А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 51
Текст из файла (страница 51)
+ гза + у (гз")1 = со. г +с г-ьс гбоз- грос зи Итак, каждый из корней )/1 также является особой точкой для У(г) (при любом и =1, 2, 3,...). Мы видим, что множество особых точен элемента у(г) расположено всюду плотно иа единичной окружности (т. е. так, что любая сколь угодно малая дуга окружности 'содержит точки етого множества). Но отсюда следует, что все без исключения точки единичной окружности являются особыми для у(г), так как для правильнЬй точки, если бы она имелась на окружности, существовала бы и целая дуга, все точки которой должны быть правильными, что в данном случае невозможно. 7.
Критерий для обнаружения особых точек. Укажем общий метод, позволяющий для любой точки ь, лежащей на границе Г круга сходимости степенного ряда (3), решать, будет ли зта точка правильной или особой для суммы ряда у(г). Пусть гт †точ радиуса гай отличная от га и С Разложим У(г) в ряд по степеням г — гз.
Получим: у (г) = Ь„ + Ьт (г — гг) + ... + Ь„ (г — гз)" + ..., (4) у! 1 (гг) и + 1 Ь„= = ли + — а„ьт(гт — га) + а! ! (н+ 1) (и+ 2) + 2 а„+з(гт — га)з+ ... (и=б, 1, 2,...), По теореме п. 2 главы Ч! найденный ряд сходится в круге 1г — г~!(Ь где-Ь вЂ” расстояние от гт до Г, т. е.
Ь = !à — 1г, — га(. Итак, ряд (4) сходится внутри окружности 1 с центром в точке ги касающейся окружности Г в точке (. По формуле Коши — Адамара радиус сходимости ряда (4) !Ьп Ьг ~Ь„1 Если г совпадает с й, то на окружности р 1г — г,1= а должна лежать, по крайней мере, одна особая точка суммы ряда (4). Но ии одна точка ьгбу, лежащая внутри )Г, не может быть особой для етого ряда, так как в окрестности точки ьг, целиком принадлежащей К, у'(г) является аналитической функцией, которая внутри 7 совпадает с суммой ряда (4). Следовательно, особой является точка ~.
Очевидно, она должна быть особой точкой. и для у(г) — суммы ряда (3). Допуская противное, мы имели бы функцию 272 гл. )х. анллнтнчксков пводолжкннв. гимлновл повивхность й(г), аналитическую в некоторой окрестности точки ч, которая в точках окрестности, лежащих внутри К совпадала бы с у(г). Тогда эта же функция совпадала бы и с суммой ряда (4) в точках окрестности, лежащих внутри т, т. е. ч не была бы особой точкой для ряда (4).
Итак, если 1 й = гс — ! гт — гь ! = Г = !! Р!йн!' то точка ч является особой точкой для у(г). Покажем, что в случае, когда Ь ф г, т. е. й к,.г, точка ч является правильной для у(г). В самом деле, в этом случае сумма ряда (4) представляет функцию р(г), аналитическую в окрестности Ус точки ь и совпадающую с у(е) в части круга Ун лежащей внутри у (черт. 58).
Йо у(г) и (т(е) суть однозначные аналитические функции в луночке, являющейся общей частью кругов Ус и К Из того, что онн совпадают Черт. 58. в заштрихованной на чертеже части лу- ночки, следует, по теореме единственности, что (у(х) совпадает с у'(г) и во всей луночке. Итак, точка ч является в этом случае правильной для У'(г). Мы установили, таким образом, что точка ч будет особой или правильной для у(е) в зависимости от того, будет ли выполняться равенство 1 1 ! ег — гь ! 11ш У~!й ! 1!ш !Уий( Н и! или неравенство )С вЂ” ) Х"' (*,) ) В виде иллюстрации полученного критерия докажем следующую т еорему Прингсхейма: Если коэффициенты ряда ,"~~~а„г" с единичным кругом сходимости о суть действительные неотрицательные числа ав)~0, то точка я= 1 является особой для суммы ряда.
