А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Для функций Т(а) и Р(е)=Т(з)+гр(з) выполнены все условия теоремы 5.5. Действительно, функция Т(г) не имеет особых точек на Г (она аналитическая в У) и не обращается в нуль на Г в силу (о.94). Этн условия также выполнены для функции 1 (з), так как !1'(е) 1г = [.Т(е)+ ф(а) ,'.=- ~ Т(г) 'г —, ~р(з),'г) О. Поэтому на основании формулы (5.93) получим дг,'У(з)+ф(в) / =~— )гаг [агй(У+гР)]г и дг[Т(г)] = — тат [агй У(з)]г. 1 1 Рассмотрим разность Ю [ Т ( ) + ф (2)] — М [Г (з)] = 1 = — час [агв(г+ф) — агк Т]г = 9-)Гаг~ агц (1+ — )~ .
1 ( аге(Т+гр) — аге у=аге — 1, 1+ц), ! Введем функцию го=1+ . Вак легко вндегь, прн обходе точ- Ч (а) (() ' кой з контура Г соответствующая ей гочка м опишет замкнутую 147 логлпиоыическии Вычет кривую С, которая в силу условия (о.94) будет целиком лежать внутри некоторого круга ~ ш — 1 ~ = ра(1 (рпс, 5.7). Тем самым то~ка ш= — О леакит вне кривой С. Следователыю, т'ат[атйто1г=-О, гго и доказывает теорему. П р имер. Найти полное число пулей функции с(«)= а — бга— — 2«+ 1 внутри единичного круга ) г (1.
Предсгавим функцию Е(г) в виде ги (г) =- г(г)+ гр ( ), положив 7(г) = — о«а+ 1 и ф(г) = «' — 2«. Тогда ~;7(г)'~, ! -- , :'— 5г'.'.. — 1=4, ~ ф (г) ,', г, = ~ - ' г , ', .'е . =- ! + , '2« ( , '«; = 1 = 3, откуда ) г (г) ,', ~ ) ', ф (г) ) ~,, = ! ) О. Следовагельно, полное число нулей в области ~«)(1 функции с(г) равно полному числу нулей функции 7(г), но последняя имеет, очевидно, ровно пять нулей: 6 Г-1- е а (й = О, 1. .. 4). Важным припципиальпыч следствием теоремы Руше является Основная теорема высшей алгебры. Лолпнолг и-ой стеиеьш имееги на комплексной ллосноснш ровно н нулей (с учегпом аде нра!нност!!). 1(о казательство. Пред- Рис. 5.7.
ставим полипом Е(«) = ач«л+ + а,г" т... + а„в видети(«) =г (г)+ гр («) положив,у(г) = ааг" ф («) =- гр(г) а, 1 а„! == а г" т+...+а . (.оставим отношение — = — — +...+ -а. --. 1 ч )(г) а, г ''' и, г"' Как легко видеть, при любых заданных значениях коэффициентов а,, аь ..., а„ всегда найдется тзкое значение Й„, что для всех значений ; г ~ =- Й ) Й„ имеет место неравенство (5.9б) В силу теоремы Руше из (о.95) следует, что полное число нулей функции ги (г) в круге ' « ~ = Й равно числу нулей в этом круге функции 7(«) = а„«". Но функция 7(г) = аяг" на всей комплексной плоскости имеет единственный и«кратный нуль — точку г = О. Отсюда в силу произвольности ЙтвЙа и следует утверждение теоремы.
ГЛАВА 6 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ Как при построении общей теории функций комплексной переменной, так н в ее многочпслеппых приложениях, в частности к решеин>о задач механикн и фнзикн, большое значение имеет изучение геометрпческнх своде>в копформпых отображеш>й, осуществляемых апалпыщсскпми функция>ш. В гл. 1 бь>ло введено поп>ппс копформио~о отобра>кения, облада>ощего сяойсгвамн сохрапепня углов н постояпсгва растяжеппя. Фундаментальной задачей теории копформпых отображешгй являегся с»едуюпгая.
