А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 53
Текст из файла (страница 53)
через соответствующие радиусы, будем получать при возвращении в исходный полукруг каждый раз новые ветви: Уу.,а(г), ф.,(г), ..., до тех пор пока не дойдем до Л+м„(г), совяадаюшей с гр(г). Можно охарактеризовать это положение следующим образом. Обход вокруг точки г при аналитическом продолжении в направлении против часовой стрелки приводит к замене элемента (Ор, г~(г)) отличным от него элементом (Ор+„ У~+а (г)) и лишь йо обходов вокруг точки го приводит к влементу (Орьаан Л~агь(г)). совпадающему с исходным. Точка г называется в атом случае точкой разветвления функции г(г) ко- 280 гл. ~х. АИАлитическое пРОдОлжение.
РимлнОВА пОВВРхнОсть печного порядка (=сто — 1). Легко видеть, что риманова поверхность У(») в окрестности точки »о будет иметь в этом случае внд ло-лист но г о к р у г а (черт. 60, а и б, где схематически изображены случаи йо — — 2 и аао —— 3). Найдем аналитическое представление у(») в окрестности точки разветвления (ссо — 1)-го порядка. С этой целью подвергнем ло-лист- аа Черт. 60. Аа ный круг преобразованию С =' у' » — »о.
Тогда полукруги О„тс„.'.. ... Озвн из которых составлена эта риманова поверхность, преоб- л, разуются в секторы лт, лз... „лсл круга радиуса )уус с центром в начале координат, причем сектор лу определяется неравенй Ла ствами (у — 1) — < а < у — ", 0 < р < )с сс (я и р — полярные коор- ло ло динаты с началом в точке с= 0), Функция уу(») преобразуется в фУнкцию фу)=УС(»о+Сла), пРичем ЯС) бУдет допУскать анализ Ла тическое продолжение через радиус я = У вЂ”, О ( р ( )/ ст в сосед- ло ' ний сектор и~+с и результатом продолжения будет У*~с(С).
Элементы Ла (йу, У" (С)) (у = 1, 2... „2л ) определят в области 0 <1г) < р' ст однозначную' аналитическую функцию у'(г), которая, следовательно, будет представляться в этой области своим лорановским разложе- .Ьаа пнем у'(с)= »,' А„СА. Для коэффициентов А „А с, ..., А „, имеется одна из трех возможностей: а) бесконечное множество среди них отлично от нуля, б) только конечное число ()~ 1) среди них отлично от нуля, в) все эти коэффициенты окажутся равными нулю. Случай а) имеет место при условии, что 11сп У (С) не существует Саао вовсе. случай б) — когда Ощ уо (с) = со, и случай в) — когда 11щ у'(с) сао с.+ о существует и Отличен от оо.
Возвращаясь к переменному », заклю- 9. изолиговлнныв Осовыи тОчки многознАчного хАРАктзРА 281 чаем, что /(л) имеет разложение +со аа Лз) = Х 4аа (я зо) "' а расположенное по целым степеням (з — яе)А; коэффициенты с от- рицательными индексами удовлетворяют здесь условиям а), б) или в) соответственно в зависимости от того, будет ли !Ип ! (з) вовсе г -ь г, не существовать, существовать и равняться бесконечности, наконец, существовать и быть конечным. В последних двух случаях (т.
е. когда существует конечный илн бесконечный предел !!щ У(я)) точка я называется алгебраичег.+ г, ской точкой разветвления. Если же предел Вщ г(я) не существует, точка разветвления ле г '+ го пОРЯдка аге — 1 называетсЯ тРансцендентной точкой Раз- ветвления конечного порядка ( аге — 1). Легко видеть, что функции )/г — зе, — „, е~ ' А', з1п у'з — хз имеют при Ф г:га з=яе алгебраическую точку разветвления порядка йе — 1, функ- а го 1'. ~ цин г °, з!и — имеют при з= аз трансцендентную точку Ф'.:.. разветвления того же порядка Йе — 1.
