А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 52
Текст из файла (страница 52)
е. с расстоянием от ле до ближайшей к ней из двух точек ~ !. Само тейлоровское разложение в данном случае проще всего найти, 1 разлагая з на простейшие дроби и затем используя геометрический 1+гз ряд. Получаем: 1 1 1 1 -- — (=+ — )- з — ко ! ~ г — г„ Так как ~ — ~ ч. 1 и ~ — ~ к 1 (точка к лежит внутри Т, а точки ~1 ! — ле! 1!+де 276 Гл. !х.
АБАлитическОВ пРОдолжение. РимАноел поеБРхность лежат либо обе на Т, либо одна из иих лежит на 1, а другая — во внеш- 1 1 ности !), то каждую из лробей можно представить г — го г — го 1 — — 1+ го !+го г — го г — го геометрическим рядом со знаменателем или — —. Получим: «о !+го ' 1 .+ гз 2! ~1 — го ~Л И (1 — го ) 1 + го ~ Л (! !-)- го ) 1 — — ( — 1)"" ((го + !) " ' — (го — 1) " ') (г — го)" 2! 4в4 Этг и есть разложение, радиус сходимости Й которого мы выше определили В частности, для го * 1 получаем )7 р Р'2, н разложение принимает зид Оо я+1 1+гз — 2> — у ( — 1)"2 ~з!п(п+1) — ~(» — 1) 1 4 о 1 1 1 1 2 2 4 = — — — (г — 1) + — (г — 1)з (г — 1)4+ 8 б) Пусть Р(г) = —.
Рассмотрим область ст, границей которой слу- 1 !.пг ' жит неотрицательная часть лействительной оси Л: х~О, у О. В ней многозначная функция Р (г) распадается на однозначные аналитические ветви, из иоторых мы рассмотрим одну ветвь 1 1 1.птг 1п )г ~+1Атйтг' где Агитг удовлетворяет неравенствам О«. Атдтг(2к. Из формулы, определяющей Р(г) (или У(г)), следует, что особые точки элементов функции Р(г) могут совпадать либо с г = О (точка разветвления для !.пг и Р(г)), либо с точкой г = 1, в которой обращается в нуль одно из значений логарифма. Положим для определенности го= 1+А Тогда ближайшей к го из двух точек О и 1 будет, очевидно, точка 1. Описав из г, как из центра, окружность Т радиусом Р, равным единице (черт.
59), найдем, что у(г) внутри Т определяет некоторый элемент Р (г). Так как прн стремлении точки г (лежащей внутри !) к точке 1, лежащей иа р 1п! г! стремится к нулю и Агятг также стремится к нулю, то значения элемента Р(г) стремятся к со,.откупа, рассуждая, как и в предыдущем примере, заключаем, что точка г = 1 являетсв особой точкой для рассматриваемого элемента.
Поэтому радиус сходимостн тс тейлоровского разложения для в(г) (разложение берется по степеням г — (1 + 1)) равен единице. т РассмотРим, далее, точкУ го = 1 — А лежащУю в нижней полУплоскости. Для нее ближайшей из двух точек О н 1 будет снова точка 1. Описав из г', как из центра, окружность Т' радиусом 1, будем иметь внутри нее определенный элемент функции У(г), который обозначим ф(г). Покажем,что все точки окружности Т' являются правильными точками етого элемента. 8. опгвдвлвиив глдиэпл сходнмостн по осовым точклм 277 С этой целью рассмотрим круг К: ! з — (! — Г)!с„ гг2, граница которого содержит точку О.
Внутри круга К функция (.п л распадается на однозначные аналитические ветен, олив из которых совпадает с (.п, г внутри окружности !' (достаточно выбрать однозначную ветвь (.п з, значение кото- г ро се ой совпадает с (.и з в точке г ). Обозначим эту однозначную ветвь ).ил 1 о. через (.паз= !и!л! +! Агпзж Так как в точке лэ значение Агдас совпадает со значением Агягз, равным — , а внутри круга К значения Тп 4 Агяэя отклоняются от значения в центре этого круга менее чем на — по абсолютной величине, то я /г 2 а ~ ' з Атязл во всех точках круга К удовлетворяет неравенствам 5п 9я гр л — < Атязгс, —.