Даны две обласги комплексной плоскости, и требуется пай>н функцию, осуществляющую взаимно одиозна шое и копформпое отоГ>ражепне одной области па другу>о. При агом, конечно, возппка>от вопросы об условнях существования н о>гпозпачпого определения >акой функции, В агой главе будут кра>ко изложены основные понятна теории копформпого огобра>кения. А)ь> также рассмотрим некоторые геометрические свойсп>а о>ображеш>й, ос)ч>гесгпляемых рядом зпалитпческнх 4>ун>гний, находящих наиболее широкое применение в прнложеппях. ГЗ 1.
Общие свойства 1. Определение конформпого отображения. В гл. 1 при рассмотрении «еометрнческого смысла модуля и аргумептз производной было введено понятие копформпого огоГ>ражеш|я. Выло показано, что если функция ю = †,Г(я) являегся однозначной н аналитической в окрестности некоторой точки г, н „Г'( „) ~ О, го о>ображепне, осуществляемое данной функцией, в точке «я обладаег свойствамн сохранения уг.тов и постоянства раста>ко>пп>. То есть угол между любыми двумя г.чацкими кривыми, пересекающимися в точке зм равен и по абсолютной величнпе и по направлеппю углу между их образаьпи на плоскости и> в точке ай=>(д,), а бесконечно малые линейные алел>енты, выходящие из точки г, преобразуюгся подобным образом.
Нто означает, что при рассматриваемом о>оГ>раженин любой бесконечно малый треугольник с вершиной в точке з, преобразуется в подобный ему бесконечно малый треугольник с вершиной в точке п>е 149 ов!цце свойства ч г! О!метим, шо в силу общих свойств зиалижшеских фуггкций ") в окрест!ости гочки игг оггрс.телег!а одиозпа гиая аналит!веская фупкция з =-- цг (и). ! ем самым между окресгиосгями !очек еь и ягг усгаиовлеио взаимио однозначное соответствие. Введем следующее груггдзмеиталшгое определение. !гзагг.ггно однозначное отображение облосли У колгплексной плоскоспш з на обласнгь й колгплексной плоскости ю называется конфорчнылг, если это огпображение во всех точках - ~.Ф обладает гвоггппвалиг сохранения углов и постоннства распгяженги7. Иодчеркием, гго данное оиределеиие подразумевает иеирерывиость рзссмз гриваемого о ! абра жеиия.
Из предыдущего ясно, что ири коиформиом отображении области У иа область 6 бесконечно малые плоские фигуры области У преобразуются в иодобиые им бескоиечгю малые фигуры области б. Также легко видеть, шо ири коиформиом огобрамгепии сохраняется свойсгво взаимной оргогопальпосп! сисгемы кривых из плоскости. "(ейсгвигелыго, пусть и области у плоскости е (е=х+гу) заданы два взаимно оргогоиальиых одггоггарамгегрнческггх семейсгва кривых гр(х, у) = с и т!г(х, у) =. с, иричем через любую точку области 5 иро! ходят по одиой кривой каждого ссмействз. 1огда при коиформиом отобрзжеиии области У иа некоторую область 0 плоскости т (гг .=- и+ гтг) образы давим х кривых из плоскости т — кривые Ф(и, в) = с и '!" (и, ю) = с — иа осиоваггии свойства сохрапеиия углов такгке буду! взаимно оргогоиальиыбс)то означает, что если в обласги У виедеиа некоторая оргогоиальиая кршюлииейизя сисгема координат, то ири коиформиом отображеиии эга система координат перейдет гаггтке в оргогоиальиую систему.
