А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Простейший пример, подтверждающий сказанное, дает функция г,=г',, рассматриваемая в верхней полуплоскости. Очевидно, что она отображает границу полуплоскости— действительную ось в взаимно однозначно и взаимно непрерывно (в обобщенном смысле слова) также на действительную ось. Однако *) См., например, А. И. М а р к у ш е а и ч, Теория аналитических функций, гл. \т, $3.
7. понятии о соотввтствии гглниц. оввлтнля твогвмл 297 она не является однолистной в верхней полуплоскости и отображает последнюю не на верхнюю полуплоскость, а на риманову поверхность, которую можно получить из двух экземпляров 0' и 0"' 2 3 верхней полуплоскости и одного экземпляра 0 нижней полуплоскости, склеивая 0' и 0" вдоль отрицательной части действительной оси и О' с О ' †вдо по- з г ложительной части действи- г тельной оси (черт. 62). l у' Обратимся к доказательству теоремы. Мы проведем его, опираясь на принцип аргумента (п.
2, главы ЧП!). лл Так как этот принцип был доказан нами при известных: Черт. 62. ограничениях, то мы введем некоторые упрощающие предположения. Именно предположим, что Г, — спрямляемая кривая и что она (вместе с областью 0,) принадлежит некоторой области О',, в которой У(»,) однозначна и аналитична. Иными словами, мы предполагаем теперь, что Д»,) аналитична не только во внутренности Г„ но и на самой кривой Г,. Пусть ф> — какая либо точка области Оз.
Покажем, что эта точка принадлежит к множеству значений Д»,) в области 0„ причем уравнение'7'(»,) †»~~ = 0 имеет один и только один корень в О,. По принципу аргумента число М корней этого уравнения равно 2в нйг, — Чаг Агам[7(» ) — »зв] в предположении, что», однократно пробегает Г, в положительном направлении. Но, по условию теоремы, »» .7(»,) должна при этом однократно пробегать в некотором направлении всю кривую Г,. Следовательно, вектор /(»,) — »Зч=»,— ф> с началом в точке»<'>, лежащей во внутренности Гм и с концом на Гз должен повернуться на угол -+ 2я, откуда и= 2 чаг Агам[7(»,) — »~м]= 2 чагАгк(»а — »гам)=ч1. 1 0 1 н йг, Я Знак минус, очевидно, исключается (!Ч)~ 0), Поэтому заключаем, что точка», = 7(»,) необходимо должна двигаться по Г, в положительном направлении (относительно внутренности Г,) и уравнение г'(»,) †.»'," = О имеет один корень в. области О,.
Совершенно также убедимся, что для точки»',, лежащей во внешности Г,, уравнение г (»,) — »', = О не имеет ни одного корня в области О, ~ — Чаг Ага Щ»,) — »,'] = 0) нйг, Мы доказали, что множество значений 7(»,) в области О, содержит все точки, лежащие во внутренности Гз, и не содержит ни 298 гл. х. отовглжвния посввдством лналитнчвских эвикций одной точки из внешности Гз. Так как это множество есть область (каждая точка его является внутренней по отношению к нему), то оно совпадает с областью О„ ограниченной кривой Гз. Наконец, каждая точка за~ Оз является значением <(г,), принимаемым лишь в одной точке области О,.
Поэтому яз= <(л<) однолистна в О, и отображает эту область конформно на О,. Мы доказали теорему, менее общую, чем та, которая была сформулирована на стр. 296. Для приложений важен случай, когда О, есть верхняя полуплоскость и функция <(г,) имеет конечное число особых точек на действительной оси, оставаясь непрерывной в О,. Так как этот случай не покрывается только что доказанным, покажем, как убедиться для него в справедливости теоремы. Положим «,<М = оо и пусть ~„ ..., ф' — конечные особые точки функции Дг<) (лежащие на действительной оси), а чз, (ы ..., 1а †обра этих <о< г цлточек (лежащие на Гз).
