А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. таких кругов, что лля каждой точки а~Р существует, по крайней мере, один круг из множества ( К >>, содержащий внутри эту точку; тогда из множества (К( можно выделить конечное число кругосс К,, Кг, ..., К>п образующих покрытие Е (т еор ем а Г ей не — Бор ел я). 5, множвствл точек нл плоскосю! Пусть Š— какое-либо множество точек плоскости. Р а с с т о янием то точки " до этого множества называется нижняя грань рань расстояний точки " ло всевозможных точек Е: р(г, Е)= =>п(~~ — »(, »~Е. Если р("-, Е)=0, то либо С~Е, либо "~Е, но тогда Е солержит точки, сколь угодно близкие к г, т. е.
является предельной точкой Е. В случае, когда Š†замкнут множество точка, пе принадлежацгая Е, не может быть прелельной для Е. Поел>оку из г ~Е гледует, что р(г, Е) > О. Пусть Е и Š— два множества точек; расстоянием между ними называется нижняя грань расстояний между всевозможными парами точек»' н " таких, жо»'~ Е н»" ~ Е: р(Е, Е)=- >п(!»' — »"!. Расстояние межлу Е и Е может равняться нулю и в том случае, когда Е и Е не имеют общих точек.
Но если оба замкнуты и, по крайней мере, олно из них, например Е, ограничено, то пз того, мто Е и Е ие имел>т общих шочем, следует, !то р(Е, Е) ) О. В самом деле, если»'~Е, то»'~Е и поэтому р(»', Е)) О. Опишем из»', как из центра, круг радиуса р(»', Е); внутри него не будет лежать нн олной точки из Е. Совокупность кругов с теми же центрами и вдвое меньшими радиусами образует покрытие множества Е. По теореме Гейне — Бореля существует конечное число > / кругов К,, К,, ..., К„с центрзми»о»е, ..., «„и радиусами ~ р(», Е) 2 р(»' ,Е), ..., ~ !«(»,'и Е), покрывающих Е. Обозначим наименьший из этих радиусов через б(о) 0). Пусть»'~Е, тогда »' ~ К>, и так как концентрический круг вдвое большего радиуса 2 .
— р(»., Е) не содержит ни одной точки из Е, то для любой ! 2 точки»" ц. Е имеем; !»' — »"))~ — р(»', Е))~6. Поэтому и р(»', »")= У =!п(!»' — »"!)~О) О, что и нужно было доказать. Точка некоторого множества Е называется в ну т р е н н е й (по отношению к этому множеству), если существует окрестность точки, содер>кащаяся в Е.
Множество Е, состоящее только из внутренних точек, называется открытым множеством. Точки, предельные лля открытого множества Е и не принадлежащие ему, называются г р ан и ч н ы м и; совокупность их составляет г р а н и ц у Г множества Е, Сама граница является замкнутым множеством. Замкнутыми являются множество Е = Е (! Г, получаемое объелинением множества Е и его границы Г и называемое з а мы канне и Е, а также множество всех точек плоскости, не приналлежащих Е. Последнее распалается на два подмножества: границу Г множества Е и множество Е, точек, не принадлежащих Е и не являющихся предельными для него, называемых в н е ш н и м и точками.
Для каждой внешней точки существует окрестность, не принадлежащая Е; такая окрестность заполнена только олними внешними точками. Поэтому множество Г> всех 20 гл. ь комплвксныи числа и их гиомитвичискои пгкдстлвлвнив внешних точек множества Е само является открытым. Важнейший частный случай открытого множества — о б л а с т ь. Открытое множество Е называется о б л а с т ь ю, если любые две точки Е можно соединить между собой ломаной, содержащейся в Е (в частном случае ломаная может сводиться к одному прямолинейному отрезку).
Области чаще всего обозначаются буквами: О (немецкое ОеЬ)е(), П (французское богпа)пе), В (немецкое Веге)сй). Примеры: а) Все точки ж удовлетворяющие неравенству )» — «э~ (р (у — фиксированное положительное число), образуют область Π— внутренность круга (или окружности) с центром «э и радиусом р. Граница этой области есть окружность Г: ~ » — «э( = р. Внешние точки характеризуются неравенством )« — «э),)р. Они в совокупности образуют также область От — внешность круга (или окружности). Точка со является также внешней по отношению к О, поэтому она принадлежит Оп Граница области бт — та же окружность Г.
Добавим еще, что каждая точка»с 0 является внешней по отношению к От так, что совокупность всех точек, внешних для Оь совпадает с О. б) Пусть Г: Ах+Ву+С=О (А, В и С вЂ” действительные числа, причем Аз+ Вэ Ф 0) — какая-либо прямая на плоскости «. Все точки, удовлетворяющие неравенству Ах+ Ву+С)0, составляют одну, а все точки, удовлетворяющие неравенству Ах+ Ву+ С с О, — другую из двух различных областей От и Оз, имеющих общую границу Г. Эти области От и Оа называются полу плоскостями (ограниченными прямой Г). Каждая из них состоит из точек, внешних по отношению к другой. Точка «= 'о является граничной точкой для От и Оэ (через эту точку проходит Г).
