А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Депствительио, если бы число особых точек в ограпичепцоп области было бесконечным, то согласно теореме 1.2 в это(Г области су>цествовала бы предельная точка данного миожества, которая >ем самым ие была бы уже иаолп- У роваииоп особой точкой, что противоречит условик!. Примерзмз мероморфиых функций являются дробно-рациоизльиые фуикпии, тригоиоме>рические <в функции (аз, веса. При доказательстве теорем о.3 и 5.4 мы предполагали, что -<7 -,а,а й х функция г"(х) пе имеет особых точек иа действительной оси. Рис. 5.4.
Ош<ако пезпачительцые допол- иигельиые рассмо>реиия позволяют применять докззаииые выше теоремы к вычислению песобствепиых иитегралов и в том случае, когда функция г(х) имеет несколько особых точек иа действительпоп оси. Проиллюстрируем выскззаипое утверждение па простом примере.
П р и м е р 4. Вычислить ишеграл (5.48) 1ЗТ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕгТЕЛЕННЬГХ ИНТЕГРАЛОВ Боспольэоадашнсь г]юрмулоп Эй.хера и своис гном четности подынтегральной функции, осуществим формальное преобразование Р егак 1 1= !ш ! — г(х = — !гпгт. 2 ! х 2 (5.49) Заметим, что интеграл Уг имеег смысл лишь как главное авачепие несобственного и1гтеграла второго рода Р): ( — Р и егах ( Г ег«" Г а~ах гг = 'тг. р.
1 — г(х = 1!пг 1 — пх+ 1 — г(х (5.ОО) к — га — Л Р Рассмотрии в верхнеп полуплоскостн 1ва 0 замкнутып контур Г, состояший из отрезков дейстаительноп оси [ — Й, — р], (р, Й] и дуг егаг полуокр>жностей СР, ] х!=р, и Сеп 'х ! =Й (рис. 5.4), функция— являюпгаяся аналитическим продолжением в верхнюю полуплоскость агах !ша)0 функции —, заданной' на полоагительной части деиствги х тельной оси 0 ( х ( со, в области, ограниченной контуром Г, особых точек не имеет. Поэтому на основании теоремы Кошгг — Р и ~ у (Ч) ггк =- ~ — цгх + ~ — ггх + ~ —, г(Ь" + ~ — ' ег~ =- О.
'Г -и Р с- е'аь — ЕГРРГгага+Ггтяя) ГГГр з= (5.52) с- Р Подынтегральная функция в (5,52) янляется непрерыиной функцией параметра р, и при р — 0 ее предел равен 1. Поэтому 1пп 1а = — гл. (5.5 3) Р-а Перейдя в (5.5!) к пределу прп р — 0 и )г — со, согласно (5.50) и (5ебЗ) получим ега ,', =- 'т'. р. 1] — г(х = гл, х (5г54) и)0, *) См. Выя. 2, стр. ЗВЗ. (551) Последнее слагаемое левон часгп (О.51) стремится к нулю прн )С вЂ” оо а силу леммы Жордана.
Рассмотрим третье слагаемое. Заметив, что в этом интеграле полуокружность С проходится н отрнцагельном направлении (по часовой стрелке), и сделав замену переменной интег. рироаанпя Ь = ре"г, получим ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [гл. 5 откуда —,Гх=, а~О. 51л ах н 2 ' л (б.эб) При а(О имеет место 4[ормула — г!х= — —., а~О, 5[п ах н х 2' о (б.бб) ! = ~ х"-тг'(х) ьгх, 0 ( а ( 1.
о (б.б7) !!усть функпия Дх), ззданная на положительной часги действительной оси, может быть аналитически продолжена па вс[о комплексную плоскость. Г!ус[ь ее аналитическое продолжение Г'(а) лвляегся однозначной аналитической функцией, за исключением конечного числа изолированных особых точек аь (2 =1, ..., и), не лежащих на положительной части действительной оси, и з=оо является нулем не ниже в чем легко убедиться при помощи изь[енения знака у а в формуле (О.бб). 4. Случай многозначных функций. Во всех предыдущих рассмотрениях мы фактически основывалпсь на формуле !(Оши, справед- линой для однозначной апалитпчев' ской функции.
Следовательно, рассмотренные методы можно приме- 6 нять лишь тогда, когда аналитическое продолжение 7"(а) функции Д(х) Р с действительной осп в область, ограниченную контуром интегрироа=[1 ванна, является однозначной апалиБ~ р х тической фупкнией. В тех же случаях, когда полная аналитическая функпил гч(з) оказывается многозначной на полной комплексной плоскости з, надо так выбирать контур интегрирования, чтобы внутре Рис. 5.5. его не содержалось точек разветвления функции е (г), и рассматривать лишь однозначную ветвь у(г) полной аналитической функции тг(г), являющуюся непосредственным аналитическим продо.чжением функции у(х) в комплексную облас~ь. Эти соображения позволлют распространить рассмотренные выше методы па ряд несобственных интегралов, часто встречающихся в приложениях.
Рассмотрим несколько типичных случаев. 1' Интегралы вида 139 вычисление определенных интегралов первого порялка функпии т(а), а точка а=Π— устранимой особой !очков. Фупкпия гр(а)= " 'У(а) (5.50) в области У (О(агда(2п1, прелставляющей собой плоскость =. с разрезом по положительной части действительной оси, очевидно, является аналитическим продолжением полынтегральной функции, совпадающей с ней на верхнем берегу разреза (атее=О). Функпия гр(з) является олиознзчной функпией в области 3, и ее особые точки совпадают с особыми точками г„функпии г(з). Рассмотрим в области Т замкнутый контур Г, составленный из отрезков действительной оси 1р, Й) на верхнем и нижнем берегах разреза и разомкнутых окружностей Ср,;а,=р, и Сл, г;'=Й (рис.
