я) = па+'р' это свойство является очевидным, так как отображение тв=б(я) сводится к сдвигу (при а=1) или же к повороту и растяжению (еслн в ~ 1); см. п. 1О главы Ц. Рассмотрим теперь отображение 1 тв =Л(г)= —, а' которым мы неоднократно пользовались. Очевидно, уравнение любой прямой или окружности можно представить в виде- А(ха+уз)+ 2Вх+ 2Су+ О= О. Мы получаем прямую при А = — О и В и С, не равных одновременно нулю, и окружность при А Ф'О и Вз+С' — А1з) О. Заменяя здесь ха+у' через гг, 2х через я+а и 2у через — 1(г — я), мы представим это уравнение в виде Агг+ ( — (С)я+ (В+ (С) я+ О = О, или Агг+Ел+Ел+7)= О, где Е = В+ Сг.
Здесь ' А = О, а комплексное число Е отлично от нуля в случае прямой и А чь О н ЕŠ— АО ) О в случае окружности. Обратно: любое уравнение такого вида с действительными коэффициентами А и )з и комплексными сопряженными коэффициентами Е и Е будет являться уравнением прямой, если А = О и число Е отлично от нуля, и уравнением окружности, если А ~ О и ЕŠ— АО О. Чтобы убедиться в этом, достаточно перейти от г к х и у по формулам гг=х'+у', я=х+(у, г=х — гу. а) См., например, А. Г. Кур о ш, Курс высшей алгебры, изд. 4-е, 6 56", Гостехиздат, 1955, илв Ван дер Варден, Современная алгебра, т. 1, 6 6, Гостехиздат, 1947.
б. кРУГОВОе ОВойстВО 1 Желая получить образ кривой (1) при отображении ш= —, за- 1 меним г в уравнении (!) на †. Получим: А =+ Š— + Е =+ 0 = О, илн Вши+ Ете+ Е и+ А = О. (2) ге ге ге т Уравнение (2) имеет тот же вид, что и уравнение (1), с заме- ной А на О, Е1 на А и Е на Е. Отсюда следует, что при Е1=0 это есть уравнение прямой (так как тогда либо А = 0 и Е + О, либо А + 0 и ЕŠ— АО = ЕЕ > О, т. е. снова Е + 0), а при О + 0— уравнение окружности (так как при А Ф 0 уравнение (1) изображало окружность и, следовательно, выполнялось условие ЕŠ— А0>0, а при А = 0 оно изображало прямую, следовательно, Е было отлично от нуля, откуда ЕŠ— А1) = ЕЕ > 0).
Мы доказали, что образом 1 прямой или Окружности при Отображении те = Л(г) = — является прямая или окружность. Переходя к произвольной дробно-линейной функции т = Е (л) = — (с Рь 0), ае+ Ь се+ й представим ее в виде а Ьс — ай с +с(се+й)' Положим 1 а Ьс — аа л, = Е,(г) = сг + б г, = Л(л,) = — и и = У.,(г,) = — + — г,; еь з з с с тогда Е(г) запишется в виде произведения трех отображений: 1=1.,ЛЕ, Так как образом прямой или окружности при каждом из отображений Еы Л и Ез является прямая или окружность, то тем же свойством обладает и отображение Е.
Круговое свойство дробно-линейного отображения доказано полностью. Если с чь О, то в точке 3 = — — — функция Е(г) = й ае+ Ь с се+ а' обращается в со. Поэтому образ каждой прямой или окружности, проходящей через е, должен содержать бесконечно удаленную точку Е(6) = сю и, следовательно, не может быть окружностью. В силу кругового свойства этот образ есть прямая. Образ прямой или окружности, не проходящей через точку е, не может содержать' бесконечно удаленную точку и, следовательно, не может быть прямой. В силу кругового свойства этот образ есть окружность.
Итак, при отображении я = Е(л) все прямые и окружности, проходящие 62 Гл. Ць элементАРные ФУнкции и кОИФОРмньш ОтОБРАжений черев точку ч, преобразуются в прямые плоскости ш, а прямые и окружности, не проходящие через э, преобразуются в окружности плоскости чо. Пусть тв = 1. (е) — произвольная дробно-линейная функция, Т вЂ” прямая или окружность плоскости я и à — ее образ в плоскости ш (т. е. также прямая или окружность). Рассмотрим области я1 и А„ ограниченные линией Т в плоскости е; это будут две полу- плоскости, или же внутренность и внешность круга. Покажем, что образом одной из них будет служить одна, а другой †друг из двух областей, ограниченных линией Г в плоскости ш.
В самом деле, пусть г, — точка области е, .и я, †точ области из. Так как г, и г, не лежат на Т, то образы этих точек ш1 и чо, не могут лежать на Г и, следовательно, попадают в области, на которые Г разбивает плоскость ш. Если допустить, что они попадают в одну и ту же область, то их можно будет соединить в ней отрезком Ь прямой (или дугой окружности), без общих точек с Г (черт. 12). Прообразом отрезка Ь в плоскости е должен быть отрезок Черт. 12. прямой (или дуга окружности) О, соединяющий з, с е, и не имеющий общих точек с Т.
