А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Точно так же из уравнения (22) следует, что зтот ктор направлен по касательной к линии тока. Отсюда лишний раз вытеиает, что линии равного потенциала и линии тока взаимно ортогональны. Кроме того, из совпадения вектора скорости с касательной к линии тока и из того, что движение является установившимся (скорости зависят только от положения частицы), вытекает, что линии тока совпадают с траекториями частиц ").
Если область 6 течения жидкости содержит отдельные (изолированные) точечные источники, стоки или вихри (т, е. точки, которым соответствуют отличные от нуля вихри), то, исключая нх из области 6, получим много. связную область 6', к каждой односвязной подобласти которой применимо асе сказанное выше. Отсюда следует, как н прежде, что функция и — !о, сопрвженная со скоростью и+!о, представляет собой однозначную во всей области 6' аналитическую функцию. Функция (18) (вообще многозиачная) попрежнему будет комплексным потенциалом движения жидкости, распадающимся в каждой односвязной подобласти х)с: 6' на однозначные аналитические ветви. Так как производная от каждой из них совпадает с одной и той же функцией и — !о, то различные ветви комплексного потенциала могут отличаться друг от друга только постоянным слагаемым.
Итак, мы установили, что каждому плоскому установившемуся движению несжимаемой жидкости в некоторой области .6 соответствует функция у(г) — комплексный потенциал лвижения, аналитическая во всех точках области 6, за исключением тех, в которых имеются источники, стоки или вихри. Функция зта вообще является многозначной, но ее производная, прел. ставляющая собой в каждой точке области комплексное число, сопряженное со скоростью и+(о, является однозначной.
Границу области можно рассматривать как совокупность очертаний (проекций или сечений) стенок сосуда, заключающего жидкость, или же тех цилиндрических тел, которые обтекаются жидкостью. Так как частицы жидкости, непосредственно прилегающие к стенкам, должны скользить влоль иих, то граница области должна входить в систему линий тона. Если вообще мы имеем в некоторой области 6 аналитическую, за исклю. чением отдельных точек, функцию у(г), вообще многозначную, но с одное')ачной производной у"(г)г то зту функцию можно интерпретировать как комплексный потенциал некоторого течения жидкости в области 6.
При атом точки, попадающие в область 6, в которых аналитичность функции у(г) сто "арушается, в простейших случаях могут быть истолкованы как источники, токи илн вихри течения, а граница области — как очертание обтекаемых ~идкостью твердых тел. Для возможности последнего истолкования необхочтобы граница области 6 входила в систему линий тока, т. е. чтобы функция тока (ф(х, у) =!шу(г)) сохраняла постоянные значения на всех )'„„) ), ) — „„„„). , „„,) ь ') ' ' .' ) созна а л"виях тока как кривых, касательные к которым в данный момент времени созна а "ахают с векторами скорости; но здесь линии тока, вообще говоря, не адают с траекториями частиц.
4 Зан )яб. А и, марнушеаич 50 гл. и. егнкции комплнксного пкгкмннного. пгоивводнля )ч. Примеры. Переходя к иллюстрации общих соображений, выска. ванных в предыдущем пункте, рассмотрим сначала случай целой линейной функции у(з) = ах. Ее можно рассматривать как комплекс. ный потенциал движения жидкости, .
занимающего всю плоскость. Дви. жение зто. является поступательным, . и его скорость равна т. (х) = а в любой точке. Полагая а = а -(-Гй, полу чим для потенциала скоростей выра.. жение т(х, у) = ах — йу, а для функции тока ф(х, у) = йх+ау. Черт. й. На черт. 8 изображены линии- тока и ортогональные к ннм линии ' равного потенциала.
Если вместо всей плоскости рассмотреть лишь полосу, ограниченную Черт. 9. двумя прямыми, параллельными вектору а, то та же функция представит комплексный потенциал течения жидкости в полосе. Возьмем еще пример функции у(л) =лз 14. пгимкгы тзкзке комплексный потенциал движения жидкости, занимающего всю плоскос ть Скорость частицы жидкости, находящейся в точке л, равна )» (л)— ; = 2л, потенциал скоростей имеет вид е(х, у)=хз уз з функция тока ф (х, у) = 2ху. ца черт.
9 представлены линии равного потенциала хз — уз= сопя( и лин янин тока 2ху = сопз1 рассматриваемого течения. Очевидно, зто — равнобочвые гиперболы. К линиям тока принадлежат также обе координатные оси (2.у =о). В точке их пересечения (начале координат) сиорость равна нулю.
рассматривая вместо всей плоскостй один из координатных углов, например „ервый, заключаем, что та же функция представляет комплексный потенциал плоского движения жидкости, заключенной в первом координатном угле. ()ри атом стороны угла изображают стенки сосуда, в котором движется жидкость. йз ГЛАВА!!! ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКНИИ И СООТВЕТСТВУЮШИЕ ИМ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 1.
