А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 62
Текст из файла (страница 62)
тз уз тз за г г 2гз 2гз где через йу обозначены действительные и через уу мнимые части коэффициентов су. По смыслу задачи окружность г = )с должна быть лянией тока найденного в п. 11. Покажем, что формула (16) дает наиболее общее решение задачи об обтекании цилиндра с заданной скоростью У + г)г в бесконечно удаленной точке и с заданной циркуляцией Г. В самом деле, пусть ут(л) — комплексный потенциал, удовлетворяющий тем же условиям.
Тогда разность ут(а) — У'(г), сопряженная с разностью скоростей частиц жидкости, участвующих в первом н во втором движениях, является однозначной ' аналитической функцией в области )л! ) )с, обращающейся в бесконечно удаленной точке. Следовательно, !3. овщив тншвнив задачи ов овтвклнии квкгового цилиидтл 325 для каждого из рассматриваемых течений, поэтому Ь (Р, В) = сопя! = с. Но из разложения, найденного для Ь (г, В), следует, что Ь (г, В) — «,В есть однозначная функция от «= г«гз.
Е частности, однозначной функцией В должна быть и функция Ь (Р, 0) — с«В = с — стб, откуда следует, что.с! = О. Итак, Ь (г, В) = тз — — соз В+ — з!и 0 — — соз 20 + — ' з!и 2 — ., Тз бз Тв бз г г 2«з 2«з Мы видим, что Ь(г, В) — однозначная гармоническая функция в области г ) К сохраняющая постоянное значение с на окружности г = Р.
Отсюда следует, что Ь (г, 0) = сопз! (см. п. 2), а следовательно, и аналитическая функция Ут(«) — У(л), мнимой частью которой является Ь (г, В), есть постоян- ное. Итак, «д («) у(«) + С' = — ! и «+ (у — г!г) «! Г (У+! )И 2п! « + С", чем и заканчивается 'доказательство единственности найденного нами решения. Для потенциала скоростей и функции тока течения, определяемого функцией (16), имеем следующие выражения: Ч (х, у) = —, Ати «+ (Ух+ Ьу) ~1 + ) + б, !' ф(», у) = — — ! !+( — И +Уу)(1 — )+ Г )Ьз 2п +у Следовательно, уравнения линий равного потенциала и линий тока соответственно суть: Г 2я — А а +(У +)у) ~!+,+,1=Си ! Ам х'+ уз) Г ! )Ьз — — ! п ! «! + ( — Ъ"х + Уу) ! ! — = Сз. 2в 1, „в+уз) При Г = О мы рассматривали их в п.
11, при Г+Π— зто трансцендентные кривые, вид которых зависит от соотношения между Г н У+!К !!опустим для простоты, что )«=О (к атому случаю можно всегда придтп посредством поворота осей координат), и найдем критические точки течения, т. е. те точки, в которых скорость обращается в нуль. Из выражения скорости Г ! УЛз у() = — — — +У вЂ” = 2в! « «3 следует, что зги точки удовлетворяют квадратному уравнению Г за — — « — )Ьз = О 2в!У или Г «з+ — « — )сз = О 2к! У откуда -и," ч-!!"~:(.«7 Если ! Г !) 4н)Ь (У!, то обе критические точки «! и «з являются чисто мнимыми, пРичем из соотношениЯ «!«з — )Ьз видно, что только одна из них 326 гл.
х. отовглжиния посгвдством лналитнчвских егнкцнй. лежит вне окружности )л! = Й, т. е. в области, занятой жидкостью. Линии тока для этого случая изображены на черт. 76. Если ( Г ! = 4и)7!(У!, то мы получаем лишь одну куитическую точку, лежащую на пересечении окружности )л! = Р с мнимои осью (черт.
77). Наконец, при (Г )ч.4нЖ(У( существуют, как и в случае потока без циркуляции, две критические точки, Черт. 76. Черт. 78. Черт. 77. лежащие на окружности )л)=Р симметрично относительно мнимой оси — р )' ( и)+! (черт. 78). 14. Определение подъемной силы крыла ав()оплана. В предыдущем пункте мы решили задачу обтекания круга (круглого цилиндра). Отправляясь отсюда, можно при помощи конформного отображения решить задачу обтекания тела произвольного вида. Пусть А — замкнутая жорданова кривая плоскости л; требуется построить комплексный потенциал потока жидкости, обтекающего С и имеющего заданную скорость У+1(Г в бесконечности.