Для каждого натурального и опишем из точек ч«<< (1 ~(у ~(р), как из центров, полуокружности ТЫ'(и) радиу- 1 сом — и, кроме того, из начала координат, как из центра, полу- окружность Т<м(л) радиусом п. При и достаточно большом (и) <ч') полукруг, ограниченный Т<м(и) и соответствующим интервалом действительной оси, будет содержать все полукруги, ограниченные Т<~'(и) (1 (у'(р) и соответствующими интервалами 3<я(и) действительной оси, причем последние полукруги будут попарно лежать один во внешности другого, Обозначим через О,(п) область, ограниченную всеми этими полуокружностями и соединяющими их интервалами Х<< '(и)'(в=1, 2, ..., р+1) действительной оси (черт.
63), ЮЙ с7 Черт. 63. а через Г,(и) — ее границу<:пусть, наконец, 8, (л) — бесконечный <о> интервал действительной оси, соединяющий точку и с — л через точку оо. Очевидно, что зз = <'(з<) является аналитической в области 0,(п) и на ее границе Г,(п) и отображает Г,(а) на некоторую непрерывную кривую Г,(п) (относительно которой а р<1о<1 ие известно, будет ли она жордановой). Г,(л) получается из Г, посредством некоторых деформаций этой кривой в окрестности точек<з (1 = О, 1, ..., р), и< в именно каждая дуга Ьвп<(л).
являющаяся образом интервала Ь, (п). % 7. ИонвтиВ О соотВвтстВии РРАний. ОБРАтнАЯ твОРвмА 299 заменяется образом 7(г> (и) соответствующей полуокружности (черт. 64). В силу непрерывности функции у(г>) в замкнутой области О, дуги 6(2(>(п) и 7('>(и) должны стягиваться к точке ((2В ((=О 1 ° ° ° Р) йри и-+Со; следовательно, для системы сколь угодно малых окре- яп (В стностей и точек 1~~) можно указать з~>/, > такое № что при и ) )Ч указанные Рл дуги будут лежать попарно в наз- ло наченных окрестностях. Пусть Вз — произвольная точка (о> Г 2 области 62; выберем окрестности и ()) / ( (о> ко точек 62 столь малыми, чтобы го ле- гг жала во внешности каждой из них, 22 и (Ч> )Чо столь большим, чтобы дуги 62 (п) и 72 (и) заключались внутри и, гм (и (() ((=О, ..., р) при п)№ Мы утверждаем, что тогда уравнение /(я,)— (о> (!> (л) — Вз — — О будет иметь один и лг только один корень внутри О>(п).
Черт. 64. Для этого достаточно доказать, что Ча(А(6(~(з>) — яо), когда я( пробегает Г,(и) в положительном на«,сг,(о) правлении, совпадающая, очевидно, с Чаг Агд (л — г(о>), равна 2п, Яяагя (о) Мы и покажем это, установив, что Ча(Ага' ( — г(о>) =На(А(я (з,— г(о>) (и ~ А)). Частя (о) яяатя Действительно, дуги 7(2'>(и) и Ь(,'>(и), которыми отличаются одна от другой кривые Г,(и) и Гз, попарно имеют общие начала и концы. Поэтому ЧагА(д ( — В(о)) может отличаться от ЧагА(д (г — г(о>) 2 2 2 2 224 >2 (яв 22 622 ("> только на целое кратное 2п. Но каждое из этих чисел в отдельности меньше и по абсолютной величине, так как конечная точка вектора ло — Во(> находится внутри круга и((' и его начальная точка— во внешности и('> (черт.
64). Следовательно, ЧагА(я (го — г(2'>) =ЧагА(н (го — я(о)) ((=О, ..., р) 22422 (о) 22422 (о) и) и) На(А(н(В,— «(о>)=ЧагАгд(г — г(о>) 2п, Частя(о> т,Ег, что мы и утверждали. итак, каждое значение Вз ~ 02 принимается функцией 7'(я() (о) В области В> (и) (= б( при всех достаточно больших а и притом ЗОО гл. х. отовгьжвния посгвдством аналитических ьгнкций олнократно.
