А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 55
Текст из файла (страница 55)
тнческой функции г = э(я), обратной по отношению к те = у(г) в некоторой окрестности точки сев=,т(го) (го~ 0). Пусть сначала г'(го) Ф О; тогда по п. 2 существует круг Со:1г — го!<ро, в котором функция У'(г) однолистна. Этот круг отображается посредством че =у(г) взаимно однозначно и конформно на некоторую область Во плоскости те, содержащую точку тес.
4. ОБРАЩение АнАлитической ФУнкЦии 289 По доказанному в этом пункте обратная функция г = Ф(чв) будет однозначной, аналитической и однолистной в области,суо; она отображает кРУг Ко:!ча†шо( < го (со†РасстоЯние точки тво до гРаницы области ,00) взаимно однозначно и конформно на некоторую область ло плоскости г, содержащую точку го (черт. Б1). В круге Ко у (чв) разлагается в степенной ряд г= р( )=с.+с ( — цо)+ +аи( — 0)"+" (1) (! тв чво! < го).
Коэффициенты с этого ряда можно вычислять, например, пользуясь методом неопределенных коэффициентов (для этого нужно подставить вместо чв — тле=у(») — у(го) соответствующий степенной ряд, коэффициенты которого предполагаются известными: у (») — у(г ) = =а,(г — »0)+а,(г — »0)е+...). В частности, получим: ! СО»0' 01 аг Пусть теперь У'(»0) =... =у!У-'!(»0) =О, УТР!(»0) Ф О (р)~ 2). Представим разложение у'ю( ) 1(»)=аз+ар(г — г,)Р+... (аз=У'(го)=в„а„= ' ~0), (2) р! сходящееся в круге )г — го! <р, в виде У(~) = во+ а„(» — »0)" (1+ (~)! ар+, а 00 где а(г) = — (г — »0)+ — (г — го)'+...
— функция, аналитичеа, 0 а, окая в круге )» — го) < р. Пусть р,(О < р, < р) таково, что г !а(г) ~ < 1 в круге, ~ г — го! < р,, тогда р(») = (1+а(»)1в -('1 = 1+ уч. ~ Р ) (а(»))" — функция, однозначная и аналитическая в этом йои! л п 1 круге, удовлетворяющая условию р(г,) =!.
Поэтому Т (») = = (г — го) р(г) — также функция, однозначная и аналитическая в кРУге !г — »0( < Р„длЯ котоРой Т'(»0)= 1 Ф О. Очевидно, что у(») следующим образом выражается через Т(г): = ) ( ) = а + а (Т (»)) . (3) Рассмотрим преобразование Т(г) (» го)+оо(»»о) + (4) К нему применимы выводы, полученные выше для преобразования я=У(») в случае, когда у'(»0) ~ О. Следовательно, существует область го, лежащая в круге !г — »0/ < р и содержащая точку »0, 19 Зчк.
1036. А. И. Марчушоонч 290 гл. х. отоьвлжания посглдством лиллитичвских аяикцнй которая отображается посредством (4) взаимно однозначно и конформно на некоторый круг Ке: )~~(г,. функция л=й("), обратная по отношению к (4), имеет в этом круге разложение вида л=й(С)-С+сР+... (5) Чтобы получить преобразование (2), достаточно выполнить сначала преобразование (4), а затем подвергнуть круг Ке преобразованию уои (ее) тв = аз+ арьл (ао = еео ар =, Ф 0) ° (6) Оио уже не является взаимно однозначным: р различных между 2 зй з— г (я-и собой точек круга Ке: ь, ье л, ..., ье л (ч ~ О) переходят в одну и ту же точку в=аз+ар"я.
Однако если представить образ круга Ке з виде р-листной римановой поверхности †-листного круга с центром ар — — ше, то взаимная однозначность изображения будет иметь место и адесь. Этот р-листный круг можно -.построить так. Делим круг Кз на 2р равных между собой секторов 8~, Ц вЂ” 1) — ( а ( /я, 0 ( г < г, (г' = 1, 2, ..., 2р) и каждый Р из них подвергаем преобразованию (6). В результате получаем 2р экземпляров верхних и нижних полукругов 1)г.' (У вЂ” 1)я ( р (гк, 0(г(гя (~у и г — полярные координаты с началом в точке тве). 1 Остается склеить каждый полукруг Пг с О~+, (/= 1, 2, ..., 2р — 1) вдоль общего радиуса а = гя (О (г < глг); последний полукруг Оз склеивается с первым Е), вдоль общего радиуса у = 0 (0<г<гя).
Из формул (6) и (5) немедленно получается обращение в=а(те) функции та=г(л) в окрестности точки таз. А именно из (6) слелует, что 1 1 с-~ — „')'( —,)' 1 г 11р (здесь можно приписать коэффициенту ~ — )л какое-либо одно опре1а,г' 1 деленное значение корня степени р из — ; различные аначения а,' соответствующие одному и тому же тв, будут получаться в результате обходов вокруг точки тв ).
Подставляя в (5), находим: СО ч ч г и (те) = ~~~~~А„(яе — тве)Я (А„= с„( — )" ., с, =1). (7) 1 Это разложение, сходящееся при 1тл — те ((гг~, показывает, что функция л= р(тв) имеет в точке тле алгебраическую точку разветвления порядка р — 1. Построенный нами р-листный круг предста- б. ааспгоствлнвния понятия однолистностн 291 вляет часть римановой поверхности функции ~7(че) в окрестности точки твь; она отображается посредством (7) иа однолистную область иь, расположенную в плоскости г.
