А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 49
Текст из файла (страница 49)
АнАлитическОе пРодолжение, РимАИОВА позеРхность тождественна области Е). В примере б) и. 2 положение иное. Здесь области 0~. 'г' — < 4Р < Ц+2) — для всех целых чисел г', дающих при делении на 4 один и тот же остаток Д, представляют одну л л и ту же полуплоскость /е — < ч4 <(/в+2) —, ограниченную соответствующей координатной осью.
Будем представлять эти области в виде бесконечного множества различных между собой бумажных листов, сложенных в одну стопу над полуплоскостью 01Р Так как у принимает 4 значения: О, 1, 2 и 3, то всего получается четыре такие стопы. Никакие два листа 04АР~ и 044+1,(й + 1) одной и той же стопы не должны непосредственно склеиваться друг с другом, так как в их пересечении (совпадающем с полуплоскостью Од) У~л+д= ~=1пф+1(4р+ 2лл) У44+у,= 1пф+1(4р+21л) (/о2 < м<(/о+2) 2 ' А+1).
Лишь листы с индексами, различающимися на единицу: 0 и 0~+А (они принадлежат двум различным стопам), склеиваются вдоль общей части, расположенной над координатной четвертью (/+1) — < 2 < ч <(у+2) —. В самом деле, в этой общей части значения 2 функций Уу(8)=!п ~л)+1я~ (/ 2 < я~ <(/+2)2) НУЧЛ(л)=1пф+44~ 11(/+1)2<44<(/ +3)2)совпадают В результате всех склеиваний полудл АЛ чим бесконечнолистную область Г--- —---- ~УР АР ЮР расположенную над соответствующей областью О (О в плоскость г с двумя ! )Л У'* * исключенными точками я=О и я= со).
47 Наглядное представление о ней мо- 1 жет дать черт. 31, на котором условно ! изображена часть )т, полученная путем склеивания 11 полуплоскостей 0 „ У. .Ом 0„, Оз,..., Оз(предлагаем читателю склеить аналогичную модель из 1! прямоугольных листков бумагр). Черт. 51. Очевидно, что для определения точки в области Я недостаточно задать комплексное число я в аффикс этой точки. Так, в последнем примере один и тот же аффикс 1 + 4' имеет бесконечное множество различных точек Й, расположенных на частях 14, получившихся путем склеивания О, с Оея О, с 04, О„с Оз, ..., вообще 04ьч.з с О „+ (И=О, +'1, -+-2, ...) (см. черт.
51). В общем случае для определения точки р ~ Я нужно указать вместе с аффиксом г также и определенный элемент (О', 1'(г)) такой, что я~0". Тогда получим однозначно определенное значение функции в этой точке: Д(О) =-у'(л). 5. пгинцип симмзтгии гимлнл — швлзцл Например, значение логарифма в точке р*, отмеченной на черт. 51, есть 1п у' 2+1 —, в точке д* — 1п~/ 2+11 — + 2я) в точке г'— 4 ' ~4 1п)у 2+1( — +4п).
Итак, в обобщенной области Я, построенной (4 указанным способом, заданное связное множество элементов М: (О, ) (з)) определяет однозначную функцию точки. Эта функция рассматривается как аналитическая в области 14. Чтобы убедиться, что понятие аналитичности непосредственно переносится на функции, определенные в Й, достаточно заметить, что задание точки р' на 14 предполагает задание аффикса г* этой точки и, кроме того, выделение определенного элемента 10', У'(г)) из М, для которого г' ~ О'. Если это сделано, то сразу же выделяется и такая часть Я, расположенная над областью О* (говорят также, что эта часть проектируется в область 0'4, в которой каждую точку р можно полностью характеризовать ее аффиксом з~ ОЯ (проекцией точки р). Таким образом, функцию у(р) точки в данной части Й можно рассматривать как функцию комплексного переменного л в области 0 и, следовательно, применять к ней все понятия и результаты теории функций комплексного переменного.
