А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 56
Текст из файла (страница 56)
рода) отображение одной области 0 расширенной плоскости на другую осуществляется посредством некоторой однолистной в области 0 функции. Поэтому в дальнейшем можно употреблять выражения: «конформное отображение области (первого рода)» и «отображение области посредством однолистной функции» как равнозначащие. В основе теории конформных отображений лежит следующая т е о р е м а Р и и а н а, которую мы приведем без доказательства: любую односвязную область О, граница которой содержит более одной точки, можно конформно отобразить на круг (например, единичный) и притом бесконечно многими различными способами.
Условие, наложенное здесь на область О, существенно. В самом деле, пусть граница области 0 состоит только из одной точки Если " Ф со, то ее можно перевести в со посредством конформного отображения г = — . Допустим, что оно уже выполнено, тогда О 1 г — ч совпадает с конечной плоскостью. Функция чо = 1(г), конформно отображающая 0 на единичный круг )со( «, 1, должна быть аналитической во всей конечной плоскости, т. е. целой и, кроме того, ограниченной: ~ У(г)~ < 1.
По теореме Лиувилля (п. 2 главы Ч!), )'(г) = сопз1, т. е. отображает всю плоскость в одну точку. Из этого противоречия и следует, что область, граница которой содержит лишь одну точку, невозможно конформно отобразить на круг. Когда условия теоремы выполнены, то конформное отображение осуществимо бесконечным множеством способов. Именно функцию я =у'(г), конформно отображающую область О на единичный круг, можно подчинять еще различным дополнительным условиям.
Можно, например, потребовать, чтобы при отображении наперед указанная точка г области О перешла в центр круга (у(гь)=0) и чтобы, кроме того, касательные к кривым в этой точке не изменили бы направления (это означает, что агре'(гс)=0, т. е. у'(г) — действительное положительное число). В самом деле, пусть «о, = у,(г)— «) Здесь и в дальнейшем подразумевается при этом, что оиа одиозначяья и аналитическая в области 0 всюду, за исключением, быть может, Одного простого полюса.
294 гл. х. отоввлжвния посгвдством лнллитичвских эвикций какая-либо функция, конформно отображающая область 0 на круг [ш>[ ( 1. При этом точка гь переходит в У>(ге) и касательные к кривым в точке гь поворачиваются на угол, равный агд~>'(гь)=и. Если г>(гь) Ф О, отобразим конформно круг сам на себя так, чтобы точка у;(гь) перешла в центр. Это можно сделать посредством отображения твг= (п. 9 главы!П). Очевидно, чтофунки>> — Л (го) 1 — Л(го) 'и>> ция то, = > (г) = конформно отображает область 0 Л (г) — Л (го) 1 — Л (го) Л (г) на круг [шг[ < 1 так, что точка ге переходит в центр круга.
При l > Л(г) / е этом >'г(гь) = ь = 1 [Л(г,)Р и, следовательно, агд 6г (гь)=агд,(> (ве)=и. Остается положить тв =У(г) = е ы~г(я), чтобы получить конфермное отображение, удовлетворяющее поставленным условиям. Докажем следующую теорему единственности конформ ного отображения: может существовать только одна функиия то=,>(г), конфорлсно отображающая область 0 на единичный круг К> [то[(1 и удовлетворяющая условиям У(еь)=0, У'(гь)) О, где ге — фиксированная точка области О.
В самом леле, пусть тв> = >>(г) и шг=Уг(г) — две такие функции. Очевидно, что функция г = рг(чог), обратная по отношению к шг= 1г(г), конформно отображает круг [твг[(1 на область 0 / так, что при этом ь>г(0)=гь и эг(0)) О. Поэтому то>=А[ма(твг)[ отображает круг [тог[(1 сам на себя так, что Я>уз(0)[=0 и Замечая, что к функции у> [эг(шг)[ применима лемма Шварца (п. 2) (так как [у>рг(тог)[< 1), получаем 0 < >',(г):>г(г)<1. В проведенном рассуждении функции ~>(г) и 1г(г) можно поменять ролями, тогда получим 0 (~,'(г,): у,'(г,) (1.
Сравнивая оба результата, находим: — '~ =~,'(г,):>г(в,)=1, что в силу той же леммы Шварца возможно лишь при условии, когда тв> =е'" ° шг, причем множитель е" в данном случае должен равняться единице ( так как — >( = 1). Итак, го>=)>(г)~о> = >г(г), чем и закании>> ии>г и,-ь чивается доказательство. 7. Понятие о соответствии границ. Обратная теорема.
Из теоремы Римана немедленно следует, что любые две односвязные области О, и О, расширенной плоскости, с границами ь> и Рг, содержащими более чел> по одной точке, всегда могут быть конформно отображены одна на другую. В самом деле, если то=>>(г>) отображает область 0 на круг [и>~ < 1 и ш=у (г,) отобРажает область О, на тот же кРУг, то г, = аг,>>(г>), где г = ег (ш) — функция, обратная по отношению к то = У~(гг),— 7. понятие О соответствии ГРАниц.
