А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 59
Текст из файла (страница 59)
е. г 1 г /! йч (1 — чв) !!! — в! Вв — чв) 2 Мы установили у впчв наличие двух основных периодов: 2!К' и 4К, о1ношение которых является "мнимым; все остальные периоды суть линейные комбинации этих периодов с целочисленными ковффициентами. Функции, обладающие периодами с такими свойствами,, называются двоякопериодическими (в отличие от однопериодических функций, таких, например, как з1пчв или еи, для которых любой период есть целое кратное одного основного периода). Итак, эллиптическая функция Якоби есть мероморфная, двоякопериодическая функция. Вообще каждая мероморфная двоякопериодическая функция называется эллиптической.-Если 2а, и 2мг — ее основные периоды (отношение 2ьь 2ьь,— мнимое, но не обязательно чисто мнимое число), то параллелограмм, построенный на векторах 2ьь, и 2пг, выходящих из любой точки чвв, называется Параллелограммом не риодов эллиптической функции.
ЩГ функции я=во(чо; й) в случае, когда О(й(1, параллелограмм, Периодов есть прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, и с длинами сторон 4К и 2К' (он вмещает четыре прямоугольника, о которых речь шла до сих пор). Значение параллелограмма периода состоит в том, что, изучив в нем поведение эллиптической функции, мы на основании двоякой периодичности будем знать ее поведение в любом другом параллелограмме, полученном из данного посредством сдвига на вектор, представляющий какой- либо период. Эллиптические функции имеют многие применения в вопросах математики и механики. Поэтому их изучение есть задача особого отдела теории аналитических функций — теории эллиптических функций. Не останавливаясь здесь на этой теории, ограничимся тем, что приведем одну нз основных теорем этой теории, принадлежащую Лиувиллю: если эллиптическая функция я=у(чв) не есть тождественная константа, то в параллелограмме периодов (внутрн или на сторонах) она должна иметь, по крайней мере, один полюс.
Действительно, если допустить. что полюсы отсутствуют, то у(чс) будет ограниченной по модулю в замкнутом параллелограмме периодов, а следовательно, аналитической и ограниченной по модулю во всей конечной плоскости, т. е. константой. 1О. Интеграл Христоффеля — Шварца.
Обобщением эллиптического интеграла, рассмотренного в п. 8, является следующий 310 гл. х. отовважвния посввдотвом лнллитичзских эвикций интеграл Христоффеля — Шварца: тв = Д(г) = С ~ (г — а,)ч ' (1 — а,)"' ' ... (( — а„)"~ ' сН; о (8) здесь С вЂ” положительное число (например, С=1), а„а,..., а„— различные между собой действительные числа (мы предположим для определенности, что а, < а, ( ... ( ал), а показатели а, — 1, ...
..., а„ вЂ” 1 также действительные, но среди них могут быть н равные между собой, Эллиптический интеграл п. 8 получится отсюда, если 1,1 положить и= 4, а = — —, аа= — 1, аз=1, а =' — и а,=а = Т 1 =аз=а =— 2' Возвращаясь к общему случаю, наложим на показатели ау — 1 ограничения, обеспечивающие сходимость интеграла в каждой из точек аа н в точке л = со. Ограниченна эти, очевидно, должны быть такими: ау — 1) — 1(/=1, 2, ..., л) и а,+...+и„— п( — 1 (9) ( последнее вытекает из того, что в окрестности точки л = со подинтегральную функцию можно представить в виде ч+...+и„-л(1 а~)"' ' (1 лл)"л ') ,рыберем определенную однозначную ветвь функции ) (л) = =(г — а,).' ...
(в — а„) л в верхней полуплоскости, подчинив ее, например, следующему услог вию: на части действительной оси г = х ( аы где все разности л — ау отрицательны, берем для каждой из них значение аргумента, рав- % ное к, а для аргумента л(л) — знаЧерт. 68. чение (а,— 1)п+ ... +(а„— 1)к. Условившись в этом, мы должны будем на интервалах (аз,, аа) придавать аргументу ),(г) значения, согласованные с выбранным. При этом достаточно заметить, что когда точка г переходит из интервала (пл „ ал) в интервал (аа, а„э,) (Ф = 1, 2, ..., п, аз = оо и а„, = оо), то лишь одна из разностей л — ау меняет знак (с — на +), а именно г — аь.
Заставляя г описывать полуокружность с центром в аю принадлежащую верхней полуплоскости (черт. 68), найдем, что аргумент л — ал должен уменьшиться на и и, следовательно, принять значение 0; соответственно аргумент степени (г — аа) л должен измениться на — (ал — 1) а и на столько же изменится аргумент А(з).
Так как на интервале (со, а,) последний имел значение (а, — 1)а+ ... +(а„— 1)п, то 311 10. интвгвал хгистоо явля в швлвць интервалу (со, а,) здесь начало отрезка Ло есть ' ... (1 — а„)"и ' Ж и к интервалу (а„, со) „к„„...=о~'о,о'-'...о „г -'о). о и по отношен Ъ=СУИ— о здесь конец о суждения вытекает, что функция (8) отобрав ось на замкнутую ломаную Л со звеньями ами тво, твы ..., тв„, тв„о, = тво. Нельзя утверэто отображение взаимно однозначно, так как самопересечения, т.
