А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 54
Текст из файла (страница 54)
1 то' = ) (г'), тле г' лежит внутри окрестности Сь: [з †г ~( р точки гь. Итак, в окрестности точки зь (эту окрестность можно сделать произвольно малой, беря р достаточно малым) всегда найдется точка г', в которой [Г(г~)[) [у(гь)[. Это и' значит, что модуль [у(я)[ не может иметь максимума в точке г . Читатель может убедиться совершенно так же, что в случае, когда Дг) не обращается в нуль в области О, ее модуль не может иметь минимум ни в одной точке области. Отметим важное с л е д с т в и е из принципа максимчма модуля: Если У(я) непрерывна в замкнутой области О и аналитична внутри втой области, то впр[г(л)[ достигается на границе Г области. В самом деле, модуль [у(г)[, будучи непрерывным на 2. Пгинцип мАксимумА мОдуля и лвммА швАьць 285 замкнутом множестве точек О, должен достигать верхней грани, по крайней мере, в одной из точек этого множества.
Но если Г(г) ф сапа!, то такой точкой не может быть внутренняя точка 0; следовательно, ею может и должна быть некоторая граничная точка. Если же ь'(г) — сопв1, то зцр !Е (г)~ достигается в каждой точке О, в том числе и в граничной. Итак, утверждение доказано во всех случаях. Замечая, что в этом предложении можно вместо зир ~У(г)) ьйг писать шах ~/(г)(, приходим к следующему выводу: в каждой точке ьсе области О.
выполняется неравенство ! у(г)~ (шах (/(г)); ьчг знак равенства для какой-либо точки г ~ 0 возможен здесь тогда и только тогда, когда у(г) ж сопз1. В качестве приложения принципа максимума модуля докажем так называемую лемму Шварца; которой мы воспользуемся ниже.
Лемма Шварца. Если У(г) — функция, однозначная и аналитическая в единичном круге, удовлетворяет условиям У(0) = О, У(г)~ (1 (~г~(1), то она удовлетворяет также и условиям У'(0)~ (1 !У(г)! ()г~ (~г~ < 1). При этом равенство )у'(0)~= 1 или !У(го)1=!го) (хотЯ бы в одной точке гр ге+ О, ~г„~(1) может иметь место только в случае, когда ((г) есть линейная функция вида У(г) =еыг (а — действителькое постоянное). Доказательство.
Пусть у(г)=с1г+с гь+...(~г)(1); положим ср (г) = — = с, + с,г+... Очевидно, что э(г) — функу(г) ция, аналитическая в единичном круге, удовлетворяющая условию э (0) = с, = У' (0). Рассмотрим значение р(г) в какой-либо точке г' единичного круга; если г удовлетворяет условию ~г'~(г(1, то мы должны иметь, по доказанному выше: ! е (г') ~ ( шах ( й (г) !. !~~=г Но шах~~(г)~=шах ~ — ~ ( —, так как !У'(г)~ (1, поэтому У(е) 1 Ы! 1ь!=г ~'ф(г')~ ( — или, оставляя здесь г' фиксированным и заставляя г г стремиться к единице, получаем: ~ о(г') ~ (1. В частности, для г'= 0 ~э(0)~=|у'(0)~ (1 и для г'= ге + 0 ~у(гь)~ =~ — '~ (1, т.
е. ~У(ге)1((гь~. Знак равенства в одном из этих соотношений означал бы, что в некоторой точке г' единичного круга модуль ~ а(г) ~ имеет максимум, 236 гл. х. отоввлжвния посгздством лньлитичвских фзнкций равный единице; это возможно только в случае р(г)пмсопзг=в'" (так как (ср(х)~ =1), т. е. ((г)= е'"г. Применим еще принцип максимума к гармоническим функциям. Докажем, что функция и(х, у) ф сопз1, однозначная и гармоническая в области О, не может иметь ни максимума, ни минимума ни в одной точке области.
В самом деле, пусть (хь, уь)— точка области О и Уь — ее окрестность, содержащаяся з О. Построим функцию о(х, у), гармоническую в О и сопряженную с и(х, у) (п. 12 главы И). Тогда и(х, у)+Го(х, у)=У(г) будет функцией; однозначной и аналитической в Уь, однозначными и аналитическими в той же окрестности будут и функции Р,(л) = ейм и Р,(г) = е-ГФ. Так как они не являются константами, то к каждой из них применим принцип максимума модуля. Поэтому значения ( Р,(г )! е"ш ге и ~Рг(ль)! =е "<* г" не могут быть максимальными; следовательно, значение и(хь, уо) гармонической функции не может быть ни максимальным, ни минимальным.
Если и(х, у) — функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области О и гармоническая в области О, то из доказанного вытекает, что ее наибольшее и наименьшее значения должны достигаться только в граничных точках области. Если, в частности и(х, у) сохраняет постоянное значение на границе области О, то отсюда следует, что и(х, у)= сопз( в области О. Поэтому две функции и,(х, у) и и,(х, у), непрерывные в замкнутой области О, гармонические в этой области и принимающие одинаковые значения в граничных точках области О, должны совпадать между собой всюду в втой области. Это означает, что так называемая з а д а ч а Дирихле, заключающаяся в отыскании функции, непрерывной в замкнутой области О и гармонической в области О, по ее значениям, заданным на границе области, может иметь только одно решение.
