А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Пусгггь функцпн у(х), заданная на всей дтгствительной осп — ОО(х(со, лгожелг быть аналитически продолгггена на верхнюю полуплотсость !ги 2-.-. О, пргнем ее аналптпчесл ое продолжение, функция у" (2), удовлетворяет условиям лемлгы 1 п не плгеет особых точек на действптельнои осю Тогда несобственный' интеграл первого рода ~ у(х)агх сУществует п равен ~ у'(х) ах= 2пг, ~Х" Выч1У(2), 21 (о.31) где ь — особые лгочкп функцгш у'(2) в верхней полуп.госгсостп.
г(о каза гель с гв о. По условию теоремы функция у(2) в верхней нолУнлоскости имев~ конечное число особых точек гь, ИРичелг все они УдовлегвоРЯют Условию,' гь ( ( й,. РассмотРим .замкнУтый контур, состояший из огрезка действительной оси — й х:- й (й ) й,) и нолУокРУжности Сп, ~ 2 ' = й, в веРхней полУнлос кости. В силу осгговггой теоремы теории вычетов и и $ у(х)с(х+ ~ Т(2)г(2=2Л1 ), 'Выч!г( ), зь).
(5.32) — и сп ь=! хг+! ' (5.33) Аналитическое продолжение иодынтсгральной функции в верхнюю 1 полуплоскость функция )"(2) = —, очевидно, удовлетворяет усло- 1 2'+! ' Так как выполнены условия леммы 1, то предел второ~о слагаемого В ЛЕВОЙ ЧаСГИ (5.32) Прн й — ьоо раВЕН НУЛЮ; ПраВая ЧаетЬ (б,32) при й й, от й не зависит. Огсюда следует, что предел первого слагаемого сушесгвует и его значение определяется формулой (5.31). '1'еорема доказана. П р и и е р 2. Вычислить интеграл 132 ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЧО«КЕНИЯ [гл.
5 виям теоремы 5.3. Ее особыми точками в верхней полунлоскости , п.~-гаь являются точки .ь т —.— е 4 (й = О, 1), причем обе эти точки— полюсы первого порядка. Поэтому =2П~" ~'. "1-".!='" "1(= =-2п~ [ ',! е=е 4 е=.е (5.34) 3 а м е ч а н н е 1. Если функния Т(х) является четной функнией и удовлетворяет условиям теоремы 5.3, то ~ Т(х) а«х = н( ~~ ', Выч [ Т(г), гь).
а ь =-! (5.35) Иш ~ е"'г'(Ч)г(гь=О, Н се сй (5.36) где Сй — дуга полуокружностгг ' 51.— — )4 в верхнеи полуплоскости г. Л о к а з з т е л ь с т в о. Условие равномерного стремления Т(г) к нулю означает, что нри [г: =77 имеет место опенка .Т(г) (1«я .= =77 (5.37) где ря — «-О нри 14 — «- -о.
1; помощью соон1ошення (5.37) оненнм исследуеьнвд1 шпеграл. Пделаем замену переменной, положив ~= — )тег", Действительно, если Т(х) — чеп4ая функдия, го ~'Ьх)й =,' ~ Ьх)бх, откуда и следует формула (5.35). 3 а и е ч а н и е 2. Очевндно, имеет место аналогичная теорема и в том случае, когда аналитическое продолжение функени Т(х) в нижнюю нолунлоскость удовлетворяет условгеялг леммы, аналогичной лемме 1. 3.
Интегралы вида ~ еье Т(х)аГх. Лемма Жордана, Вычисление следукинего важного класса несобственных интегрзлов с поьеонтью теории вьшетов ошювано на Применении так называемой леммы Жордана, к доказательству которой мы сей ~ас Перейдем. Лемлса 2 (лемма Жордана). !)усть функцггл Т(г) является аналптгсчесьгой в верхней полуплоскосгпгг 1ш ° ) О, за исключение.и конечного сисла ггзолщ«ованных особых точек, и равно.черно опгносптельно агах (О == зги = л) стремится к нулю при [г [-«-со. Тогда при а) О 133 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ З 21 и воспользуемся очевидным соотношением 2 21п гр == --гр и и при 0 гр 2 (5.38) Тогда получим ~ еы.1(„") Г(Е ( рй.
)с ~ , 'е" ь ' игр = сй в — р>, Я ~ е — ай>>пч >1>р — 2Р я ~ е — ай>>пч г(>р ~ о о 2ай ч..2ий )с ') е . Ар= -'1 р, (1 — е — 'й) — «О, а о й аа (5.39) где Сй — дуга полуокружпосги ! з ~ = )с в Рис. 5.3. прзвоя полуплоскости Ке г О. Формула (5.40) и ряд последуя>щих, в частности, будут широко использованы в гл. 8 при вычислении различных интегралов, играющих важную роль в оперзшиоппом исчислении. За меч а ни е '2. Лемма Жорданз остается справедлпвой и в том случзе, когда функния у(2) удовлетворяет сформулированным выше Условиам в полУплоскости 1п> з - -Уп ( 1>» — фиксиРовзнное число, которое может быть как положительным, так и отрипзтельным), а интегРиРованпе пРоизводигсЯ по ДУге полУокРУжпости ) з — 1ип! =)с в полУ- плоскости 1>п г '.:-. »>и Доказательство проводится аналоп>чно предыдущему, причем прп оиеп>се интеграла следует сделать замену переменной интегрирования с = йег" + (уп.