Лля доказательства возамем какую-либо точку ет — — х на радиусе 01. Если допустить, что точка 1 не будет особой для суммы ряда, то, по только что доказанному, должно выполняться неравенство 1 !гт гь1=1 х( (5) „ш !у"!(х) ! н! Рассмотрим теперь произвольную точку 5 единичной окружности; пусть ет — точка радиуса Оч, находящаяся на оиружности (г)= х, т. е. )ет! = х. Тогда для ет расстояние й до единичной окружности будет также равным 273 7. критвеий для овнлержения осовых точек 1 — х. С лругой стороны, (гт)! = ( аз+ 1 авч+тгч+ 21 ав.
згв+ . ( ( <в! ~ и+1 (а+ 1) (и+2) з и+1 (и + 1) (а + 2) <а„+ — а,,х+, авьтхе+ ... =у!к (х) и, следовательно, (6) !(ш )/ !У'Ю( ')~ !!ш ~ГХЮ(х) к» и! я вчв л1 Позтому для точки г! имеем на основании неравенств (5), и (6): д( !!пт $Г в.в в и! откуда вытекает, что для сумиы ряда Ч~Р ~а„з" любая точка единич!юй окружо ности является правильной, что, как мы знаем, противоречит условию дока. зываемой теоремы (что единичная окружность является границей круга сходимосги). Итак, точка г = 1 должна быть особой точиой для суммы ряда г,' а„ги в прн условиях а„)~0 и )7 = 1.
Из доказательства теоремы видно, что если вместо точки 1 рассматривать какую-либо другую точку ь единичной окружности, то, для того чтобы ч была особой точкой, достаточно потребовать, чтобы действительными неотрицательными были числа аяфн Более того, достаточно потребовать, чтобы эти числа были действительными и неотрицательными, лишь начиная с некоторого и: ив, так как, представляя у(г) в виде лв- г чв у(г) = Я алг" + Яалга, е Л немедленно убедимся в том, что точка ь будет особой для у(г) тогда и только тогда, когда она будет особой точкой для суммы ряда ч~Р~ алга.
ев жз гзь Рассмотрим, например, ряд д †, . Здесь козффициенты а„ равны нулю; 2а о йг 1 л если и ~ 2, и равны —... если л = 2 . Следовательно, ол- 1! 1/!а.! = 11 у' ч:+' а+ 2ь откуда по формуле Коши — Адамара вытекает, что радиус:х "..". шг в ч равен единице. 18 Звк. гыз, А. Н. Мврктшеввч 274 гл. ~х. Анллитнчвсков пРОдолжвнив. РимАИОВА ПОВВРхность Поэтому, по доказанной теореме, точка л 1 является особой точкой для суммы ряда у(л). Но из той же теорзмы (в силу' замечания, сделанного эи выше) следует, что и каждая точна ь )'Т, где и — произвольное натуральное число, есть особая точка для у(г).
Действительно, при Д )~ и имеем: гзь (гзв)зь-и = — ) О. 2гд 2а' 2ь1 Итак, множество особых точек функции у(я) всюду плотно на единичной окружности. Отсюда следует, что на этой окружности нет ни одной правильной точки элемента у(л), т. е. все точки ь (1,"1= 1) являются особыми.
Замечательно, что это обстоятельство не мешает данному степенному ряду сходиться абсолютно и равномерно в замкнутом единичном круге, а его сумме у(л) быть бесконечно дифференцнруемой функцией на множестве (л ( ~ 1 (в частности, во всех особых точках). В самом деле, при 1 л 1 ~ 1 имеем неравенства СО эа %ч 1 ~з з и так как РЯд лу †, сходитсЯ, то и РЯд Р†„ абсолютно и РавномеРно 2"- 2" о а сходится в замкнутом круге, и следовательно, его сумма у(з) является непрерывной в замкнутом круге.
