А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Поэтому Агд у р(Г) изменяется на — — и 2 1 и, следовательно, приобретает значение — — и+ 2йя. Мы видим, что 2 из двух значений -+-13/(Р— 1)(1 — АоР) следует выбрать значение — г'!l(Р— 1)(1 — но!о). Итак, при 1 < х < — имеем: 1 + а е г от от =~('")=,) У'(! — Р)(! — аоР) = 3 У'(! — Р)(! — аР)+ о + о + Ж (' Лг +, ~К+1~ гй (— оа — ж~ ~ гв=тГо — 'юо' 1 о 1 1 Отсюда следует, что когда г=х пробегает отрезок 1 <х < —. а' то точка тв пробегает прямолинейный отрезок, параллельный мнимой оси, от точки К до точки К+!К', где 1 Ж .ь'(Р— И (! — лоР)' 8. отовглжаниа вавднай полгплоскости эллиптическим интагвллом 303 Последний интеграл можно представить в виде„ аналогичном К, посредством подстановки Получим: М ~/ 11 Гз) 11 а~згз) Перейдем от отрезка 1 ( х ( — к отрезку — ( х (+ со; 1 1 л а аргумент подкоренного выражения Стз — 1Н1 — й'Гз) = — йз С вЂ” 1)(Г+ 1) (à — —,) ( +-,) 11 изменится, уменьшившись на и (вместе с Агд(1 — — )), Поэтому для а) у' 11з — 1)11 — йеР) получим значение, имеющее аргумент — 1 у' 1гз — 1)1хзР— 1).
1 Итак, при — (х (+со 1 ат 1 ~'а — зпг — чж 1 аЧ лт +1 уе — Оп — й е " 3'т~ — тя~~~) = К+1К'— лг , )«и — 1)1аз — 1) ' 1 лг Р ~-, "Р" л 1 3 ~/ 1Гз — 1) 1азР-11 ° и возрастает от нуля до величины СО 1 М лч Гз — 1 аГя — 1,1 1 — сз )«)1а ), )«П1 — азз) е ь 304 гл. х. отовглжвния поствдством ьньлитичвоких етнкций ( 1 ! мы произвели замену 1= — !. Поэтому точка те=У(х) описывает ач) ' прямолинейный отрезок, параллельный действительной оси, от точки К+ гК' до точки гК'. Аналогично убеждаемся в том, что когда х описывает отрезки 1 1 от нуля до — 1, от — 1 до — — и от — — до — оо, то точка л л те=у(х) последовательно описывает прямолинейные отрезки от нуля до — К, от — К до — К+)К' и, наконец, от — К+!К' до 1К'. Итак, функция те=) (з) взаимно однозначно отображает действительную ось Г, ни контур Гг прямоугольника с вершинами — К, К, К+г'К' и — К+!К', где ь 1 К= йс К'= ( йс ТС(1 — Сг) (1 — аггг) .! Ус(! Сг) (! акггг) и й' =1 — й'.
Отсюда, по доказанной теореме, следует, что эта функция однолистна в верхней полуплоскости и отображает ее конформно на указанный прямоугольник. Основание прямоугольника есть 2К, а высота К', поэтому йс л(й). К '„У(1 — Сг) (! — а'ггь) йс „у'(1 — р) (1 — вор) Если параметр й (О (и (1) возрастает от нуля до единицы, то 1 йс знаменатель дроби возрастает от 2 ~ . — = я до со; при этом у ! — сь о й' ()г' — ~/1 ьг) убывает от единицы до нуля и, следовательно, я числитель дроби убывает от оо до -г. Таким образом, отношение Кг 27( — =1(я), непрерывно изменяясь, убывает от со до нуля, когда я возрастает от нуля до единицы.
