А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 60
Текст из файла (страница 60)
+ а„)[ я. Поэтому должны иметь: 0 ., [(и — 1) — (а, +... + а„)[ тт < 2я, откуда а, + аа+... +'а„) л — 3. Итак, окончательно числа ал (/г= 1, 2, ..., и) должны удовлетворять следующим неравенствам: 0<аз<2(й=1, ..., п), и — 3<а,+...+а„<и — 1. (9) 314 Гл. х. ОтОБРАжениЯ посРедством АнАлитических ФУнкций Эти условия необходимы для того, чтобы интеграл (8) давал кон- формное отображение верхней полуплоскости на некоторый огра- ниченный многоугольник с вершинами ти» (Й = О, 1, ..., Н) и вну- тренними углами елп(я= 1, 2,..., п) и [(и — 1) — (а,+... +Ин)) и, однако они не являются достаточными.
В частном случае, когда О,+ ... + и„ = п — 2, для величины угла с вершиной тпо получаем к; это означает геометрически, что тпо не есть вершина, а просто одна из внутренних точек стороны с вер- шинами ш„ и ти,; иными словами, в этом случае интеграл (8) ото- бражает полуплоскость не на (и + 1)-угольник, а на и-угольник. Именно так обстоит дело в случае эллиптического интеграла, где 1 и =4 и а, +а,+аз+а =4 ° — = 4 — 2.
Воспользуемся интегралом Христоффеля — Шварца для отображе- ния полуплоскости на треугольник с углами агя, ееп, Кап (аь) О, О,+ао+ао = 1) и стоРоной длины 1, пРотиволежащей УглУ а,п. Здесь можно поступать двояко. Во-первых, можно применять фор- мулу (8) при и = 3, назначив по произволу действительные числа ап а, и ао — точки действительной оси, которые должны перейти в три вершины треугольника (см. замечание в конце п. 7). Положим, например, а, = — 1, О,=О и аз=!. Тогда будем иметь: ТО=С~ (Т+!)и 1"' (1 — 1)"" Ж, о и остается найти положительный множитель С.
Для этого заметим, что длина ! должна равняться по-предыдущему: г г С~((1+1)и-'~ -'и — 1)м-'~!(1=С~(1+1)"-'Т"-'(1 — 1) -"ОТ, о о откуда С=(: ~(1+1)"-'Т"-'(1 — 1)" ' (1. о Итак, ~ (г+ 1)"-' г"*-'(г — П" -' т сев (11) (1+1)" -'г"-'(1 — г)"-' т о Эта функция действительно решает поставленную задачу, так как отображает действительную ось на треугольник с заданными углами и заданной длиной стороны (треугольник не имеет самопересечений).
1 В частности, когда а, = аа = Оз = †., полУчаем РавностоРонний тРе- 10. ИнтвгРАл хРистоФФеля †ШВАР угольник, и функция приобретает следующий вид: 31б пг о ) Г (Г 1)з тв =1 1(Г о Р' Ез (1 Гз)з лг )г71'(г — 1) тв =1 кг о Г' Г р' (1 Гз)о и т. д. Во-вторых, ту же задачу об отображении полуплоскости на треугольник можно решать, полагая в формуле (8) и = 2 и назначая по произволу две точки действительной оси а, и аз, которые должны перейти в две вершины треугольника с углами а1л и азя. Так как а1+а здесь не равно а — 2(=0), то бесконечно удаленная'точка должна перейти в третью вершину, где образуется угол, равный [(2 — 1) — (к1+кз))я=я — агн — аоя азк.
Выбирая, например, а, = О, а, = 1, получим отображающую функцию в виде С получим уравненйе откуда 1 1 при а = —, к1 = аз= — получаем отображение на прямоугольный 2' 4 равнобедренный треугольник с длиной катета Л 31б гл. х. отоввлжвния посгедством лиллитичвских еюжций Следовательно, нашу задачу будет решать также функция Г" ' -'"-" та=1 о Х" ''-') '"' т (12) очевидно, отличная от (11). Например, для отображения полуплоскости на равносторонний треугольник с длиной стороны 1 получаем функцию Ф о Р Го(1 — 1)о лг 'г~ го (! — г)а В общем случае, когда задача заключается в отображении на п-угольник (л)~4) с углами а,л, ..., а,р и длинами сторон 1„1,,..., 1„(к стороне 1в (л= 2, ..., п) прилежат Черт. 71. углы пл тп и аап, к стороне углы аьп и п,п), в формуле (8) можно произвольно выбрать точки а,, а, и ао, которые должны перейти в вершины та„тва и шо с углами птп, пол и азп (замечание в конце п.
7). Остается определить еще п — 3 точки действительной оси: ао, ..., а„и положительный множитель С, всего'и — 2 неизвестных. Йа первый взгляд для их определения будем иметь избыточное число уравнений, а именно и уравнений, выражающих, что длины сторон многоугольника равны соответствующим интегралам. Легко видеть, однако, что если углы многоугольника известны, то задание только п — 2 длин сторон 1„ 1а, .... 1„ , определяет уже единственным образом длины двух остальных сторон: 1„,, и Е„ (черт. 71). Поэтому остается лишь п — 2 независимых уравнения ил С / )1(1 — а )"' '...(1 — а„)"в ')Ж=1в (в= 1, 2...
