А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Таким простейшим примером является функция ш=з4, заданная в полукольце 1=-!г/ 2, О.=-=' —.:..агй з=-и. Эта функция аналитична в данной области, и щ'=4гэ~ О вщоду в даинолг полукольце. Однако эта функция отображаег данное полукольцо а обласгь 1» из~ =-16, О. агйиз~ 4п, т. е.
обласгь, дважды покрывающую соогветспзующее кольцо на плоскости ш, чго и нарушае~ взаимно однозначное соответсгвие. Итак, однолистность о.шозначнои аналитической функции в области 3 является важгзеишим условием конформного отображения. !зак булез. показано низко (см. теорему 6.3 — принцип взаимно однозначного соответствия), это условие является необходимым и досгагочным условием конфорлзности отображения. Как было огьзезено выше, свойство сохранения углов означаег, что сохраняется не только абсолкзтиая величина углов между кривыми, пересекающимися в точке .э, и их образами, но и их направление.
Отображение, нри котором сохраняются абсолютные величины >~лов между кривыми и их образэми, но направление углов меняется на противоположное, нэзываегся конфор,янылс отображенгге.зг второго рода. Рассмозреиное выше отображение называется конфорлзнылг отобрадкениеги первого рода. !!егр>дно показать, что конформное отображение второго родэ осуизесгвляется функциями комплексной переменно!1, являющимися комплексно сопряженными аналийзческим функциям с озличнод от нуля производной. )1еястззитегзьззо, пусть функция ю= г'!з) осуществляет конфоръшое отображение второго родэ некоторой областзг,У~ ") Сзз. сноску иа стр.
32. конФОРмное отоввлжение 1гл. а комплексной плоскости г на обласгь 0 комплексной плоскости ж Рассмотрим функцию ьвг= ю', огображаюшую область 0 на область 0Я комплексной плоскости гзн Очевидно, геомегрический смысл последнего отображения заключается в зеркальном отражении области 0 относительно действительной оси и плоскости мь Но при зеркальном ограженни направление всех углов меняется на противоположное при сохранении нх абсолютной вели пшы. Это означает, что отобрзжение области У на обласгь 0'"', осуществляемое функцией гр(з)=гзг= гв=Г(з), з а= 3, (6.6) является конформным отображением первого рода.
Тем самым функция гв(з) должна быть аналитической в области 5, причем ср'(з) ~О, г ~ 3, Но из (6.6) следует, что у(з) =гр(з), что и доказывает высказанное утверждение. Ло сих пор мы предполагали, что производятся конформные отображения огращиченной области я на ограниченную область О. В некоторых случаях приходится рассмагривать отображение окресгности точки з, на окреспюсть точки ю = оо (или наоборот). При этом мы будем называть данное отображение конформным, если окрестность точки з„коггформно отображается па окрест- 1 ность точки ~=О, где ~ =- —.
Аналогично определяется конформное отображение окрестности точки а=со на окреспяость точки а=оп. 2. Простейшие примеры. В предыдущих главзх мы уже рассмотрели некоторые геометрические свойства отображений, осуществляемых рядом элементарных функций. Выясним теперь, являются лп этп огобра>кения конформными, и если да, то в каких областях. Как легко видеть, линейная функция я=Д(з)=аз+Ь (а=~О н Ь вЂ” произвольные комплексные постоянные) осугцествляет конформное отображение полной комплексной плоскости з на полную плоскосгь ш, поскольку этз функция однолистна и ее производная „г" (з) = а отлична от нуля во всех точках плоскости з.
Чтобы убедиться в сохранении конформности огображепия окресгностн точки з.††со на окрестность точки ю = оэ, положим (следуя сделанному выше 1 1 замечанию) г= .- и ~=, Функция гв=аз+Ь перейдет в функшпо , которзя осуществляет конформное отоорзжение окрестносии а+ьг ' точки 1=-0 нз окресчпосгь точки ~=О (точка г= О является пра- 1 вильной точкой этой функции, и ~'(1)~,,= ФО1. , -ь — и Выгце мы видели, что геомеарпческнй смысл огображения, осуществляемого линейной функцией, заключается в подобном расгяжении и сдвиге плоскости .. Поэтому данная функция можег быть применена для построения копформных отобрзжепий подобных фигур. При мер 1.
Построить функцию, осуществляюгцую конформное отображение круга з — 1 — 1; == 2 на единичный круг ~ тв1-.- 1. !53 Ов!циг своиствА Тзк кзк области я и 0 представляют собой подобные фигуры, то задача может быть решена при помощи лииевной фупквш, которая осуигесчвляег подобное рас~ял<еппе илоскос~и г и сдвиг началз координат.
Как легко видеть, искомая функция имеет вид ш =.. а (з — ! — г), ! где , 'а != —, а аргумент комплексного числа а может иметь лнабое 2 ' зиачепие, определяя поворот плоскости ти вокруг точки я=О. Рассмогрим сзеиепную функцшо ы=- г(з)=з", где л) 1 — целое число. Как следует из рассмогрепий, проведешаых в гл. 1 и 3, эта функция осуществляет взаимно одиозиачпое отображение области Рис.