Отобразим конформно внешность А на внешность единичного круга !1!) 1 так, чтобы точка л = оо перешла в точку 1 со, Пусть Г * Р(л) — функция, 14. опРеделение подъемной силы ЕРылл АвроплАИА В2у осуществляющая отображение. В окрестности точки г *со она буд и разложение вида Р(л) = с я+ с + — + ~+ ..., где с, ФО. Мы положим еще для определенности, что коэффициент ст есть действительное положительное число, т.
е. Р'(со) ) О. Указанными условиями Р(г) определится единственным образом (чтобы свести этот случай к отображе. нию внутренности жордановой кривой на внутренность круга, достаточно 1 прибегнуть к вспомогательным отображениям л'= —, где яз — точка, л — га 11 лежащая внутри ь', и Р' — ~. При этом отображении искомый комплексный потенциал У(з) перейдет в комплексный потенциал потока, обтекающего единичный круг, и, следовательно, будет иметь вид У (л) = У [Р-т (г)) ч (г) = — Вп г+ (п — го) г+ — + с Г и+!о 2я1 (см. формулу (1б)).
Так как р'(оо) =и — го = — = —, то найден- -~(» и — гу Р (оо) Рт(оо) ' ную формулу можно переписать в следующем виде: у(л) = — 1.п Р (л) + Р (л) + —, + с. 1' и — 1)г и+ Лг 2пг Р" (со) Рг(со) Р (г) (17) В этой формуле, помимо произвольного постоянного с, не играющего никакой роли, фигурирует еще действительный коэффициент Г. Покажем, что его следует выбрать равпым циркуляции скорости потока вдоль любой замннутой кривой, заключающей внутри кривую т'., например вдоль образа 1 окружности )11 =г) 1 прн отображении л Р-т(1). В самом деле, Г уг(з) гГЛ = Чагу(г) = — ЧагАгп Р(л).
2п т тг Но когда л обходит уг однократно в положительном направлении, 1= Р(л) обходит окружность ) (( = г однократно в том же направлении, поэтому Чаг Агп Р (л) = 2п и тг / Уг(л) г(з=Г, т„ откуда и следует наше утверждение. Итак, поток жидиости, обтекающей контур у., определяется формулой (17), где à — циркуляция потока, и + пг †скорос в бесконечно удаленной точке и Р(л) — функция, конформно отображающая внешность контура т'.
на внешность единичного круга так, что Р(со) = со и Р'(оо) ) 0 Применим эту формулу к нахождению комплексного потенциала потока обтекающего профиль Жуковского — Чаплыгина (профиль крыла аэроплана с округленным передним краем). цтобы построить подобный профиль, рассмотрим две окружности т и т' плоскости ь, одна из которых, Ъ проходит через точки ~ 1 и насвете~ 1/ 11 окружности 1' изнутри, в точке 1. При отображении л — ~1+ — окруж. 328 гл.
х. отовважвния пооввдством лналитнчвских вкнкций ность ! перейдет, как мы знаем, в дугу ь окружности с концами ~ 1 и внешность т конформно отобразится на внешность э (п. 10 главы 1П). Следовательно, окружность т' отобразится взаимно однозначно на некоторую замкнутую кривую Ь/, принадлежащую внешности 5 (за исключением одной точки л = 1, общей с З). Так как г = 1 является образом точки ч = 1 и /(г 1 У 1Ъ йз — 1 — = — !11 — — г! — имеет простой нуль в втой точке, то углы с вер/Гь" 2 1 ьв ) 2ьз шиной в точке й = 1 должны увеличиваться вдвое при рассматриваемом отображении.
Но угол между т и т', по условию, равен нулю. Поэтому З и э/ должны также образовывать в точке з = 1 угол, равный нулю. Вид кривой э/ представлен на черт. 79. Это и есть профиль Жуковского — Чаплы- Черт. 79, гика. Его вид и размеры можно изменять, во-первых, изменяя окружности 1 и т', а во-вторых, применяя преобразование подобия. Чтобы применить формулу (17) к отысканию потока, обтекающего построенный профиль, остается найти функцию, конформно отображающую внешность кривой б/ на внешность единичного круга.