Но существование такого отрезка противоречит тому, что г, и гз лежат в различных областях я, и яз. Итак, из того, что точки е1 и гз принадлежат различным областям в1 и е,, следует, что их образы я, и шз также принадлежат различным областям, ограниченным линией Г. Мы обозначим через О, область, содержащую шы а через Оз — область, содержащую чвз, и покажем, что образом области я1 является О,, а образом области Агз служит Ою В самом деле, если е', например, †как-либо точка области еы то из того, что г' и г, принадлежат разным областям Р1 и д„ следует, по доказанному, что их образы чв' и шз принадлежат разным областям О, и О,. Но ш, принадлежит Ою поэтому ш' принадлежит О,.
Итак, образ каждой точки области я; принадлежит области 0„ точно так же образ каждой точки области да принадлежит О,. Возь'мем, наконец, произвольную точку чо области О,. Она должна быть образом одной из точек г области д, или дз. Но г не может быть точкой . области яя, так как иначе чв была бы точкой области Оя. Следовательно, чо является образом точки г, принадлежащей д,. 6.
инвьвилнтность двойного отношения 63 Итак, О, есть образ области я„а б есть образ области йз. Мы доказали, следовательно, что две области, ограниченные линией (, отображаются на две области, ограниченные линией Р, и установили при этом, что, для того чтобы узнать, какая именно из двух областей, ограниченных линией Г, является образом данной области я„ ограниченной линией Т, достаточно проследить за образом тв, одной только точки 2, ~ 6,: та область О,, которой принадлежит твы и будет образом области д,.
6. Инвариантность двойного отношения. Если дробно-линейное преобразование ш=(.(2) отлично от тождественного, то тв вообще отлично от 2. Однако и здесь существуют н е п о д в и ж н ы е т о ч к и п р е о б р а з о в а н и я, характеризуемые уравнением 2 =с(2) = ал+ Ь с2+ и Пусть сначала с=О (г1~ 0). Тогда 1.(2) представляет целую линейную функцию Так как 1(со)= со, то одной из неподвижных точек целого линей.
ного преобразования является бесконечно удаленная точка плоскости я=со. При а ~ 1 существует и другая неподвижная точка, определяемая из уравнения Это — точка 2= —. При а= 1 и р чьО не существует конечной 1 — а неподвижной точки. Но если а+ 1, р чьО и а-+1; то конечная неподвижная точка — стремится к бесконечно удаленной точке.
1 — а Поэтому в случае преобразования 1(2)=2+р ф+ 0) бесконечно удаленную точку можно рассматривать как две слившиеся неподвижные точки. Пусть теперь с ~ О. Тогда (.(со)= — чь со, т. е. точка я= со с не является неподвижной. Точно так же не является неподвижной и точка — †, ибо с ' Считая, что 2+ со и 2Ф вЂ” —, будем решать уравнение с ' ил+ Ь 2=— 22+и ' нли сяз — (и — п) 2 — д ~ О. 64 Гл.
н!. элементАРные ФУнкцни и конФОРмные ОтОБРАження Получим: а — д+ Р'(а — с!)в+4Ьс г= 2с Если (а — с()в+4Ьс + О, то мы находим отсюда две различные конечные неподвижные точки. В случае (а — д)з+4дс= О эти две а — д точки сливаются в одну конечную неподвижную точку— Итак, дробно-линейное преобразование, отличное от тождественного, имеет только две неподвижные точки, которые в частном случае могут сливаться в одну.
Целые линейные преобразования вполне характеризуются тем, что, по крайней мере, одна неподвижная точка является бесконечно удаленной. Дробно-линейное преобразование, имеющее больше двух неподвижных точек, может быть только тоькдественныи преобразованием (/(г) = г (для которого все точки суть неподвиькные). Отсюда можно вывести, что для совпадения двух дробно-линейных преобразований (.(г) и Л (г) достаточно, чтобы уравнение 1,(г) = Л (г) выполнялось для трех различных точек г: г,, г, и гв. Действительно, пусть !'.(гь)=Л(гн)=чвь (й=!, 2, 3), тогда Л ' (шв)=гь (й=1 2 3) ил следовательно, преобразование Л '1.
(г) переводит точки г„снова в те же точки, т. е. Л 1(гь)=гь(к=1,2,3)(ибо1.(гь)=м~л и Л '(шь)=г„). Поэтому преобразование Л '1. имеет три различные неподвижные точки: г,, гв и г„т. е. является тождественным преоб азованием: Р Л 'Л =(г. Следовательно, Л (Л-'(,) = Л(У.
Но Л(Л Л) = (ЛЛ )(. = (Д. = (, и ЛУ =Л. Окончательно получаем: Л=Л, что и требовалось доказать. Итак, для того чтобы определить дробно-линейное преобразование, достаточно задать три различные точки: юь, чо, и м~ы в которые преобразуются три заданные различные точки: г,, г и г,. Поставим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
