А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 61
Текст из файла (страница 61)
13 главы П поток зтот равен ~ — о Пх+ и ау = 1ш [~ У" (г) бл ~ = 1ш ~ ~ — ~,= 2п. т Т Т Итак, через окружность сколь угодно малого радиуса с центром в начале координат протекает за одну секунду количество жидкости, равное 2я (точнее, следует представлять себе поверхность кругового цилиндрического слоя высотой единица, сечением которого является указанная окружность; через зту поверхность и протекает объем жидкости, равный 2и). Полученное число мы рассматриваем как мощность источника з = О, откуда жидкость выбрасывается с бесконечно большой скоростью, илн как мощность стока х со, где жидкость исчезает (с нулевой скоростью).
Если вместо функции Еп х рассмотреть в качестве комплексного потенциала функцию Р(з) = — ! Еп з, то потенциалом скоростей будет функция Т(х, у) = йе (Р(л)! =Агою функцией тока ф(х, у) =1ш (Р(г)! = — 1п!г! и !г скорость в точке з будет равна = = — . В атом случае линни равного з !л!з потенциала суть прямолинейные лучи, выходящие из начала координат, а линии тока суть окружности с центром в начале координат. !з Так как скорость — направлена в положительную сторону по каса!з !з тельной к соответствующей окружности, то каждая частица жидкости движется по окружности с центром в начале координат, обращаясь вокруг него в положительном направлении (против часовой стрелки).
Скорость частиц по-прежнему весьма велика вблизи начала и весьма мала вдали от него. Вследствие етого время, употребляемое на пробег окружности, есть 1 2лг: — = 2ягз и, следовательно, растет пропорционально квадрату радиуса г окружности. Можно легко проверить, что источники и стоки в атом случае отсутствуют (зто следует из того, что функция тока в данном случае однозначна). Для циркуляции скорости вдоль произвольной окружности Т с 320 гл. х. отовважвния посевдством лналнтнчкскнх етнкций центром в начале координат получаем величину ~ и ~1х+ о ау = йе ~ ~ у'(г) г(г~ йе ~ ~ — ~ = 2в.
Черт. 73. настей, соединяющих точки а и Ь, а линиями равного потенциала — ортогональные к ним окружности. Во втором случае, наоборот, последние линии являются линиями тока, а первые — линиями равного потенциала. Рассмотрим комплексный потенциал, равный сумме двух указанных выше: т — гГ г — а У(г) = 2в г — Ь' 1п— (14) Лля него точки а и Ь можно рассматривать как в и х р е и с т о ч н и к и, а именно как совмещения источника (или стока) мощности т с вихревой Так как величина циркуляции остается одной и той же как для окружностей ~г! = г сколь угодно малых радиусов, так и для сколь угодно больших, то и начало координат н бесконечно удаленную точку можно рассматривать каи в и х р е в ы е т о ч к и рассматриваемого течения, а величину 2в — как интенсивность вихревой точки (той нли другой).
От указанных примеров легко перейти к случаю источника и стока любой мощности ш,помещенных в'двух наперед заданных точках плоскости, или к случаю двух произвольно расположенных вихревых точек с данной ш г — а интенсивностью Г. Первым соответствует комплексный потенциал — Вп— 2в г — Ь Г г — а (а — источник, Ь вЂ” стаи), вторым — комплексный потенциал — Вп— 2вт г — Ь (а и Ь вЂ” вихревые тачки), Прн заданных точках а и Ь общая картина линий равного потенциала и линий тока в том и другом случаях одинакова (черт.
73). Однако в первом случае линиями тока яаллются дуга окруж- 12. гидромнханичвсков истолковании простейших осовых точнк 321 точкой интенсивности Г. Здесь потенциалы скоростей и функции тока равны соответственно ер(х, у) = — 1и и 1л — а( Г л — а + — Агп —, 2я 1л — Ь! 2я з — Ь' т л — а Г (л — а( ф(х, у) = — Агя — — — !и 2я л — Ь 2я (з — Ь! Лннняии равного потенциала и линиями тока служат два взаимно ортогсиальных семейства, так называемых двойных логарифмических Черт.
74. спи р а лей, навнвыющихся на точки а и Ь*). На черт. 74 изображены три кривые одного семейства и одна кривая другого семейства. Отправляясь от втих рассмотрений, перейдем к гидромеханическому истолкованию полюса аналитической функции. Пусть У(х) = (т — ГГ) л — а 2п ).ив л — Ь вЂ” комплексный потенциал, соответствующий двум вихреисточникам в точках а и Ь. Представим у(л) в виде (и — ХГ) (Ь вЂ” а) (.и (л= а) — (.я (л — Ь) 2я Ь вЂ” а и предположим, что Ь стремится к пределу а н при атом и — ГГ стремится к бесконечности так, что произведение (т — ГГ)(Ь вЂ” 'а) имеет конечный, отличный от нуля предел вгевв.
Тогда в результате предельного перехода *) Онн превращаются в логарифмические спирали путем дробно-линей- л — а ного преобразования ч = — и, следовательно, образуют семейство линий, л — Ь пересекающих любую лугу окружности, соединяющую точки а н Ь, поь одним и тем же углом. 21 Звы. 1636.