Но функция 17 11 л — ~(+ — ! конформно отображает внешность окружности !' на внеш- 2 1 г.г' ность кривой 5'. При этом она преобразует точку (=со в точку г оэ н производная ее в точке ь со имеет значение —. Если центр окружности ! 1 / 2' 1 находится в точке э, а радиус равен р, то функция г = — (1 — а) отображает Р внешность 1' на внешность единичного круга.
Поэтому функция л = 1 2 НР/+ ") + (РГ+ в) г) отображает внешность единичного круга на внешность Ь/ так, что !=со переходит в точку л оа и производная в бесконечно удаленной точке имеет положительное значение: —. СледоваР 2' тельно, 1= У/(г) является обратной по отношению к построенной функции, 1 /' т. е, /ч(л) = — !1 — а+я+ г"лз — 171, причем мы должны взять ту ветвь Р последней функции, которая обращается в бесконечность в бесконечно уда- 2 ленной точке.
Для нее имеем: Р"(оз) = — . !4. оптндклвнив подъвмной силы кгылл автоплана 329 Итак, искомый комплексный потенциал имеет внд у (г) = — 1.п ~ — ( — а + г + рггз — 1) + Г Г! 2а1 1р + — ( — а + г + )1 гз — 1) + У вЂ” 1 р'(У+ 1)г) + С. (18) 2 2 ( — а+г+ )Ггз — 1) Отсюда Г 1 ут(г) = + 2и1 — а + г+ т'гз — 1 у — 1)т рз (У+ 1Р) 2 2( — а+в+ р"гз — 1)з ]) р'г~ — 1) Чтобы производная ут(г), а следовательно, и скорость были ограниченными вблизи задней кромки крыла, т.
е, вблизи точки г = 1, необходимо ввести следующее условие, связывающее величину циркуляции Г со скоростью У+ В' и параметрами а и р, определяющими вид крыла; Г ! + и — 1)' рз(У+1 ) 2к1 1 — а 2 2 (1 — а)з откуда Г= а!~ Гра(У [ 1)т) — (У вЂ” 1)г) (1 — а)~ .
1 — а Из черт. 79 видно, что 1 — а = ре-зв! полагая еще У+1[г= Аегт, по. лучнм: Г = — 2иАР з)п (0+ е). (19) Следовательно, формула (18) окончательно приобретает следующий вид: у(г) - — [— Ар ю 2 з!и (б+ е) 2 [ 1 1.п [(ре-1з — 1) + г+ Рггз — 1] + + — [(ре- 'з — 1) + г + р гз — 1] + ре 'т +С'. (20) Р -(ре — 1)+г+ Ф вЂ” 1) Х вЂ” 1Г = — ] [У' (г)]з аг, и Г 2,] и (21) где тг — плотность жидкости (газа), а С вЂ” какая-либо замкнутая спрямляемая кривая, содержащая внутри обтекаемый контур. Для вычисления интеграла (21) достаточно взять вычет функции [у'(г)]т относительно бесконечно удаленной точки. Но в окрестности бесконечно Вычислим в заключение результирующую сил давления потока на крыло (подъемную силу крыла а з ропп а на), отнесенную к тому слою жидкости с высотой, равной единице, для которого проводится все рассуждение.
Обозначим ее проекции на оси координат через Х н 'г' (так как движение плоское, то зта сила параллельна плоскости ху). Лля нее имеем следующую общую формулу С. А. Чаплыгина: 330 гл. х. отовглжвння посгкдством анллнтичкских еэнкцнй удаленной точки имеем: Азрз ( 2 з!и (0+ ф) 1 е-ст 4 1 ! ре-п — 1+в+ У гз 1 1 1зт г тз -ре' 1 1'1+=')- (ре!" — 1 + г + рсгз †!)з ! ! Угз — 1/ = Азе-зев+ 2!Азре-ст з!и (О+ Ч) — + ...; 1 поэтому искомый вычет есть — 2!Азре ее з!и (0+ е), и для подъемной силы крыла получаем выражение Х вЂ” !У = — 2и!Аз аре-ст а!и (0+ е) *), нчн по формуле (19) Х вЂ” й'= !Ае-!трй ! (У вЂ” г(с) Гй и, наконец Х+!Г= — !((У+!е) Гд. (22) Мы получили знаменитую творе му Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