4 4 Фр'л' гг р / Д' Отсюда следует, что !.пэз не обращается в нуль в круге К. По- /!' 1 этому функция — является (.пз л аналитической в этом круге. Но ' л У' 1 ь опа совпадает с ~ в круге К: 1-пт з !л — (1 — !)! с„!, т. е. совпадает с элементом ф(л) функции /(л). Отсюда и следует, что каждая точка окружности !' является пра- /с вильной для ф(л) (в самом деле, для каждой точки ь Е Т' существуют окрестность УС н в ней аналити- Черт. 59. ческая функция †, совпада- (.пэл ' ющаЯ с ф (л) в части, общей длЯ (/с и К').
В частности. тония 1 бУдет также правильной точной для ф(л). На этом примере мы убеждаемся. что олна н та же точка 1 является особой точкой для одного элемента аналитической функции у(л) (лля 9 (л)) и правильной точкой для другого элемента втой функции (для ф (л)),, Из того, что все точки окружности !' являются правильными для ф Гл), вытекает, что ралиус схолимости тейлоровского разложения этого злемеита по степеням л — (1 — Г) больше.
чем радиус окружности т', т. е. больше единицы. Но в круге К' ф(л)=(.пэл, поэтому тейлоровские разложения функций ф(л) и (.пэг совпадают. Так как (,пэл является функцией. аналитической в круге )л — (1 — 01( )/2, то радиус сходимости )г' этого разложения не может быть меньше.
чем )/2. Чтобы показать, что он точно равен )г 2, достаточно убедиться в том, что,по крайней мере, одна из точек 1 оиружности Г: ! л — (1 — !)! Т/2 является особой точкой для —. Такой 1 паз ! тр 1 точкой является начало координат. действительно, ~ — ) — „- -.--ьсо !).пэл л(!.пгйр когда г-ьО, оставаясь внутри Г. Отсюда и следует, что не существует никакой функции у (з), аналитической в окрестности У начала координат, 278 гл. 1х. лнллитичвскон пгодолжвнив. гиманова поввгхность которая бы в точках, общих для У и К, совпадала с — (если допу- 1 1-пз г стить существование такой функции, то нужно допустить также существование конечаого предела у'(0) = 1нп у' (г) = 1'пп ( †) , 1 э -ь ю э + э (, 1.пз з что, как мы заметили, невозможно).
Предлагаем читателю убедиться в том, что в нашем примере для каждой точки гэ области О, лежащей в верхней-полуплоскости, радиус сходимости тейлоровского разложения функции у(г) по степеням г — гэ равен расстоянию от гэ до ближайшей к неи точки из пары 0 и 1, тогда как для т т точек г,лежащих в нижней полуплоскости, расстояние от гэ до 1 не играет никакой роли при определении радиуса сходимости соответствующего ряда; т этот радиус всегда совпадает здесь с расстоянием от гэ до точки О.
9. Изолированные особые точки многозначного характера. Применим результаты предшествующих пунктов к изучению функций в окрестности изолированной особой точки, вообще говоря, многозначного характера (т. е. точки разветвления). Пусть г — точка плоскости (для определенности — конечная) — и Оу(У = О, ='1, 2, ...) означают попеременно верхний и нижний полукруги некоторого радиуса Я <со с центром в втой точке. Именно, обозначая через ф и г полярные координаты с началом в гр, будем определять Оу посредством неравенств (т' — 1) и < ю < тк, 0 < г < тс (очевидно, что верхний полукруг получим при у' нечетном, а нижний — при у четном). ' Пусть - (Оу, уу(г)) — элементы такие, что Уу(г) для любого у'=О, ='-1, ч-2, ... продолжается через радиус ф=рс, 0 < г < й в область Оу „причем уу+, является результатом продолжения Тогда множество элементов (Оу, уу(г)) определяет в окрестности О <(г — го(< 1с точки го аналитическУю фУнкцию У(г).