Беря точку г', во внешности кривой Г„ посредством такого же рассуждения установим, что при и ) № '«а< Ага (г, — г') = «аг А гд (г, — г',) = О, ««~г«<ч> ««Вг« т. е. значение г', не принимается <'(г<) ни в одной точке области 0< (и), а следовательно, не принимается и в области О,. Отсюда и следует, что множество значений функции Дг<) в области О, совпадает с областью О,, причем гг = <"(г<) является однолистной в О,. Мы обнаружили при доказательстве обратной теоремы, что соответствие между кривыми Г,.
и Г, сохраняет порядок обхода кривых — положительное направление переходит в положительное. Подобного рода дополнение можно сделать и к основной (прямой) теореме о соответствии границ, а именно: соответствие границ, устанавливаемое при конформном отображении области О, на область Ог, всегда таково, что точка вг=р(г<) описывает границу области О, в положительном направлении, если г, описывает границу области О, в положительном направлении (т.
е. в направлении, при котором область остается слева от наблюдателя, движущегося вместе с точкой г, вдоль границы, или, выражаясь точнее, в направлении, в котором для произвольной точки г< ~ О, <о> '«<аг Ага (в, — г<ь>) = 2в). «Ег~ Опираясь на факт соответствия границ, можно подчинить функцию гг= <(г<), конформно отображающую О, на О„дополнительным условиям иного типа, чем те, которые были отмечены в и. 6. Так, можно требовать, чтобы при отображении точка г, ~О< пере<«> шл а в точку гг ~ Ог и, кроме того, чтобы граничная точка ч< пере<о> <о> <о> шла в граничную точку 1~ , но при этом ничего нельзя утверждать об АгдУ'(г<ь>). Аналогично можно требовать, чтобы три любые / «' ье «««ч точки 1<, ь<, 1< кривой Г, перешли в три любые точки 1„1г, 1г кривой Гг при единственном ограничении сохранения направления обхода.
Чтобы убедиться в справедливости двух последних утверждений, достаточно рассмотреть случай, когда, например, область О, есть внутренность единичного круга. Если некоторое конформное отображение"О, на О, не будет удовлетворять поставленным усло/ ««ч виям, например образы точек ч<, <,<, ч< на единичной окружности не будут совпадать с назначенными, то останется только произвести надлежащее конформное отображение единичного круга самого на себя, чтобы прийти к нужному результату. 8.
Отображение верхней полуплоскости посредством эллиптического интеграла. В виде примера применения обратной теоремы о соответствии границ исследуем отображение верхней полу- 302 гл. х. отовглжвния посгвдством аналитических етнкций сохраняя действительные значения, возрастает от нуля до 1 Ж )«! — Р) (! — «оР)' На отрезке 1 < х < — подынтегральное выражение приобретает вид 1 а ! тг~Г(Го — !) (! — а Р)' Знак в последнем выражении не может быть выбран произвольно; его следует согласовать с произведенным выше выбором ветви квадратного корня так, чтобы обеспечить непрерывность этой ветви в верхней полуплоскостн. Записывая (1 — Р)(1 — йоР) в виде й (1 — !)(1 — ( — 1)) (г — — ') [1 — ( — — ')~ = р(1), вамечаем, что при переходе от точек отрезка (О, 1) к точкам !1 отрезка (1, — ) вдоль полуокружности с центром в 1, принадлежа' л.) щей верхней полуплоскости, изменение Агре(г)„складывающееся из изменений аргументов отдельных множителей, равно — и (а именно: Агд(1 — 1) уменьшается на и, тогда как аргументы остальных мно-' 1 жителей не изменяются).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