е. звенья Л могут иметь имо вершин. Допустим, что самопересечения было, например, в случае эллиптического инте- ется замкнутой жордановой кривой, ограничик с вершинами ыо, ..., тво, и следовательно, Из приведенного ас жает деаствител ну Ло, ..., Л„и верш и ждать, однако, чт ломаная может име ь общие точки и по отсутствуют (как эт трала). Тогда Л явл вающей многоуголь на интервале (а,, ао), изменившись на †(а, — 1)п, он будет сохранять постоянное значение (ао — 1) и+... +(а„— 1) я, вообще на интервале (а„,, аь) (й= 2, 3, ..., й) значение (аь — 1)п+...
... +(а„— 1)и, .', наконец, на интервале (а„, со) — значение О. аь Полагая для краткости С / (Ю вЂ” а,)и ... (1 — а„)"о дВ=пвь, рас- о смотрим поведение интеграла (8) на интервале (аь „аь). Имеем: о=у(я)= „,+С ~Л(1)дС= оь =~„,+С~ив и"+ +~о. ц"' /'(1,(1)(д1. (18) а ь-о Второе слагаемое правой части сохраняет неизменный аргумент (аь — 1)я+...+(ао — 1)п, а модуль его.при возрастании г=л ао от а„, до а„непрерывно возрастает от нуля до 1ь=С< !Х(1))аг.
о «-о Отсюда следует, что когда л, возрастая, описывает интервал (а„„аь), те=у(г) оп)(сывает в одном и том же направлении прямолинейный отрезок Ль с началом в точке твь ы наклоненный под углом (аа — 1) и+ 1.. +(а„— 1) и к положительному направлению действительной огри и с длиной, равной 1ь, конец его находится в точке аь твь — — С ( (ь — ... (г — а„) о йг. Это заключение справедливо о 312 гл. х.
ОтОБРАжениЯ НООРедотвом Аналитических ФУнкций по п. 7, интеграл (8) Христоффеля — Шварца конформно отображает верхнюю полуплоскость на указанный многоугольник. Из черт. 69 следует, что внутренний угол этого многоугольника с вершиной га»(0 ( а < л + 1) равен а»я. Хотя все величины углов, отмеченные на этом чертеже, должны рассматриваться как определяемые с точностью до целых кратных 2а, можно показать, что а»к дает внутренний угол многоугольника без какой-либо поправки; иными словами, выполняются неравенства 0 < а» < 2, лишь одна часть которых ау ( 'УЛ+ ' +(аа ()Л УЛ -( ( »(а г 1 Черт. 69.
(а» ) О) предусмотрена условиями (9). Чтобы убел~)ться в этом, нужно воспользоваться однолистностью отображения ш ~ у(е) в окрест- ности точки а». Заметим, что (()-!(.—.,~ - ...(.—...)"-,- (..„]~*- ... ... (я — а„) "у) ] (е — а»)'» где выражение в квадратных скобках явля нкцней, аналити- ческой и не обращающейся в нуль в окрес очки а». Следо- вательно, это выражение можно разложить степеням е — и» со свободным членом, отличным от нуля: А ») ( — .)+"., йричем ряд будет равномерно сходиться рой окрсстности точки а». Но тогда в этой окрестности та=ц)»+С ] ),(г))11=та»+С~ 1АРо)+А(()(1— а» а, г») ав Ао = та + С вЂ” (г — а )»+ С вЂ” (е — а),.
° ° ° ! о + О) А, /А(») » а » а»+1 ](1 — а»)"» (а(1=* откуда А(») и) — и)» = С вЂ” (з — а),) " ] 1 +— а» 313 10. интвгглл хгистоеевля — шВАРцА Если г стремится к аь по радиусу окружности с центром а„, составляющему с положительным направлением действительной оси угол 0 (О < О < я) (см.
черт. 08), то из последней формулы вытекает, что тп будет стремиться к точке тел по некоторой кривой, касательная к которой в точке шв имеет угол наклона, равный Дш Атд(ш — тел)= ю.ь еа = АгяАе ~+аьй (мы учли здесь, что С) 0 н ал ) 0). Если О непрерывно меняется от нуля до я, то радиусы, выходящие из точки а, будут непрерывно менять- ,тут-т!-тат~ + ат/тт ся, заполняя полукруг с центром ал, соответственно будут меняться и их образы при конформном отображении †указанные выше кривые, заполняя весь а' л угол многоугольника с вершиной ш„ (в достаточной близости г„, —, т.т+ ..
е та,, —,Ътс -тг к вершине). Но угол наклона касательных к этим кривым в точ- Черт. 70. ке шь изменится прн этом на величину а„я (от значения Ага А, до значения АтяАе +аья), поэтому аья по (ы и есть величина внутреннего угла многоугольника и, следовательно, О < ав < 2 (л = 1, 2 ..., и). Для вершины тле = те„, т величина внутреннего угла получается следующая (черт. 70): ™ [(и — ! ) — (а, +... + а„)[ я. Из неравенства (9) можно заключить только, что это — число положительное. Однако, если учесть, что наш многоугольник имеет всего и+ 1 углов и, следовательно, сумма всех углов должна равняться [(л+ 1) — 2[я =(л — 1)я, мы для (и+1)-го угла, зная величины остальных л углов атя...;,-а„я, должны получить как раз указанную величину [(и — 1) — (аг+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