Мы показали в этом пункте, что при отображении области О посредством однозначной аналитической функции чв = Г (г) можно длн каждой точки ге~ О указать область дь, содержащую точку г и лежащую в области О, которую /(г) отображает взаимно однозначно на однолистный (если 7'(г ) Ф О) или много- листный (если У'(га)=0) круг с центром ма=у(гь). Выбрав для каждой точки г соответствующую ей область е, можно затем склеить соответствующие круги (К), соединяя два круга К, и Ка тогда и только тогда, когда они налегают друг на друга и когда их про- обРазы К, и да также налегают дРУг на дРУга.
Читатель легко пой- мет, что этот процесс совпадает со знакомым из главы 1Х процес- сом построения римановой поверхности аналитической. функции по ее элементам. В данном случае речь идет об элементах функции г = р(чв), определяемых разложениями вида (1) (в однолистном круге) или (7) (в р-листиом круге, р)~ 2). Правда, последний случай не подходит под определение влемента, данное в главе !Х, так как сумма ряда (7) имеет особую точку при те = чеь (точку разветвления). Чтобы приблизить рассматриваемое здесь построение к построению главы 1Х, достаточно было бы, так сказать, «расклеить» р-листный круг, расчленив его, например, на полукруги Ог и беря в каждом полукруге соответствующую однозначную аналитическую ветвь функ- ции (7) (а именно в полукруге (/ — 1) я ( у (7«, 0 ( г (гьг, » берем однозначную сумму ряда г А„гв ~сов — +1з1п — ~; значелт ит1, Р Р)' о ния этой ветви изображаются точками той части области и„на которую функция (5) отображает круговой сектор Юз.
(7 — 1) — .. « Р (а(7' —, 0(г (г,). Впрочем,' предпочитают расширить понятие Р элемента аналитической функции, допуская в качестве областей эле- ментов р-листиые круги, а в качестве определенных в этих обла- стях функций †функц, имеющие в центре круга алгебраическую точку разветвления (р — 1)-го порядка. б. Распространение понятия однолистиости на случай функ- ций, имеющих полюсы. Случаи, когда гь или ша — — Г'(гь) обра- щаются в со, могут быть сведены к рассмотренным выше, как указывалось в конце п.
1. Приведем окончательные формулировки некоторых результатов. Если гь = со и функция У(г) является правильной в втой точке, то в окрестности бесконечно удаленной точки имеем: У(г)= 4о+ + а+ ь+''' е га 292 гл. х. отовглжвния посвздством аналитических еэнкций Р!егко видеть, что в этом случае все производные обращаются в нуль: ~'(со) = !о(сю) = ... = О, однако характер отображения зависит здесь не от них, а от коэффициентов А,, А„ ... Если А, = Аз = ... Ар ! — — О, а Ар + О (р ~ О), то в любой окрестности бесконечно удаленной точки найдется р различных точек, в которых у(г) принимает одно и то же значение (ср.
п. 3). Следовательно, для однолистности ! (г) в области О, содержащей бесконечноудаленную точку, необходимо, чтобы А,= — Выч.Г(г)~0, о = сО Если известно только, что !(г) является правильной в точке я=со и что коэффициент А, чь О, то можно утверждать, что в некоторой окрестности этой точки 1(г) будет однолистной функцией (п. 3). Расширим понятие однолистной функции, допуская, что однозначная и аналитическая функция .1(г) может иметь полюсы в области О. Из условия однолистности (1(г!) Ф.((г,), если ггчьгз) следует, что она может иметь только один полюс.
Покажем, что этот полюс необходимо должен быть простым. Пусть го~ 0— полюс г(г); для определенности положим г чь со. Тогда Дг) — — +... + + Ао+... (р)~ 1, А „+ 0) (е го) г — го в окрестности точки го. Если !'(г) одиолистна в этой окрестности, то и — =а (г — г)е+и (г — го)э+ +... !!а = — ~0) 1 ! — э о вч! '1в А однолистна в ней; по доказанному в начале п. 3 это возможно только в случае р= 1, т. е. когда порядок полюса Дг) равен единице. При нашем обобщении понятия однолистности теорема, приведенная в начале п. 4, сохраняется и для областей, содержащих бесконечно удаленную точку, если добавить в ее формулировке, что функция г = и(ш), обратная однолистной, может иметь один простой полюс в П. Заметим, наконец, что взаимно однозначное отображение области О на область П, осуществляемое однолистной функцией че =у(г), является конформным (первого рода) во всех точках области О.
Если го Ф со и У(го) + оо, то это следует из того, что У (г,) + О. Пусть г,чь со, а Йго)=со, тогда чв=у(г)= — +Ао+... (А, + 0) и ш'= — = — = а,(г — го)+ ..., г — го о -! и у (е) 1 ! 1 где а, = — = — ~ ~ О. Так как отображение чв =— А ! сг !о и у (е) является конформнь!м в точке го, то и отображение ш = ~(г) конформно в той же точке. Случай го = со сводится к рассмотренным 1 посредством преобразования г = — (здесь снова возможны случаи, 6, понятии о твогвмв гимлнл. вдинстввнность отоввлжвния 293 когда у(ось) Ф сю; тогда я =У( —,)=Ас+А,г'+Агз'+... (А,ФО), либо )(со) = со, тогда со =У! —,,1= —,+А,+Аз'+...
(А,+0)). 6, Понятие о теореме Римана. Единственность отображения. Рассмотрим несколько обгцих предложений, относягцихся к теории конформных отображений. Мы видели, что каждая функция то=у'(г), однолистная в области 0»), осуществляет взаимно однозначное и конформное (первого рода) отображение этой области на некоторую область О. Д. Е. Меньшовым была доказана о б р а т н а я т е о р е м а: каждое взаимно однозначное и конформное (первого.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