„п — 2) (13) ол-т для определения и — 2 неизвестных: а, ..., а„, С. Опираясь на теорему Римана и теорему о соответствии грани можно доказать, что константы в интеграле (8) всегда можно по добрать так, что он будет давать отображение полуплоскости н любой наперед заданный многоугольник. Поэтому уравнения (1 всегда будут иметь решения. Мы отсылаем читателя за подробно 11.
овтвклнив кввгового цилиндва (ввз цигкгляции) 817 ! стями об отображении полуплоскости на произвольные многоугольники к большим курсам теории функций (см., например, нашу «Теорию аналитических функций», стр. 676 †6). 11. Обтекание кругового цилиндра (бев циркуляции). В занлюченпе укажем некоторые применения теории аналитических функций к гидромеханике ").
Найдем движение жидкости, обтекающей круговой цилиндр и имеющей в бесконечности скорость (У + Лх = Ае'". С этой целью воспользуемся приемом конформного отображения. Пусть )е~ = )с — сечение цилиндра плоскостью ху (или проекция цилиндра на эту ее " плоскость). Тогда функция е, = — конформно отображает внешность Р круга ~е~))с на внешность единичного круга в плоскости ен причем вектор Ае преобразуется в вектор —, направленный по действительной оси ы А У! ' 1/ 11 (в положительном направлении).
Далее, функция еэ — — — ~ег + — ) конформно Я «,) отображает внешность единичного круга на внешность отрезка действнтель ной осн — 1 <хэ(1, уз=0. 1/ее '" Я Поэтому функция еэ = — 11 — + . является аналитической во ее г") внешности б проекции заданного цилиндра, причем ее мнимая часть уэ сохраняет постоянное значение, а именно нуль на границе (е) )т. Отсюда следует, что если эту функцию рассматривать как комплексный потенциал течения жидкости в области О, то граница области будет одной из линий тока, т. е. жидкость будет обтекать цилиндр (е~ )т.
Для снорости течения будем иметь: 1 ег откуда скорость в бесконечно удаленной точке равна — — . Эта величина 2 ес ' отличается от заданной Аеы лишь действительным положительным множн- 1 телем —. Умножая построенную выше функцию на 2Атс, получим окон- 2А)с ' чательно функцию у.(е) = Ае-ые+ — =((г — гр) г+ Аег«)сэ ((у+ гр) Ю е мнимая часть которой по-прежнему имеет постоянное значение (равное нулю) на окружности (е(=)т и производная которой имеет в бесконечно удаленной точке величину (г — Л~, сопряженную с заданной величиной скорости.
Итак, функция у()=(и — и) + ((+ )"а дает комплексный потенциал движения жидкости, обтекающей цилиндр (е! = )с с заданной на бесконечности сноростью (У + Л'. *) См. пп. 13 —,14 главы П. 318 гл. х, отовгажвния посгкдством лнллитичвских егикций Для потенциала скоростей находим выражение у (л, у) = йеу (я) = (Ух + 1'у) (1 + — — й), Лз '+у а для функции тока — выражение ф(х, у) = 1ш [У(л)[ =( — )/х+Уу)(1 — ).
ха+ уз Поэтому линии равного потенциала имеют уравнения (ил+) у)(ля+уз+)2з) =С,(. +у), а линии тока — уравнения ( — )гх + (уу) (ха+ уз — )сз) = Сз (ля + уз). И та и другие являются алгебраическими кривыми третьего порядка. Они изображены на черт. 72 (он соответствует случаю, когда скорость на беско- Черт. 72. вечности параллельна действительной оси).
Заметим, что при Сз 0 в качестве линий тока получаются прямая — )гх + Уу =' О, проходящая через начало координат параллельно вектору скорости на бесконечности, и окружность хз + уз = И, В точках -~- )сег» пересечения этих линий скорость Ае-г»Р~ ~'(з) = Аем —— "2 обращается в нуль, ва всех же других точках плоскости она отлична от нуля. Мы увидим в п. 14, что возможны течения,обтекаю:цие тот же цилиндр с другим комплексным потенциалои. 12. Гидромехаиическое истолкование простейшик особых точек. Остановимся на истолковании простейших особых точек аналитической 12.
гидгомзхлничвсков истолковании пгоствйших осовых точпк 319 функции как источников, стоков или вихрей. Рассмотрим сначала л т им сначала логарифмическую особенность (тачку разветвления бесконечного порядка). Пусть у(з) = Еп з; зта многозначная функция, определенная в области О ( !з! ( со, имеет однозначную производную 3"(х) = — и, следовательно, 1 может рассматриваться как комплексный потенциал некоторого установившегося течения жидкости.
В данном случае потенциал скоростей однозначен: Т(х, у) = 1п!з1, а функция тока многозначна: ф(х, у) =Асях. Линии равного потенциала 1п!л! = сопя! илн !з!= сопы представляют окружности с центром в начале координат, а линии тока — прямолинейные лучи Агяз = сопз!. — 1 з Так как скорость в точке з есть Ут(з) = = = — и, следовательно, на!г!з правлена по лучу Агп»= сопя! от начала координат к бесконечно удаленной точке, то все частицы движутся по направлению от начала координат к бесконечно удаленной точке со скоростями, весьма большими вблизи / — 1 начала и весьма малыми вдалеке от него !((ут(з) ! = — !.
указанная кар!л!)' тина заставляет нас рассматривать одну из точек разветвлейия функции Епл, а именно точку г= О, как источник жидкости, а другую я=со как сток ткидкости. Чтобы определить мощность источника или стока, подсчитаем поток жидкости, протекающий через произвольную окружность Т с центром в начале координат. По установленному в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