6.2. 2п своей одиолпстиости — сектора ф, -'агд.г(фа+ — — на полн>ю пло- д скость аэ разрезанную по лучу агКш=ггф„. Ее производная у'(г) = =- лгл ' отлична от нуля и ограничена иегову внутри даииого секгора и в точках его границы, за исключением гочек з = О и з = со. Поэтому данная функция осуществляет коиформгюе огображеиие области внутри указанного сектора на разрезаииуго плоскость ю 3!юбзя бесконечно лгзлая плоская фигура, лежащая внутри даиного сектора, переходит в подобную еи бесконечно лаалую фигуру на плоскосги ю, например параллелограмм АВСЙ, сторонами которого являются координатные линии полярной системы координат (рис. 6.2), перейдет в подобныи ему бескоиечно малый параллелограмм А'й'С'тУ, с~вронами которого также являются координатные линии полярной сисчемы координат на плоскости м.
Однако в граиичнои точке з = О коиформность отображения нарушается. Де!!ствительно, рассмотрим кРивые У, и Тз лежащие внУтРи данного сектоРа и пеРесекающиесл в точке а=О под у~лом ~ра (рис. 6.3), Как легко видеть, функцией ы=в" эти кривые переводятся в кривые Г, и Г„пересекающиеся в точке м = О под Углом гыз = лгаа ~ гРа. Тем самыл~ бесконечно конФоямное отовиаженив [гл. 6 малый треугольник с вершиной в точке г == 0 данной функцией отображается на треугольник, который уже не является подобным исходному. Отметить что в точке «=-О, где наругпается конформ~ость отображения, производная функции у(л) — — г" равна нулю.
Продолжая наши рассмотрения, легко установить, что функция ш=гл осуществляет конформпое отображение обласги комплексной плоскости а, представляющей собой полную плоскость а, кроме точек а=О и а =сю, на л-лисгную риманову поверхность обратной функции а = .=- )и ш. Причем точкам . =0 и а=со, в которых нарушается копфорьшосгь отображения, соответствуют точки ш = 0 гг ш = со, являющиеся точками развегвления обратной функции. Рнс.
6.3. В общем случае степенная функция ш =2 (а) = а", где сг 0— заданное действительное число, осуществляет отображение сектора 2. -' — Ф(агиа< '-(1+1) (А=О,:~:.1, ...) своей римановой поверх- 2п а а ности (бесконечнолисгпюй для иррационального гх, конечнолистной для рационального дробного сг и обычной плоскости а для целого а) 2п на полную плоскость ш ~луч агих=-' л отображается на положи- сг тельную часть действительной оси). Ее производная г"'(а) = сгач ' сугцествует н отлична ог нуля всюду внутри данного сектора, кроме точек « = 0 и г = со.
Тем самым н эта функция осуществляет копформное отображение данного сектора иа разрезанную плоскость ш. В точках т = 0 и а = оо, так же как и для функции ш = г", конформность отображения нарушается. П р и и е р. 2, Построить функцию, конформно отображающую первый квадрант плоскости а(Ве» ьО, 1шг)0) на верхнюго полуплоскосгь ш(1ш ш ~ 0). Легко видеть, что функция ОБщие свойстнл яп г.ге а ) О и !г — произвольные действительные постоянные, дает решение этой задачи. В точках г= О и «=со конформность отображения нарушается. В гл. 3 мы рассмотрели отображение, осуществляемое показатсчьной функцией те=у!.)=е'.
Было показано, что эта функция осуществляет взаимно одиозна шое отображение любой своей области отполистности — полосы у,(!ш е(у,+2п плоскости г — на полную плоскость ш, разрезанную по лучу зги ш=у,. Так как произ««зная рассматриваемой функции /'(л)=-е' отлична от нуля всюду ««угри данной полосы, то это отображение является конформным, !'ак легко видеть, при да~игом отображении ортогональная сетка текартовых координат х=С„у=С, внутри рассматриваемой полосы переходит в ортогональную сетку полярных координаг )щ =- ес, аг« и = С, па плоскости те. Полная аналитическая функция )г(л)= е', я«ляющаяся целой функцией на плоскости -, осуществляет конформ«ос отобраткенне полной плоскости а на бесконечнолистнуго р«манону поверхность обратной функции я) л = Бп ш.
Заметим, что ко«- формность отображения нарушается в окрестности точек ш = 0 и к = со плоскости пу являюгцихся точками разветвления функции Бп ш, где отображение не является взаимно однозначным. П р и м е р 3. Построить функцию, конформно отображающую полосу 0(рве(а на верхнюю полуплоскость 1гпш)0, Функция, = — е отображает исходную полосу на полосу 0 ( а Веет(п. Функция ха= !лт переводит полученную полосу в полосу '!(!шея(п. Наконец, функция ш=е'- осуществляет конформное огобрзжение данной полосы на верхнюю полуплоскосгь 1ш ш ) О.
Поэтому функция, осуществляющая ззданное конформное отображение, может быть взята в виде 3. Основные принципы. Мы рассмотрели некоторые простейшие примеры функций, осуществляющих конформные отобрзжения, и с их помощью решили основную задачу конформного отображения для ряда простейших областей. Рассмотрение более сложных примеров требует использования общих принципов конформного отображения, к изложению которых мы переходим. При этом в ряде случаев ограничимся лишь формулировкой соответствующих положений, не проводя их строгого обоснования, что значительно выходит за рамки настоящего курса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