Обобщенная область )г, описанная в этом пункте, называется р и м а н о в о й п о в е р х н о с т ь ю аналитической функции у(з) (определяемой данным связным множеством элементов М). 5. Принцип симметрии Римана — Шварца. В основе описанного выше процесса аналитического продолжения лежало понятие непосредственного аналитического продолжения двух элементов: (Оо у,(г)) и (Оз, Уз(г)) с налагающими, областями. Существенным было' то, что с помощью двух функций у,(г) и /з(з), аналитических в двух областях О и О,, получалась одна функция 1'(з), аналитическая в большей области О= Ог() О, (черт.
52); при этом 1(я) совпадала с Уу(з) в Оу(1'= 1, 2). Целесообразно обобщить определение элемента и непосредственного аналитическо- л го продолжения следующим ~ Я', образом. Я, Назовем элементом аналитической функ- А ц и и совокупность функции У(г), однозначной и Черт. 52. аналитической в области О, ограниченной обобщенной жордановой кривой Г (область — не обязательно выпуклая), и самой облзсти 0; элемент будем по-прежнему обозначать символом (О, У(г)). Пусть (Оо Уд(я)) и 10з, у (з))— два элемента, причем области О, и О, не имеют общих точек, но их границы Г, и Г, имеют общую открытую (т.
е. рассматриваемую без концевых точек) дугу Ь (черт. 53, а). Если в области 264 гл.' ~х. аналитическое пРОдолженнВ. Рнмановл пОВеРхнОсть а1 0 = О, + О, + Е существует аналитическая функция У(е), совпадающая с У~(з) в 0~(/= 1, 2), то элементы (О„у;(е)) и (О, гя(я)) называются по-прежнему непосредственными аналитическими продолжениями один другого. Говорят также, что функция у;(г) аналитически продолжается из области О, через дугу 3 на область ОВ и Га(я) является ее аналитическим продолжением (или Ж г (г) аналитически продолжается А' ', из области Оа через дугу 8 в область О, и у,(г) является ее аналитическим продолжением).
Разбираемый ф здесь случай, когда области при- м ы к а ю т одна к другой, можно г свести к ранее рассмотренному случаю, когда области н а л е г а ю т Ф одна на другую. Действительно, соединим концы дуги 3 дугами П Черт. 53. и („как указано на чертеже 53, а, и обозначим кривые, получающиеся из Г, и Га путем замены 3 соответственно на (, и уа, через г Р / г г / Г1 и Ге, внутренности Г1 и Г, обозначим через Оз и О,.
г Области От и Оа имеют общую часть, ограниченную жордановой кРивой 1, Ц Уа. Очевидно, что в слУчае, когда ~,(з) аналитически продолжается из О, в О через дугу 3, мы можем продолжить г / аналитически г,(г) на область 01 и гя(г) на область Ою причем / Р элементы (Оо у,(з)) и 10а, уа(е)), области которых налегают друг на друга, составят непосредственное аналитическое продолжение один другого в прежнем смысле слова (и. 2; см.
также сноску на стр. 268). Аналогично можно убедиться н в справедливости обратного: аналитическое продолжение с помощью элементов с налегающими областями можно всегда заменить аналитическим продолжением с помощью элементов с примыкающими областями. Отправляясь от непосредственного аналитического продолжения посредством элементов с примыкающими областями, можно ввести понятие цепи, аналитического продолжения (не непосредственного) и, наконец, перейти к построению римановой поверхности, подобно тому как это делалось в пп. 2 — 4. При этом в процессе построения римановой поверхности' две области Ое и 0' элементов (Ое, уе(я)) и (О', у"(г)) соединяются (склеиваются) друг с другом вдоль общей граничной дуги й тогда и только тогда, когда у (е) продолжается через 8 в область О* и г"(л) является результатом продолжения.