Многочлеи. Простейший и наиболее важный класс дифференцируемых функций составляют однозначные функции, аналитические во всей плоскости, исключая из последней бесконечно удаленную точку. Такие функции называются ц е л ы м и. Весьма частным примером целых функций служит много член (полипом) аь+ а,г+ а,ге+... + а„г" = Р„(г). Он может сводиться к постоянной (п= 0). Если же п > 0 и ан~ьО, то 1пп Р„(г)= со.
Следовательно, многочлен степени выше нулевой ь -ь оь обращается в оо в бесконечно удаленной точке. Если та — произвольное комплексное число (собственное), то, как известно из алгебры, уравнение Р„(г)= тв имеет п корней, из которых некоторые могут быть равными между собой (кратные корни). Поэтому каждая точка плоскости тв принадлежит образу плоскости г при отображении тв = г(г), причем эта точка будет иметь п прообразов г„ г„ ..., г„.
Прибавим к этому, что Р„(со)= со и, следовательно, оо принадлежит к образу расширенной плоскости. Прообразами бесконечно удаленной точки тв = со служат корни уравнения Р„(г) = со, т. е. также бесконечно удаленная точка. Мы будем считать ее для симметрии и-кратным корнем этого уравнения. Итак, лногочлен степени п(а„+О, и )0) отображает расширенную плоскость на самое себя так, что каждан точка образа ш имеет и прообразов г,, г,, ..., г„. Впрочем, как уже было оговорено, для отдельных, исключительных зйаЪений ш (к которым относится и та=со) число прообразов может быть и меньше и.
Легко видеть, что количество этих исключительных значений не превышает и. В самом деле, если шеФсо и уравнение Р„(г) =та имеет кратные корни, то, как известно из алгебры, для каждого из них Р„(г) = О. Но последнее уравнение имеет п — 1 корней (среди которых также могут быть равные между собой) ~ы (м ..., г Отсюда следует, что та должно иметь одно из следующих и — 1 значений: Р„(".,), ..., Р„("„,), и если сюда еще присоединить бесконечно удаленную точку, то мы и получим те (самое большее) п точек плоскости тв, которые имеют менее чем по п прообразов в плоскости ш.
2. тОчки, В котОРых конФОРмность Отоэдлжения нАРушАется 53 2. Точки, в которых конформность отображения нарушается. В силу общей теории отображение ТР=Р„(г) является конформ- ным во всех точках, за исключением тех точек чс, г, ..., ч„с, в которых производная обращается в нуль, а также, быть может, за исключением точки г= со. В случае, когда а = 1, многочлен является целой линейной функ- цией, и здесь отображение является взаимно однозначным и конформ- ным во всей расширенной плоскости, включая и бесконечность (см.
пп. !Π— 11 главы П). При и ) 1 конформность действительно нарушается в указанных точках. о Пусть, в самом деле, Р„(г,) = О. Тогда г= го является кратным корнем уравнения Р„(«) — Р„(г ) = 0 и, следовательно, Р„(«) — Р„(«о) можно представить в виде Ро («) Ро (го) (г го) Е~) (г) где Ес)~ 2 — кратность корня г=«о (число й, как известно, на еди- иицу выше кратности корня «= го для уравнения Р„(г) = 0) и мно- гочлен Я(г) не обращается в нуль при г=г. Полагая Р„(г)=Ос и Р„(г,) =нсо, получаем отсюда, что Агд(пс — шо) = Ага(г — го)" + Асям(«), и далее 1!ш (Ага'(св — нсо) — Агд (г — «о) ) = Агя О(го).
тл -Р о Пустьтеперь«=Л(Е) — криваяЬ, выходящаяизточкиг (го= Л(Ео)) и имеющая в этой точке касательную, наклоненную под углом АгяЛ'(Ео) = йш Ата — ' с,.+ с с, > с, Ес — Ео к действительной оси (см. п. 8 главы П). Образ Л этой кривой в плоскости св будет: св=Р„[Л(Е)[=[с(Е). Непосредственно мы не можем заключить отсюда о существовании касательной к Л в точке сво(Е=Ео) (так как р.'(Ео)= Р„(«о) ° Л (Ео) =0).
Но для наклона секущей, проходящей через точки тво и я+тво, получаем при Е) Ео: Аг8 — о = Агй — о + Ес Агй (' — 'о) + С вЂ” Ео (г — го) Š— Ео -+АЕЮЯ(го)+Ес МИЛ (Ео) прн Е +Ее откуда и следует, что ссасательная существует. Если Лс и Ьс — две кривые: «= Л,(Е) н «=Л,(Е), выходящие из точки го и образующие в ней угол 8: 8 = Агд Лс(Е ) — Аги Лс (Ес) (Л (Ес) = Лс (Ес) = го), то образь[ этих кривых Л„и Ла выходят из точки св и образуют в ней угол [Асяс)(«о)+ й АгдЛс(Е,)[ — [АгЮЮ(го)+ А Агй Лс(тс)[ = ~= Ес [Агя Л,(Е ) — Агя Л, (Е,)[ = Й9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