5.6). По основной теореме теории вычетов и р (гь) г(~. ~ ха — ту(х) ! + ~ гьа-ту(ьг) ~ге+ ~ ьга-ту(р Г р с.~ л + 1 1" губ)г(1=2Л1ХВыч (а"-гу(а), а,), (5,59) ср ь=! Рассмотрим кажлое из слагаемых левой части равенства (5,59). ЛИ" г, )уя = ~ (я тг(1)г(В =- — 2пй=2пЫЙв ' — О, (о,60) так как по услови!о в окрестности точки а=со для фупкпии Г(а) М имеет место опенка ! г"( ))с —,. Третье слагаемое в (5,59) представляет собой ингеграл по нижнему берегу разреза, где аге з=2п, т.
е. а=х е"Я(х)0) и г"-! = х"".е!Явив!!. Поэтому р и ~ г" 'у(г)г)~= — е""!" ы ~хя ях)ьгх. л р (5.61) Паконеп, ~ ~" тг"(в)в!ь ( Мтр" !2пр —.О, с- р О р (5.62) ~ хч-!Дх)г(х= ' ~Г~ Выч(ач гУ(е), еь). (5.63) в ь=! так как в окрестности точки а=О имеет место опенка ~Да)1(тИг на О. Перейдя к пределу в (5.59) при р- 0 и Й вЂ” со, на основзнии (5.60) — (5.62) окончательно получим !40 (гл теОРия ВычетОВ и их пщ(ЛОженР!я П р и ив р 5.
Вы щслить интеграл Е х%1 — (( -, О<а< 1. 1+х (! (5.64) Подынтегральная функция в (5!.64) удовлетворяет всем перечисленным выше условиям. Поэтому 2л( гаи 1 1 2л(е'лш 1' л ! = — - — Выч[ —,— 1~ =- ', =- . ' . (5.65) 1 ев(яи ' ~1.1 г' ~ 1 — р эл э(н ал 2' Интегралы вида "") ! ~хч 1(1 — х) иг'(х)вх, О<а<1.
о (0.66) Пусть функция Дх), заданная на отрезке действительнои оси (О, 1), может быть аналипшески продолжена на всю комнлексную плоскость. Пусть ее аналитическое е' Продолжение является однозначнон аналитической функциеи, за исключением конечного числа изолированных особых точек гэ (и = 1, Р 2, ..., М), не лежащих на отрезке О ==- х ==- 1, а точка: = со— г=у устраннмая особая точка функции — г" (з). Тогда и(пеграл (5.66) лещ(о может быть вычислен методами, анало(ичными разобранным вьнне, Заметим, по аналип(ческое Продолжение цодьипегральной функции Ф(з) = . (1 —.) г'(г) имеет дне точки развегвления: г = О и =1. Точка а=со является Рве. 5.6.
устраннмои особой точкой функции Ф(-). Йеисгви(елы(о, полный обход по окружности достаточно большого радиуса, содержащни вну грн обе точки разветвления а=О и г=-1, не меняет значения функции Ф( ). рассмотрим область уу, Представляю(цую собой Полную плоскость з с рззрезом но отрезку дейспппельнод оси 10, 1). Вегвь функции Ф(з), совпадающая на верхнем берегу разреза с подын(егральнои функцией (5.66) действительной переменной х, является однозначной аналитической функцией в У. Выберем в 3 замкнутый контур Г, сос- *) Как легко видеть, данный витеграл с помощью замены у= — может 1 — х быть сведен к иигегралу типа (5,57), однако в ряде случаев проще произвести непосредственное вычисленве интеграла (б.бб), что н делается в этом пуикге.
141 ВЫ'!НСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ И!ПЕГРЛЛОВ аояшин из обоих берегои разреза [О, 1), замьнгаюших их окружностей С„, !!;:=р, и С„, , '— 11=--р, достаточно малого радиуса р и окружности Ср,, :~ =й, содержашея внутри отрезок (О, 1) и все особые точки функции у(е) (рис. 5.6), По основной теореме теории вьшетов 1 — р ~Ф(с)г!с= ~ х -1(1 — х)- г"(х)агх+ ~ Ф(с)сгь+ + 1 Фа (!+ 1 Ф(~) 7~+ ) г!1(-) 7~ —— шр с- с'- е = 2пг е, Выч !Еа 1(! — е) а 7" ( ), ее). (5.67) е=! Рассмо~рим каждое слагаемое в левой части раненсгва (5.67).
По условии -=оз — усгранимая особая точка г"(е), г. е. в окрестности е = ею имеет место разложение У(е) = а.+ — ';* +.. (5,68) где а„= 1!т г'(е). е аз Рзссмотрим фуиннию ! ' е Ра ,р (е) = г ' 1( 1 е) - = !' е '11 — е) (5.69) гр(з)= + ф (е (5. 70) где ф,(г) — ограниченная аналитическая функиия в окрестности точки = со. Отсюда для разложения функдни Ф(г) в ряд Лорана в окресгности точки е= — со получаем выражение ясла ф (1! Ф (г) = а„— + —, (5.71) где ф(г) — ограниченная аналитическая функния в окрестности точки а =ос, Из (5.71) находим Выч !Ф(е), сс) = — аее'л". (5.72) !1озтому ио формуле (5.!7) Ф (В) е(В = 2л!а,е'"". с„- (5.73) являющуюся указаннои выше ветвью фуикншч Ф(а)17(е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