3. Локальный критерий однолистности. Рассмотрим подробнее отображение тв =У(г) в замкнутой окрестности .Сь:~г †( ( р. Предположим сначала, что 1'(гь) = О, ..., У ' (гь) = О, а (гь) чь О (р)~ 2). Производная у'(г) может обращаться в нуль не только в точке гь, но и в других точках Сь; так как гь не является предельной точкой для множества нулей у'(г) (в противном случае было бы У'(г)= О и г(г)= сопз1), то можно выбрать р столь малым, чтобы У'(г) не обращалась в нуль ни в одной точке Сь, отличной от гь.
Допустим, что такой выбор сделан. Тогда, сохраняя преькние условия и обозначения, можем утверждать, что для любого то';ь тоь, )чо' — чоь~ ( р. уравнение у(л) — то = О имеет внутри Сь столько же корней, сколько и уравнение г(г) †т = О. Но последнее имеет р корней (гь — р-кратный корень уравнения); поэтому и у(г) †' = О имеет р корней внутри С . Ни один из этих корней г' не может быть кратным, так как в' чь гь (в противном случае было бы то' = У(л') =У(гь) = тоь, что неверно) и, следовательно, У'(г') ~ О. 261 4.
овглщзнив аналитической ознкции Итак, уравнение г(«) — щ' = О имеет р различных корней г„г, ..., гр внутри Со, т. е. существует р различных точек этой окрестности, в которых г'(«) принимает одно и то же значение то'. Отсюда непосредственно следует, что функция з(г), 'производная которой обращается в нуль хотя бы в одной точке го области О, не может быть однолистной в этой области.
Иными словами: если ((«) однолистна в области О, то ее производная не обрасцается в нуль ни в одной точке области. Условие '/'(«) - О (г ~ О), будучи необходимым, не является достаточным для однолистности, как показывает пример функции е', Ее производная (е')' = е' нигде не обращается в нуль и, однако, в* принимает одно и то же значение во всех точках вида « + 2ппг (и О, -1, — 2, ...). Покажем, однако, что для точки го, в которой г" (го) Ф О, можно всегда построипаь такую замкнутую окрестность Со.'! г — го! ч 'ро, что з («) будет однолистной в ней. Пусть у(«)=~~~~~ а„(г — г ) — разложение Дг) в некоторой окрестности о !г — го! (г точки го(а, =.г (го)+ О), тогда в той же окрестности сходится ряд у'(г) = ~~~„пао(« — го), следовательно, при р ( г 1 сходится и ряд ~р~п!а„!р"-', и сумма его стремится к нулю, когда р — ь О.
Выберем ро (О < ро < г) так, чтобы выполнялось неравенство ~п!а„!р," '< !а,!. Тогда., для любых двух точек г„г,, а г, Ф га, лежащих в замкнутом круге ! г — го ! ( ро, будем иметь; ! Пга) — йга)! = Х а ((« — «о) =-(га — «о) ! = о = аа(га — га)+Ха,((«,— го)" '+ +(«а — «о)" )(г — «а) > >!г — «а! !а! — Х!а.!(!г — о!" '+ ..+!«а — «о!" '! > а ~~!г,— га! !а,! — Хп!ан!ро" ) О, . у(г,) + у(«а). а Однолистность функции Д«) в замкнутом круге !г — го! (ро доказана. 4.
Обращение аналитической функции. Пусть то = г'(г)— однозначная аналитическая функция, однолистная в области О, не содержащей бесконечно удаленной точки. По доказанному в п, 1, вта функция отображает О на некоторую область О. 288 гл. х. отовеожания посеедством лнхлитичаских огнкцнп Покажем, что обратная фунниия г = ~р(те) является тттанже однозначной, аналитической и однолистной в В. Однозначность ~р(ю) сразу следует из однолистности у(г). Действительно, если г, чь г,— два значения р (те) в точке тео ~ О, то должно быть т (гт) = т (го) = кто, что противоречит однолистности у(г).
Подобным же образом однолистность ~р(я) вытекает из однозначности у(г): если допустить, что сР(тет)=Р(тео)=го, где тв, чете„то должно быть У(го)=и, и У(го) = тее, что пРотивоРечит однозначности т(г). Докажем непРерывность ~(те). Пусть сев~В и р(шо)=го; построим для г замкнУтУю окРестность Со: 1г — го! <Р, котоРой мы пользовались в и. 1. Тогда каждая точка ю', принадлежащая кругу К,: )те — тес)<й, где р.= ш1п 1т(г) — тес!) О, будет значением 1(г) в некоторой , 1т-п1=е точке г', лежащей внутри С, иными словами, г' = э(те') лежит внутри Со, если те'~Ко. Для произвольного положительного е выберем о < о, тогда для соответствующего ему р = р(р) будем иметь; если ) э' — шо) < р, то )э(тв') — э(нто)! < р о.
Непрерывность р(че) в области В доказана. Остается доказать дифференцируемость р(те) в любой точке сев~ О. Пусть э(тес) =го, тогда для те чь тес имеем в(те) = г -+ ~р(тес) = го при я -+ ыо (г чь г,) и, следовательно, и + оч те тле е.+ н У(г) — Х(го) У'(~о) (г'(г ) чь О в силу однолистности т (г)). Теорема полностью доказана. Применим этот результат к локальному обращению произвольной однозначной (вообще говоря, неоднолистной) аналн- Черт, б1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