ОБРАтнАя теоРБИА 99б отображает О, на Оя. Предположим, что границы Гз и Г, обла- стей О, и О, суть жордановы кривые (в обобщенном смысле; т. е. быть может, проходящие через бесконечно удаленную точку), и пусть г, = Р'(г,) — какая-либо однолистная функция, конформно отображающая О, на О!. Эта функция определена, конечно, только во внутренних точках области ОО Можно доказать, однако (мы не даем здесь доказательства), что для каждой точки ч! ~ Г, существует определенный предел функции Р (г!), когда г„ оставаясь внутри О, стремится к „ причем этот предел чз находится на кривой Г: г 1 1 1 р(г1)=~в ~!ЮГ!, СзЕГз. в,.+ й, Ий!У, Опираясь на этот факт, можно распространить определение функции !"-(г!) на замкнутую область О„полагая г" (ч!)= 1Нп р(г,). ч-к,. Нео, Определенная таким образом "функция будет обобщенно-непрерывной в О, н, з частности, обобщенно-непрерывной на Г,.
Предположим, что это не так, и пусть с (г) не будет непрерывной в некоторой точке ч!1~Г1; предположим для определенности, что ч1~1ФОО и р(ч1!'!) чь оо. Тогда в любой окрестности 1г — б!,'~ (е точки 1,',~! найдется точка ч!ЕГ! такая, что 1р(ч!!!) — Е'(ч!)~)~а) О, где а— некоторое постоянное. Но в той же окрестности ~ г — чГ! ~(е можно найти точку г, ~ О, столь близкую к ч„что ) р(ч1) — Г(г,) !(— и, следовательно, 1с. (ч1и~) — Р(г!)!)~-~ )О. Так как радиус е-окрестности произвольно мал, то отсюда получаем противоречие с определением 1-'(ч1 ) как Вш р(г!).
е Р!!0) еда '! В проведенном рассуждении области О, и Оз можно поменять ролями. Поэтому для функции г, Ф(гз), обратной по отношению к г,=р(г!), найдем. что существуют пределы 1пп Ф(гз)=С! ((зЕГз, (1ЕГ!). е,.+ с„жйо, Полагая Ф(ча) = ч„получим, что Ф(г) обобщенно-непрерывна в 0 и, в частности, обобщенно-непрерывна на Г,.
Легко видеть, что фУнкции чз=Р(ч!) и ч1=Ф(чз) ЯвлЯютсЯ взаимно обРатными. Посредством этих функций устанавливается взаимно однозначное и обобшенно-непрерывное в обе стороны соответствие между жордановыми кривыми Г, и Гз. Итак, справедлива следующая теорема о соответствии г р а н и ц: функция г, = р (г,), конформно ол!Ображающая область О„ограниченную замкнутой жордановой кривой Г„на область О„также;ограниченную замкнутой жордановой кри вой Г, может быть онределзна, очевидно, единственным образоме 296 гл. х.
отовважвния посгвдством анллитичяских агнкций в точках Г, так, что после етого она становится обобщенно- непрерывной в замкнутой областа О, и устанавливает взаимно однозначное и обобщенно-непрерывное в обе стороны отображение Г„на Г,. Короче: при конформном отображении друг на друга двух областей, ограниченных замкнутыми жордановыми кривыми, между их границами всегда устанавливается взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие. Как уже было сказано, мы не собираемся приводить доказательство этой теоремы вследствие его сравнительной сложности *). Более элементарной является обратная теорема, справедливая, однако, лишь при некоторых ограничениях.
Формулируем ее для наиболее простого случая, когда жордановы кривые Г, и Гг 'не проходят через бесконечно удаленную точку и области О, и Ог являются соответственно внутренностями этих кривых. Обращение теоремы о соответствии границ, Пусть функция гг= г (гт), непрерывнап в замкнутой области О,, ограниченной жордановой кривой Г,, и аналитическая в области О,, устанавливает взаимно однозначное и непрерывное в обе стороны отображение Г, на некоторую жорданову кривую Гг. Тогда зта функция однолистна в О, и отображает зту область на внутренность Ог кривой Г,.
Теорема эта может быть легко распространена и на случай, когда О, есть внешность кривой Г или когда Г, есть обобщенная жорданова кривая и О, — одна из двух областей, ограниченных ею (например, Г, — прямая и О, — полуплоскость). Чтобы свести каждый из этих случаев к тому, о котором говорится в теореме, достаточно фиксировать какую-либо точку г1а1, внешнюю по отношению к области О,, и выполнить вспомогательное преобразование т 1 г = „ .
В результате Г, преобразуется в некоторую жордат т нову кривую Г' плоскости г' (не проходящую через точку г'= со), область О, — в область О' — внутренность кривой Г' и функция 11 Р(гт) — в функцию р(г1а>+ —,1, непрерывную в замкнутой области О', аналитическую в О' и устанавливающую взаимно однозначное и непрерывное в обе стороны отображение Г' на Гг. Заметим, однако, что кривые Г, и Г, играют в условии теоремы неодинаковую роль, и теорема перестает быть верной, если Г, проходит через бесконечно удаленную точку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