Выясиим теггерь, какиаш свойствами должиа обладать функция комилексиой иеремеииой для го!.о, чгобы отображение, осуществляет!ос этой фушгцией, было коиформиым. Имеет место следукицая теорема. Теорелга б.г. Пусть функция г"( ) нвлггется однозначнои и однолггггггнгггг аналпгпичесьой фунгсцией в области У и г' (з):ф О ггуггг «е= У. Тогда функции г(з) производит гсонфорлгное огпображсние облатпи,9 на обласпгь 0 колтлексной плотсости иг, ггрсдтпавлнюигую собой обласпгь значении функции я=г'(в) при е е= у. Доказательство. Дейсгвигельио, в силу условия г'(з)„-е:О ири е е= й отображение, осущесгвляемое функцией Т(з), во всех точках обласги 5 обладает свойсгвами сохраиеиия углов и иостояиства растяжеиий, что и доказывает теорему. Игак, условия аиалитичцосги, одиолистиости и отличия от нуля ироизводиой фуикцив комплексной переменной явля!отея достаточными условиями конформности отображения, осуществляемого этой *) См.
гл. 1, стр. 33. 150 !гл. в КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ аге Лш, — аге Лад = агп Л., — аге Лг, (6.1) Лгиь, Ла~д ' Лед Лад ~ (6.2) где Лг„= гд — «в и Л«, = га — г, суть бесконечно малые линейные элементы, выходящие из точки гь, а Лш, и Лш. — Нх образы (рис. 6.1): гг йтг гг йхг Ув Ряс. 6.1. Заметиьг, что в силу (6.1) соответствующие равны не только по абсолютной величине, Л гид Обозначив аги — через а, из (6.!) найдем, Лгд углы в точках «ь и гиь но и по направлению.
Лт, что и аги — =а. )Аей- Лгд ствительно, аги — ' = аги Лшд — агя Лг, = агп Лгпд — аги Лг, = аге — =а. (6.3) Лгид Лю, Лг. Лг, Из (6.2) и (6 3) получим, что с точностью до бесконечно малых величин имеет место соотношение Лтд Лтд — = — = )гею Лг, Лгд (6.4) В силу произвольности выбора точек гд и г, в'окрестности точки «, соотношение (6.4) означает, что существует предел разностного огиоЛш шения — -- при Лг-+О. Этог предел по определению является произ- фушгпией. Естественно постзвить вопрос, являются лп эти условия необходимыми.
г)а этот вопрос отвечает следующая теорема. Теорема 62. Гугть функция Г'(г) огугцетивляет конфорлгное оигобралгенгге облт'ти 5 колгилексной илогкогти «на область 0 колгплексной гглоскогти чи и ограничена в Р, Тогда функция Т(г) является однолистной и аналитической в обласгии Э, причем Т'(г)~=0 при г ~ Уе д(о к аз а те л ь с т в о. Так как отображение, осуществляемое функнией у"(г), является конформшш, то оно является взаимно однозначным, и в любой точке г, е—: . -" выполняются свойства сохранения углов и постоянства растяжений, Следовательно, для любых точек гд и принадлежащих окрестности точки «ь, с точностью до бесконечно малых величин выполняются соотношения зц ОБЩИЕ СВОЙСТВА ззодззоп функции У(з) в точке е . Так как Ф:ф О, то эта производная отли ша от пуля: !!ш д =У (зэ) Ф О. (6.6) л -БЛг Точка еэ — произволь:зая точка области эг, поэтому из (6.6) следует, зто функция р(з) являегся аззалпгической ") в области э и,г'(г) ЕЛО нри ге=чья.
Однолистность у(г) следуе~ из взаззлзззо!! одиозначносги озображення. Теорема доказана. И гак, конфоржное отобразкенпе области и колгплексной плоскосвги з на об,гость 0 колгплел сной плоскости гп осугаествляетсзг толысо однолистны.ищ аналитическалги функция.игг ко.иплексной перел енноп с произвог>ног!, отличной огп нуля во всех зпочках обласппг,гг. Озззетгззз, что условие г"'!В) ФО всюду в области 3 является иеоб:содимьыз, но недосгаточным условием коиформносги огображения области г иа область сг, осузцесгвляемого функцией г(э). О ~евзздззо, если функция )( ) являетсч анагзззгззческоп в облэсз.и 3 и г' !-) ~ О всюду в У, но функция Р( ) не щзляется одззолистззоп в 3, то отображение, осуществляемое этой фузззкцззеи, не будет взаимно однозначным, а тем самым не будет и конформным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