Предлагаем читателю проследить, как риманова поверхность функции Ьп е, полученная в п. 4 склеиванием бесконечного множества налегающих друг на друга экземпляров четырех различных полуплоскортей (верхней и нижней, правой н левой), может быть получена такжФ 5. ИРинцип симметРии РимАнА — шВАРцА 255 склеиванием бесконечного множества экземпляров только двух различных полуплоскостей, например верхней и нижней, соединяемых попереМЕнно вдоль положительной и отрицательной частей действительной оси.
Покажем, что элементы (О„У,(г)) и (Ою Гь(г)) бУдУт слУжить непосредственными продолжениями один другого в том частном случае, когда 3 есть интервал прямой, функции ув(г) непрерывны на Ов+ В и в точках 3 принимают равные между собой аначения. В самом деле, полагая ((г) = У~(г), г ~ Оу (г' = 1 2) и У(г) = у1(г) = =У~(г)(гЕ й), получим, что функция У'(г) непрерывна в области 0 = О, Ц Оь()3 и аналитична в каждой из областей 6~(г'= 1,2).
Следовательно, ~ г(г) аг = О, где Т вЂ” любой треугольный контур, т лежащий целиком в О, или О. Отсюда по п. 4 главы Ч! следует, что У(г) есть функция, аналитическая в области О, т. е. элементы (Ог .гг (г)) и (О„уь(г)) являются аналитическими продолжениями один другого. Теперь легко докааать следующую важную т е о р е м у: Принцип симметрии Римана — Шварца. Пусть 0— область, ограниченная жордановой кривой Г, содержащей прямолинейный интервал 3.
Пусть на множестве О+ 3 определена непрерывная функция у(г), которал в области 0 является аналитичесной, а в точках отрезка В принимает значения, лежащие на некоторой прямой Л. Построим область 0", симметричную с областью О относительно е (точнее говоря, относительно прямой, содержащей 3), и определим на 0'+5 функцию У'(г), положив, что У'"(г)=У(г), когда г~З, и что У*(г') симметрична с У(г) относительно Л, если точка г*ЕО' симметрична с г~О относительно В. Тогда алементы (О, у(г)) и (О" У'(гН будут непосредственными аналитическими продолжениями один другою. Эта теорема дает простые достаточные условия, при которых функция Д(г), определенная в области О, может быть аналитически Черт.
54. продолжена на область 0+3+ 0', так сказать, «вдвое бдльшую», чем О, и при этом указывает, как фактически осуществить это продолжение (а именно по принципу симметрии). Прежде чем приступить к доказательству теоремы, поясним ее на простом примере. ))усть чэ:,((г) непрерывна в замкнутом треугольнике АВС (черт. 54), 266 гл. ~х. лнллитичасков пгодолжзниз. гимлновл поввгхность аналитична внутри него и принимает на интервале ВС чисто мнимые значения.
Тогда формулированная теорема позволяет утверждать, что функция ((л) аналитически продолжается на область АВА'С. Если при этом точки г* и г названной области симметричны относительно ВС. то и значения тв" и тв продолженной функции в этих точках будут симметричными относительно мнимой оси (черт. 54). Переходим к доказательству. Прежде всего подвергнем плоскость л и плоскость тз целым линейным преобразованиям г' = аз+ Ь и тв' = ам+ р, выбрав их так, чтобы интервал 3 перешел в некоторый интервал действительный оси плоскости л' и прямая Л перешла бы в действительную ось плоскости м'.
При этом, конечно, изменятся соответствующим образом и области и функции, о которых говорится в условии теоремы (например, ге' — М вместо функции тв=у(з) будем иметь функцию тз'=аУ~ )+~). а Мы сохраним, однако, для тех и других прежние обозначения; прежние обозначения будут сохранены и для переменных г и тв. Существенно то, что наши 9', преобразования (а также преоб- 1 разования, им обратные) перевол'=ю+ф дят конечную плоскость в конеч- Р ную плоскость, область в область, ь прямые в прямые, сохраняют симХ=л"-(р метричное расположение точек относительно преобразуемых прямых и, наконец, сохраняют непрерывность и аналитичность функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