в) Множество точек Вт() « — «э ~(Вв — область (круговое кольцо), граница которой состоит нз двух концентрических окружностей Гд. '~« — »э) = Рт и Гз: ~ » — »э~ = Рз. Совокупность внешних точек распадается здесь на две области: внутренность круга ~ » — »э!с Й, и внешность круга )» — «э ! ) Вэ. ГЛАВА И ФУНКПИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ 1. функция комплексного переменного. Понятие функции комплексного переменного является частным случаем общего математического понятия функции. Именно, если Š— некоторое множество точек комплексной плоскости (г) и каждому г поставлены в соответствие одно илн несколько комплексных чисел чо, то говорят, что на Е определена функция комплексного переменного г, значениями которой являются чо, коротко чо = у(г). Если каждому г соответствует лишь одно значение чо, то функция называется однозначной, если некоторым г соответствует более чем одно значение чо,— многозначной.
Так, например, чо=г» (и — натуральное), чв =1г ), чв = г, чо = Ке г, ш = 1ш г — однозначные функции, определенные на всей плоскости (конечной), чо = у' г — многозначная функция (п-зиачная), также определенная на всей плоскости, ш = Агдг — многозначная функция (бесконечнозначная), определенная на множестве всех точек, отличных от нуля.
Если Е расположено на действительной оси, то г= х является действительным переменным. Если все значения ю также действительны, то приходим к понятию действительной функции одного действительного переменного как весьма частному случаю функции комплексного переменного. В общем случае положим: г = х+ 1у и ш = и+ 1о. Тогда предложение «функции ш=.((г) (например, однозначная) определена на Е» эквивалентно следующему: «каждой точке из Е с координатами х и у поставлены в соответствие действительное число и и действительное число о».
Иными словами, на Е определены две действительные функции и = т(х, у) и о=т(х У) двух действительных переменных х н у. Итак, одно комплексное соотношение чв = Г"(г) эквивалентно двум соотношениям: и у(х, у) о = ф(х, у). Например, соотношение то = га = (х+ 1У)з = х' — у'+ 21ху эквивалентно следующим: и = хз — у', о = 2ху. 22 гл. и. охнкссии комплексного пвгвмвссссого. пгоизводнля 2. Предел функции в точке. Г!усть ти =У(г) — однозначная функция, определенная на Е, и го — предельная точка этого множества. Если для фиксированного комплексного числа А и для любого е > О найдется о(«) > О такое, что !с(г) — Л! < з при !г — го( < о(е), а~ Е (и г чь го), то говорят, что Г(г) ст р е кит с я к пределу А при г, стремящемся к =-„, и пишут: Иш с (г) = Л. «.+ -- «ал В дальнейшем для упрощения записи указание г~Е опускается всюду, где это не вызывает сомнения. Полагая А=В+сС, с(г)=сс(х, у)+с!я(х, у), г„=х„-,'-су и рассуждая так же, как и в п.
3 главы (, найдем, что предыдущее комплексное соотношение эквивалентно двум действительным соотношениям: !ссп и(х, у)=В, !Ип о(х, у)=С. ««.« '«а «в.«л Это замечание показывает, что простейшие предложения, относящиеся к пределам функций действительных переменных, без изменений распространяются на пределы функций комплексного переменного. Например, если функции д(г) и сс(г) определены на одном и том же множестве Е и для них Иш д(г) = А,, Ипс л (г) = А„ «.+ «« то Ипс (д(г) с-Д(г))=Ас='-Аз Иш и(г) й(г)=А, А,, «.+ =„ « '+ «« Л(г) Ас !пи — =— «.+ -„" (г) Аз (посчеднее при условии, что Аезьб). Аналогично рассматривается случай, когда вместо конечной точки берется бесконечно удаленная точка.
Именно, если точка г=со является предельной для Е и для фиксированного комплексного числа А и для любого е ) О существует Ас(з) такое, что ! с (г) — А ! < з прв !г!)АГ(в) (г~Е), то говорят, что с(г) стремится к преде,чу А при г, стремящемся к со, и пишут: Ипч Г(г) =А. Очевидно, отличие этого случая от предыдущего лишь в том, что вместо окрестности (г — го( < о(е) конечной точки г„здесь рассматривается окрестность !'г!) Ас'(г) бесконечно удаленной точки.
Наконец, если г — любая предельная точка множества Е (конечная или бесконечно удаленная) и для любого Ж) О можно указать такую окрестность точки, что неравенство !с'(г)( > И будет удов- 23 3. непРРРывность летворяться, пр надлежит этой окрестности ( то говорят, р мится к со при к г„, и пишут: 11ш ) (г) = ~ «+« Все три частных случая предела функции м о шим оп бщим определением: пусть гь — предельная точка множества Е (конечная или бесконечно удаленная) и А — комплексное число (собственное или несобственное); если каждой окрестности Ц точки А соответствует окрестность и, точки гь такая, что /(е) принадлежит К если г принадлежит иь (кроме того а~Е и г+гь), то говорят, что Дг) сгпремится к пределу А, когди г стремится к г„, и пишут: 1'пп У(г) = А.
«.+ «„, «ея 11ш о(х, Р)=о(хо Уо) выражающим непрерывность двух действительных функций и(х, у) и о(х, у) в-той же точке. Итак, функция комплексного переменного непрерывна в точке г тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части, рассматриваемые как функции действительных переменных х и пч непрерывны в той же точке. Отсюда следует, что многие свойства непрерывных функций двух действительных переменных непосредственно переносятся на непрерывные функции комплексного переменного. Именно сумма, разность, произведение и частное двух непреРывных функций суть функции непрерывные (в случае частного При таком общем определении предела, когда возможно, что А = оо, мы не можем без оговорок пользоваться теоремами о пре- делах суммы, разности, произведения и частного функций, так как операции оо со, а со, — лишены смысла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