Далее, если данный ряд продифференцировать почленно любое число раз т, то получим ряд Х 2а(2" — 1)... (2" — т+1) а 2"' а модули членов которого прй1 л ) ~ 1 удовлетворяют неравенствам ! 2" (2в — 1)... (2" — т+ 1) В,„2ам 1 1 2А 2А 2 га ы1,2" при й) т. Следовательно, ряды, получаемые почленным дифференцированием степенного ряда 7 †, , равномерно сходятся в замкнутом круге 2» а 1я) (1, откуда, по теореме, известной для функций действительного переменного и без изменений переносимой на функции комплексного переменного, вытекает, что эти ряды представляют производные Уию(л).
Итак, у(я) есть функция, непрерывная и бесконечно дифференцируемая в замкнутом круге )л( ( ! и аналитическая внутри круга, для которой каждая точка единичной окружности является особой точкой. Этот поучительный пример показывает, что наличие особых точек аналитической функции на гравице рассматриваемой области (круга) может в некоторых случаях не сказываться внешним образом на поведении функции вблизи особой точки, точнее говоря, не обнаруживаться нарушением непрерывности функции или ее производных в ланной граничной точке С Необхолимо рассмотрение всех производных у(л) в некоторой точке з, лапкой области, для того чтобы из сравнения величины ~1(ш р 8. опгвдклкнин тлдитсл сходнмости по осовым точкам 276 с расстоянием Ь от точки лт до точки й решить, будет ли точка б особой или правильной.
Определение радиуса сходимости степенного расположению особых точек функции. Предложения, установленные на стр. 269, часто позволяют нахолнть радиус сходимости тейлоровского разло- жения аналитической функции у(л), не прибегая к вычислению коэффициенуч"'( ) тон ряда, т. е. чисел .
Все сводится при этом к нахождениюособых и! точек элементов. Нужно иметь в виду при этом, что для данной функции у(л), аналитической в некоторой области б, существует бесконечное множество различных элементов соответственно бесконечному мноэкеству кругов с раз- личными центрами, принадлеэкащих области. Таким образом, приходится иметь дело с особыми точками различных элементов одной и той же анали. тической функции, и может случиться, что точка, являю.цаяся особой для одних элементов, оказывается правильной для других.
Эти обстоятельства мы выясним сейчас иа простых примерах. Предварителыю заметим, что в случае, когда аналитическая функция у(л) задается формулой, содержащей конечное число элементарных функций, возможные особыс точки ее элемен. тон легко обнаруживаются среди точек разрыва втой функции, например точек, в которых она обращается в бесконечность, а также среди точек разветвления функции у(л). 1 П р им е р ы: а) Пусть у(г) = —. Эта функция однозначна и анали- 1+ гз' тична во всей плоскости; за исключением точек г=-1-й е которых она обращается в со. Пусть з — произвольная точка, отличная от ~г; опишем нз нее, как из центра, окружность т: ! з — ле ! = р, проходящую через бли- жайшую к ле точку +1 или — 1.
!~усть для определенности этой ближайшей точкой будет 1. Внутри т у (г) является аналитической и, слеловательно, прелставляет некоторый элемент. Убедимся, что точка 1 будет особой точкой элемента. В самом деле, допуская противное, мы должны имет~ окрестность (У точки 1 и в ней аналитическую функцию е (з), совпадаю цую с У(я) в части окрестности (у, лежа цей внутри Т (эту часть мы обозначим и). Тогда в точке 1 должен существовать конечный предел е (!) = Вв е (з) = 1!ш у (л) = йш —, 1 -ье .+1 -ьз 1 + лз зйл зЕл ейе что, очевидно, невозможно. Итак, на Т лежит особая точка элемента У(л) и, следовательно, радиус сходимости гс тейлоровского разложения для у(л) по степеням л — лз совпадает с ралиусом з окружности 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