Возвращаясь к общему случаю, предположим, что ни один из элементов !Огч У~(з)) прн /) 1 не совпадает с (0ы У,(я)). Тогда, как это следует из предыдущего, никакие два элемента (ОР, У,(я)) 'и !Оч, гя(з)) пРН Р чь Р не могУт совпадать дРУг с дРУгом. В этом случае аналитическая функция у,(я), определяемая в Области 0()я — зе~ <гс совокупностью всех элементов !О„, г„(я)), ока- зывается бе скопе чнозначной, причем аналитическое продолжение любого элемента (0~, Яз)) при любом числе обходов вокруг точки.ге приводит к элементу, отличному от исходного.
Точка з называется в этом случае точкой разветвления бесконечного по- рядка, или логарифмической точкой разветвления. Риманова поверхность у(з) в окрестности точки я имеет в этом случае вид бесконечнолистного круга. Примерами функций с ло- гарифмическими точками ветвления в точке зе могут служить функ- ции Ьп(з — яе) и (з — ле)о (и не является действительным рацио- нальным числом). 'Функция Ьп З имеет две логарифмические г — з точки: л а и л = (а; две логарифмические точки разветвления з ='! 1 1 — г имеет функция Агс!да= — Ьп —. 2а 1+г ' 282 гл.
ах, АнАлитическОе ЛРодолжение. РимАнОВА пОВеРхнОсть Все изложенное в этом пункте может быть применено н к точке го=со, если рассматривать, например, ее окрестность )с к, [г[( л +ОС, РаЗДЕЛЕННУЮ На ДВЕ ЧаСтИ, ПРИНаДЛЕжаЩИЕ СООтВЕтСтВЕННО верхней и нижней полуплоскости. Достаточно воспользоваться 1 преобразованием вида . "= —, чтобы свести этот случай к случаю г' конечной точки ".=О. Заметим, что наименование алгебраической точки разветвления оправдывается следующей т е о р е м о й: среди аналитических функций лишь алгебраические функции Р(г), т.
е. функции, удовлем творяющие уравнению вида „~, РА(г)[Е(г)[" = О (Ра(г) — полиномва, л=е причем Ри(г) ф О, М)~ 1), обладают тем свойством, что их особыми точками в расширенной плоскости могут быть лишь полюсы и алгебраические точки разветвления е). а П р и м е р ы: а) Особыми точками алгебраической функции ) 'гз — бг+6 являются г= 2, г = 3 и с=со. Каждая из них есть алгебраическая точка разветвления второго порядка; б) функция )'1+ге имеет три алгебраические точки разветвлеиив второго порядка в точках — 1, ее, е з, а в оз— простой полюс (точнее говоря, каждая нз трех однозначных в окрестности [ г[ ) 1 точки г = со ветвей функции; )Г! + га = г р'1 1-)- г-а = ге а [ 1 + — г-з + , г-а + ...
, где й = О, 1, 2, имеет про- 3 1 2 стой полюс в точке а=со); в) функция е а имеет алгебраическую точку Р'а ветвления первого порядка в точке г = О и трансцендентную точку ветвления того же порядка при г = со; г) функция )а соз г имеет алгебраические точки ветвления первого порядка прн г = — + Ля (Л = О, ~ 1, -~- 2, ...) и. 2 трансцендентную точку ветвления того же порядка при г = со; д) функции а— а —, а— гла в1п )а г — )Га а)/а а*)l л р'г , сЛ )Уг, е +е +е 1а=е з — корень кубичный из 1) являются целымн функциями (с единственной существенно особой точкой ,в бесконечности), так как при одном обходе вокруг возможной точки разветвления (в начале координат или в бесконечно удаленной точке) они возвращаются к исходным значениям. *) См., например, А.
И. Маркушевич, Теория аналитических функций, гл, У!П, 5 6, ГЛАВА Х ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ. ФОРМУЛА ХРИСТОФФЕЛЯ вЂ ШВАР !. Отображение области посредством аналитической функции. Пусть тв = Г (г) ф сопл! — функция, однозначная и аналитическая в области О. Покажем, что множество О всех принимаемых ею в 0 значений также есть область. Для этого нужно показать, что, каждая точка таз= Г(гз)~О принадлежит 0 вместе с некоторой своей окрестностью и что две любые точки из Е! можно соединить непрерывной кривой, лежащей в Р.