Поэтому для любого прямоугольника с основанием 2а и высотой Ь можно найти одно и только одно значение й (О ( й ( 1), для которого ! йс Ь о г(! го)(1 а Г) К' 2К ' а7 ТС(! — Сг) (1 — аья) 9. понятия оз эллиптической егнкцни якози зпто 306 Следовательно, функция дг ЛвС )Г(1 — Р) (1 — ава) построенная для найденного значения к, конформно отображает верхнюю полуплоскость на прямоугольник, подобный заданному. Если мы хотим получить отображение на заданный прямоугольник, 2а е то достаточно ввести еще множитель 1в = — = —, найдем: 2К Кв ' дг У (1 — Р) (1 — жгв) В результате отображения получим прямоугольник с вершинами — рК = — а, рК = а, )вК+1рК' = а+ И, — рК+ 1рК' — а+И. Итак, посредстеом эллиптического интеграла 1в )l (1 гв) (1 авр) можно отобразить полуплоскость на прямоугольник с произвольными длинами сторон, подбирая соотеетстеуюигие значения параметрое к и р..
9. Понятие об эллиптической функции Якоби зпто. Остановимся здесь на некоторых свойствах функции. обратной по отношению к эллиптическому интегралу г Лг) (0<9<1). у'(1 — гьц1 — авгь) В п. 8 было показано, что те=Де) конформно отображает верхнюю полуплоскость на прямоугольник Ье с вершинами ='-К, -+-К+1К' (черт. 65), причем она является непрерывной в замкнутой верхней полуплоскости и отображает действительную ось взаимно однозначно и непрерывно на контур прямоугольника так, что точки О, 1 -~- 1, -+- †, со, переходят соответственно в точки О, + К, -+-К+ 1К', 1К'.
Отсюда следует, что обратная функция в ее называют эллиптической функцией Якоби и обозначают е = зп(те; я), короче г = зп ш — является однозначной и однолистной в ае, непрерывной (в обобщенном смысле) в ае и отображающей взаимно однозначно и непрерывно контур прямоугольника на действи* тельную ось так, что основание АВ переходит в отрезок [ — 1, + 11, боковые стороны ВС н )9А — в отрезки 11, — ~ и 1 в †, — 1~ 20 Звв. Юе. А И Мврвтшеввв 306 ГЛ.
Х. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Г1 и, наконец, части СЕ и 0Е верхнего основания — в отрезки ~ —, оо~ 11 и ~оо, — — ~. Очевидно, что функцию зп в можно рналитически продолжать через АВ, ВС, ВА, СЕ и 0Е по принципу симметрии Римана — Шварца (п. 5 главы 1Х). Через АВ, например, она продолжается на прямоугольник Ь11А1)1С1В.
По принципу симметрии функция г=зпю будет принимать в этом прямоугольнике значения, принадлежащие нижней полуплоскости. При этом она также в силу Черт. 65. симметрии продолжения будет однолистна в Ь„ боковые стороны ВС, и АО1 будет отображать на отрезки ~1, — ~ и ~ ††, 1~, а С,Е, и ŠΠ— на отрезки ~ †, со~ и асс, — — ~. Заметим, что точка 0 1 1 является нулем функции; это в простой нуль, так как функция однолистна в прямоугольнике Г)1)1С1С.
Аналогичные утверждения справедливы и для аналитического продолжения через боковые стороны ВС или ВА прямоугольника Ьр. Так как в середине Е' верхнего основания этого прямоугольника зла обращается в со, то здесь продолжение можно осуществлять лишь через части верхнего основания СЕ или ЕГ). Легко видеть, что в том и другом случае получим продолжение на один и тот же прямоугольник Ь„ причем результаты продолжения в обоих случаях будут одинаковыми.
Именно если точка тзз~ Ьз симметрична с тее ~ Ь относительно прямой, на которой лежат СЕ и ЕЕ1, то для зп тзз в обоих случаях получим: зп тпз=зп тзе. Итак, продолжение зп тз из Ь через СЕ или ЕВ приводит к функции зп тз, однозначной аналитической в прямоугольнике АВВзАз всюду, кроме точки Е с аффиксом К'1, в которой она обращается в со. Следовательно, К'1 есть полюс функции.