А. И. Мврыушевыч 322 Гл. х. ОтОБРАжения пОсРедстВОм АнАлитических Функций получим функцию )тФ' 1 Р (л) 2в г — а' (15) имеющую единственную особую точку, а именно простой полюс в точке а. Итак, простой полюс можно рассматривать как слияние двух вихреисточни- ков с одинаковыми, неограниченно возрастающими интенсивностями. га Черт. 75. Ф(а) ЙеР(л)=— )т соз (а — В) 2к р )т и!и (а — 6) %'(л) 1ш Р(г) = — — —. 2в р Отсюда следует, что линии равного потенциала и линии тока )с сов(е — 6) = сопл!, 2и р з!п (а — В) — — = СОПЗ! 2в представляются в виде двух ортогональных семейств окружностей: р= С!сов(в — 6), р=Сзмп(е — 6), причем окружности первого семейства (линии равного потенциала) касаются в точке а вектора 1)те~", выходящего из втой точки, а окружности второго семейства (линии тока) касаются в той же точке вектора ЯФ' (черт.
75). Тот же результат можно получить, конечно, если отправляться только от источника и стока (Г= О) или только от двух вихревых точек (гл = О). Полагая л — а=рла, запишем потенциал скоростей и функцию тока в виде Аналогично могут быть истолкованы полюсы второго порядка — посредством слияния двух полюсов первого порядка, полюсы третьего порядка— посредством слияния двух полюсов второго порядка и т.
п. 13. Общее решение задачи об обтекании кругового цилиндра. Рассмотрим построение комплексного потенциала для потока жидкости, обтекающей круглый цилиндр, которое приведет иас к результату более общего характера, чем полученный в п. 11. Пусть требуется найти комплексный потенциал для течения жидкости в области !г ( ) 1с в предположении, что скорость в бесконечно удаленной точке есть (1 + Лг и в области Р ( ! г !е оо отсутствуют источники, стоки и вихревые точки. Тогда для производной 1'(г) комплексного потенциала, являющейся сопряженной со скоростью в точке ж получаем,что она должна быть однозначной аналитической функцией в области Р ч. ! г !ч.оо, принимающей конечное значение (1 — Лг в бесконечно удаленной точке. Следовательно, бесконечно удаленная точка является правильной для нее, и мы получаем: Уг (г) = (1 — Лг+ — + — + — +..., Ат Аз Ав г гз г' откуда ) У (г) = (У вЂ” Лг) г + А, Бп г — — — — —...
Аз Аз г 2гз / Мы приняли здесь постоянную интегрирования равной нулю. Чтобы получить отсюда функцию тока ф(г) = 1юг'(г), положим: г гете, Ат —— а!+ 1Ьт, Аз = аз+ 1бз, Аз — — аз+!Ьз, ... Будем иметь: ф(гги) Угз!пб — )ггсоз о+а б+Ь,1пг+ — з!пь — з созВ+ г г + — з!и 2 — — ' соз 20+ ... = а 0 + б 1и г— аа ь 2гз 2гз — 1 — — соз 0+ ба+ )гГз а +ага Ь г г з1п 0 — — ' соз 20+ — ' з!и 20 — .. аа 2гз 2гз Так как окружность (г(=гс является одной из линий тока, то функция ф(гетз) должна сохранять постоянное значение при г =)с и любых значениях В. Из найденного разложения для ф(ге!а), сходящегося при г~Р, следует, что мы удовлетворим поставленным условиям, если положим: а,=О, бз+)гус =О, аз+Пс -О, Ь,-О,,=О,... При таком выборе козффициентов будем иметь: У ( ) = 1Ь, (.п + (и — Л ) + ( + ) (и+ Л ) Лз г (Ьт — произвольное действительное число).
для производной ут(г) находим выражение 1б, у ((У+ Лг) )оз г гз откуда 1" (г) аг = ~ — = — 2иЬг, гбт яг г !с! !з! 21а 13. овщви вишвнив задачи ов овтикхиии кгтгового цилиндга 323 1 324 гл. х. отовэажвния посгвдством аналитичяаких екнкций Поэтому поток жидкости через окружность (а ~ г равен нулю, а циркуляция скорости вдоль той же окружности равна — 2ядг Выбирая надлежащим образом Ьь мы можем получить любое, наперед заданное значение Г циркуляции Г: — 2к0~=1', откуда 10т —. Следовательно, У(л) можно 2иг ' ааписать в виде.' У(а) — 1. + (и — Г ) + Г (и+ Лг) )(з 2кс з +с, (16) где мы ввели еще произвольное постоянное слагаемое С.
Комплексный потенциал представляется здесь в виде Г куляционного течения — (.п л, соответствующего вихрям 2яг в начале координат и в бесконечно удаленной точке, и куляцин ((у+1 ))1 суммы чисто цирс интенсивностьюГ теченив без цир- ут (2) — у (л) = — + — + откуда $У (л) — У (л)] йл ~ т =* 2к)ст, т т где т — произвольный замкнутый контур, содержащий внутри окружность ~л(ы~Я, Так как циркуляции двух скоростей вдоль 1 должны быть равными между собой, то йе ~ [У, (л) — У (л)! ал:= — 2к)ш сд т О, т т. е. ст является действительным числом. Для разности комплексных потенциалов ут (а) — у(з) получаем: сз сз ут(з) — У(г) с, + с, ).п л —— я 2зз и для разности их мнимых частей, т. е. функций тока.' Ь(г, О) =!ш (ут(л) — у(л)] 1 + с 0 — — соз О+ — з!я 0 — — соз 20+ — з1п 20 —...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