Построим замкнутый круг Сз: [г — ге[(р так, чтобы он содержался в области 0 и чтобы значение таз не принималесь функцией в точках круга, отличных от ге Последнего можно добиться, беря р достаточно малым; допуская противное, мы в любой окрестности гз имели бы точки, в которых у(г) принимает одно и то же значение таз, что невозможно по теореме единственности (У(г)ф шз). Обозначим ш!п [У(г) — таз[ через р; очевидно, что р ) О в силу того, что ((г) непрерывна и не обращается в таз на окружности [г — ге[= р. Мы утверждаем, что круг Кз:[ти — таз[(р принадлежит множеству О. Действительно, уравнение г («) — п~з О имеет, по крайней мере, один корень внутри Сы а именно г = гз (эту точку нужно считать столько раз, какова ее кратность).
Пусть тв' ~ К (тг' чь ше); так как (твз — тз'[(р, а [,г(г) — и~а[)~р на окружности [г — «з[=р, то по теореме Руше уравнение [У(г) — таз[+(твз — тв ) =У(г) — та'= О имеет внутри этой окружности столько же корней, сколько и уравнение У(г) — таз=О, т. е., по крайней мере, один. Обозначим один из корней через г', получаем: Г(г') = ш', т. е. каждая точка тв' круга Кз является значением функции г(г), принимаемым внутри круга Сэ.
Следовательно, Кз содержится в О, ПУсть тв, =У(«,) и тгз =У(«з) — две любые точки множества О. Так как г, и г, принадлежат О, то существует непрерывная кривая Т: г Л(г), а.(Г(р, соединяющая г, с гз внутри 0 (А(а) «„Х(р) «,). Очевидно, что тв,г(«) г[Л(!)[ (а~„т~р) также 284 гл. х. отоввьжвния посгядством ьньлитичяских фгикций является непрерывной кривой, содержащейся в множестве 0 и соединяющей чо, с шг (чоь=у'(е,)=/[) (а)[, чае=У(гг) =г" [) (Р)[).
Итак, мы доказали, что множество О значений, принимаемых в некоторой области О однозначной аналитической функцией и = 1(г) ф сопя!, есть область. Иными словами, аналитическая функция (ф сопз1) всегда преобразует область в область. Доказанная теорема остается верной и в том случае, когда область О расширенной плоскости содержит точку со и у(г) имеет полюсы в области О. Чтобы убедиться в этом, достаточно выполнить вспомогательные дробно-линейные отображения.
Именно, если с 1 г =со, выполняем отображение г =- —, переводящее окрестность бесконечно удаленной точки в окрестность начала координат; если чоь = г'(яь) = оо (гь — конечная или бесконвчно удаленная точка— полюс функции У(г)). выполняем вспомогательное отображение 1 ! чо'= —, переводящее функцию у(г) с полюсом в гь в функцию— У(е) ' у!г) с нулем в той же точке. Очевидно, что эти преобразования свалят вопрос к уже рассмотренному в этом пункте случаю, когда и значение независимого переменного и значение функции конечны. Аналогичные замечания могут быть сделаны и по отношению к дальнейшйм пунктам этой главы: 2.
Принцип максимума модуля и лемма Шварца. Из теоремы п. 1 вытекает п р и н ц и п м а к с и м у м а м о д у л я. Пусть га = г (г) ф. сопя! — функция, однозначная и аналитическая во всех точках области О расширенной плоскости; гпогда ни в одной точке яь~О модуль [У(г)[ не может иметь максимума. Иными словами: если известно, что модуль функции у(г), однозначной и аналитической в области О, имеет максимум в некоторой точке этой области, то У(в)ии сопя!.
Доказательство (в первой формулировке) вытекает из того, что точка то, = г"(г ) принадлежит множеству вначений функции у'(г) вместе с некоторой своей окрестностью Кь: [то в чоь[ ( р (мы сохраняем обозначения п. 1). Выберем из этой окрестности точку то' так, чтобы [чо'[,.ь [тоь[; по доказанному в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