Но зп тз однолистна внутри прямоугольника АВВ,А,, следовательно, в точке К'1 она имеет простой полюс (п. 5). Продолжив нашу функцию на прямоугольники Ь1, Ь„бз и Ь, мы можем, далее, осуществлять ее аналитическое продолжение по тому же принципу симметрии на все новые и новые прямоугольники. Неограниченное повторение этого процесса 9, понятии оз эллиптической эвикции якови зп ш 307 приведет к тому, что функция зп ти окажется продолженной на всю конечную плоскость ш как однозначная и аналитическая функция, не имеющая других особенностей, кроме бесчисленного множества полюсов.
Следовательно, эллиптическая функция г = зп ш есть мероморфная функция. В указанном процессе продолжения вся плоскость покроется сетью равных и одинаково расположенных прямоугольников, попеременно конформно отображаемых посредством г = зп ш на верхнюю или нижнюю полуплоскость. На черт.
66 мы изобра- Черт. 66. вили часть этой сети, заштриховав прямоугольники. отображаемые на верхнюю полуплоскость. Кроме того, мы отметили кружками нули функции зп.тв и крестиками — ее полюсы (расположение тех и других, как было показано выше, немедленно вытекает. по принципу симметрии, из того, что нам известно о значениях апти в Ье). Очевидно, что все нули зп тв содержатся в выражении 2лгК+ 2и~К', а все полюсы — в выражении 2тК+12п+ 1)1К' (лг и н произвольные целые числа); и те и другие имеют кратность 1, т.
е. являются простыми. Покажем, наконец, что функция япта является периодической, а именно она имеет периоды вида 4лгК+ 2и1К', где т и п — любые целые числа. Лостаточно убедиться в том, что периодами являются числа 4К и 21К', так как отсюда уже будет следовать, что и их любые целые кратные, а также и суммы этих кратных также будут периодами. Обратимся к черт. 66; пусть тв — точка одного из прямоугольников. Применим двукратно принцип симметрии, продолжая каждый раз функцию зп ш через правую боковую сторону соответствующего прямоугольника.
Найдем, что яп ти' = зпш и зп тл" = зли, откуда зптв" =яп тв, Но очевидно, что отрезок с концами в точках тв и ш" параллелен действительной оси и по длине вдвое больше основания прямоугольника, поэтому и" = ш+4К. Итак, зп(ш+4К)= = зп ш (при любом ш). Аналогично, применяя двукратно принцип 20ь 308 гл. х. отовгджвния посгвдством лналитичнских етнкций симметрии так, что каждый раз продолжение осуществляется через верхнюю сторону соответствующего прямоугольника, найдем: вп(то+ 2!К') = вп тп. Отметим, что функция л =* вою для действительных значений независимого переменного ш = и встречается в задаче о колебаниях математического маятника.
Эадача эта заключается в изучении колебаний тяжелого шара, подвешенного на тонкой нити, совершаемых в некоторой вертикальной плоскости (черт. 67). Пусть 1 — длина нити,т — масса шара, «вЂ ускорение силы тяжести,  — угол отклонения нити от вертикали в момент времени й Вз — наибольшее значение 0. Сравнивая положение шара в точке А, когда его скорость равна нулю, и в точке А, когда «0 его скорость есть о =! —, находим по теореме «т ' живых снл: глот -ил шд (Е соз 0 — ! соз В,), Черт. 67. «0 откуда, заменяя о его значением ! и интегрируя, получим: «г' а а 1„~/1 ~ « .Г «В 1,/т Г «0 (мы будем отсчитывать Ю от момента, когда В = О).
Произведем замену под 0 Ь знаком интеграла, полеуая з!п — = з!и+т, получим: 2 ГТ1 «т с )/ (! — тз) (1 — з1па "к тз) 2 откуда т = зп (~/ 1; з!и — ), или $1п — = 3!и — зп( ~/ — й з1п — !. Эта формула сводит задачу об изучении колебаний математического маят. ника к задаче об изучении поведения эллиптической функции зн (и1 й) при л = а1п †. Так как действительный период эллиптической функции равен 00 2' 4К = 4 ~ , то период колебаний маятника будет, «т г В ~/ (1 — тз) ~! — з!пз — тз) 2 8ОО 10. интегвлл хвистоэввля — шВАРКА очевидно, 4К: "ь —, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