Если элемент (О„уэ(г)) совпадает с элементом (Ою ут(г)), то тогда, как легко видеть, любой элемент (Оу+з, Уу+з) совпадает с элементом (Оу, уу(г)) (/=О, -1, -2, ...) и функция 7(г) оказывается однозначной. В веРхнем полУкРУге О, она совпадает с У, (г), в нижнем Оз— с /э(г), причем продолжение у',(г) через радиус чэ=п(О<я<Я) в нижний полУкРУг дает уз(г) и пРодолжение Уз(г) чеРез РадиУс ф=2п (О < я< тс) в верхний полукруг дает У,(г).
Точка г ге может быть либо правильной точкой для у(г), либо особой точкой (изолированной особой точкой однозначного характера). Этот случай был подробно исследован нами раньше (в главе Ч!1). Допустим теперь, что элемент (Оз, уз(г)) отличен от элемента (О„ У,(г)) (т. е. функция Уэ(г) отлична от ут:(г) в верхнем полукруге). Тогда мы рассматриваем далее элементы (О, уа(г)), ..., (Оза„„ У~вы(г)), сравнивая каждый из них с (Оы,У,(г)). Имеются лишь две возможности: либо среди бесконечного множества элементов (Оэа+,, /азы) (7т > 1) встретится элемент, совпадающий с (О„у,(г)), либо такого 9.
изолированныв осовыв точки многозначного характврл 279 злемента не встретится. Рассмотрим первую возможность. Пусть (Оаа0-~1 Ла,.ьг(г)) (йо)!) — элемент с наименьшим номером, совпадающий с (О„Л(г)). Покажем, что тогда будут совпадать друг с другом элементы (Оо+аал /у~за„(г)) и (О~, У~(г)) для любого целого ~'. Очевидно, достаточно показать, что из совпадения элементов (Од.„зал 7) ч.аа,(г)) и (О,л Л„(г)) дла какого-либо целого /о следует совпадение элементов (Од*,„аа,, Л,агава,(г)) н (Ом+„,~~,а1(г)).
Но если аналитические функции уу,(г) и Ур„+аа,(г) совпадают в полукруге О;=Одэаа, то и результаты их аналитического продолжения через один и тот же радиус в другой полукруг ' Ооь„.г = Од.ь1+аа, будут также совпадать (в силу теоремы единственности). Аналогично допущение о том, что функции Л г(г) и а аа„не совпадают в полукруге О,,= Од,э,аи привело бы к тому, что ~;(г) и ~; аа,(г) — результаты их продолжения через один и тот же радиус в полукруг Ор,=Од аа,— не совпадали бы друг с другом. Из этих рассуждений вытекает, что совпадение (Оы Л(г)) с (Оь„ааи Лэ,а,(г)) влечет за собой совпадение (01, )р(г)) с (Ор. аа, Лога,(г)) при любом /.
Следовательно, среди бесконечного множества элементов (О„, Л(г)) может существовать лишь конечное число различных между собой: (О,, Л (г)) ° ° (Ом,, Ла,(г)). Легко видеть, что все они действительно различны. Допустим противное, и пусть элементы (Ор, (р(г)) и (О, у' (г)), где 1 <р< < д < 2йо, совпадают друг с другом. Примейяя установленный выше результат, получим, что будут совпадать также элементы (01, У~(г)) и (О+ р, ур р(г)) при любом целом ~'. В частности, совпадать друг с другом должны элементы (О„Л(г)) и (О,„о р, Л+о р(г)), где 0 < 9 — р < 2йо.
Но это заключение противоречйт тому, что 2йо есть наименьшее из натуральных чисел п, для которых элемент (О,+„, Л+„(г)) совпадает с (О,, Л(г)). Итак, ио функций Л(г) гз(г) ° ° ° Ла,-1(г) различны между собой в полукруге О,. точно так же как различны между собой й функций уа(г), ..., уаа,(г) в полукруге О . Отсюда следует, что аналитическая функция 7(г), определяемая элементами (Ор,,Ур(г)) в области О < ) г — го) < 77, является многозначной, а именно й -значной. Фиксируя в одном из полукругов 01 однозначную ветвь ур(г) втой функции и продолжая ее далее аналитически в полукруги Ор,ы Ор,а, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