по и доказывает лемму, 3 а и е ч а и и е 1. Если а( О, а функпия у'(д) удовлетворяет условиям леммы Жордана в нижней полуплошгости!Гп 2=-.0, то формула (5.36) имеет место при шпегрировапии по дуге полуокружпопн Сй в нижней полуплоскосги з. Аналогичные утвер>кдепия имеют место и при а = ->- 1а (а) 0) при интегрировании соответственно в правой (йе г-'--О, рис. 5.3) или левон (Ке з =- 0) полуплоскости г. Доказательства этих утверждения проводятся совершенно аналогично предыдущему, и мы предоставляем их читзтелю. Выпишем только важную для дзльнебп>их приложений форму е=З леммы Жордана, отпосящук>ся к и>пегрпровапию в правой полуплоскости: 1ип ~ е аьг'(Е)с(б=О, >х)0, (5ЛО) с' Й (34 (гл, а теопия вычетов и их пяиложения 3 а м е ч а и и е 3.
Лемма Жордапа остается справедливой и при ослабленных условиях иа фуикцию 1(г). Пусть функция У( ) в верхией полуплоскости !ш )уа при ) г ' ) УУь рзвиомерио отиосительпо аргумента з — дуд сгреьдится к нулю при )г!-ьсо в секторах — (рь ( = агй(г — ду,) .=: фд, л — гра =- зги (г — дуд) =-..
л+ (рь и равномерно ограничена в секторе срд ч-' аги ( — дуд) л — фд где дрь грд " сря заданные положительные числа О.=..грь, ~рд, сра(- — и уд)уь. Тогда иитегрзл ~ ед"ьУ©агЧ по дуге Ся окружности [г — Ууд =Р, !юг-=уь ся стремится к нулю при а->О и й-ьсо. Для доказательства разобьем этот иитегрзл иа сумму У=Уд+У, + -+ У,+1 +У, иитегралов по дугам Сяч'(уд) !шг)уь, аги(г — Ууд)~ < 0), Сяь' (О ч аги (г — Уу,) < грд), Сяь (дрд( агй(г — Ууд) ~ л — дра), Сио (л — ддь ( агй (г — сУ,) ( л) и Ся' (Уд > ! в г ) Уь, зги ( — (У,) ) дд) и докажем схолимосп к нулю каждого иитеграла в отдельности.
Лля интеграла Уд получим [Уд , '- ряс-ьх 1([', где ЬЯ вЂ” длина кривой Сд['. При УУ-э-оо величина Гд[' остается ограниченной и стремится к зпачеидпо уд — уы Г1оэтодду Уд[-ьО при Уд-ьоо. Аиалогпчио У,-ь-О. Сходимосдь к нулю интегралов Уа и 1, устанавливается приемом, использованным в доказательстве леммы Жордаиа. 1(ля (пдтеграла Уа легко получить оцеику' ,Уа ((Се — 'ям'ч" Ус (л — дрд — дря), где !Д(ь)!< С п фь=ш(п[дрм <ра[, из которой следует, что Уа-ьО при Я -ь со.
Итзк, лемма Жордаиа имеет место при зпзчительио более слабых ограничениях иа фупкцшо У(г), чем в случае леммы 1. Это связано с наличием в подыигегральпой фуикции дополнительного миоя<ителя еыь, который при а > 0 обеспечивает достаточно быстрое убывание подыитегральиой функции в секторе 0 ( суд -.- агд (г — дуд) —.- л — Фь при (г ! — ь-со. Лелдма Жордаиа находит многочисленные применения при вьшислеиии широкого класса несобствеииых интегралов. Теорема 5.4. УУусть функция 1'(х), заданная на всей действительной оссс — оо(х~ со, лсожет быть аналитически продолжена на верхнюю полуплоскость (гпг=-О, а ее аналитическое продолжение У(з) в верхней полуплоскоспгп удовлетворяет условпялс леммы )Кордана и не илсеет особых точек на действительной ос(с Тогда интеграл $ есмлУ" (х)йх, аз О, сушествует и равеи еыьУ(х) с(х = 2л( 5', Гдыч [едьгУ(г), гь], (5.41) — СО ь=( где гь — особые точки функции У(г) в верхней полуплоскости г.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию теоремы особые точки гь фуикции У(г) в верхией полуплоскости удовлетворяют условию 4 г! Вычисление опРьделенных интегРалоВ !35 По лемме Жордана предел второго слагаемого в левой части (5.42) прп 77 — ~оэ равен нулю. Отсюда и следует утверждение теоремы. П р и м е р 3. Вычислить шпеграл ,! ха+ аг (5.43) Чтобы иметь возможность воспользоваться леммой )Кордана, заметим, чго в силу формулы Эйлера (о.44) Аналитическое продолжение подынтеграральной функции интеграла ', — функция е!" — удовлетворяет условиям теоремы 5.4 и имеет ге+ аг я верхней полуплоскости единственную особую точку г, = га являющуюся полюсом первого порядка.
Поэтому егаг, ! е 'а и 7 2 В„, [ ° [ 2 ° ' -аа (г' + ая ' [ 2га а Отсюда 1=ЕЕ1 = — ' -'. и а (о.45) Замечание 1. Если г'(х) является чегноп фун!Вщией, удовлетворяю!цен условиям теоремы 5.4, то прн а ) О ~7" (х) соз ах!ух = лВе1 ~ Выч [е!"7" (г), «[ = е й=! и = — л1т ~ Выч [ега"д (г), гг). (5.46) Заме ч а н и е 2. Если Д(х) является нечетной функцией, удовлепюряюшей условиям теоремы 5.4, то при а)О ~ 7 (х) згп аХ а!х = лКе ~~ Выч [егер(З), гг). о А=! (5.47) , 'гг,а-' йе. Рассмотрим в верхней полуплоскости г замкнутый контур, состоян!ИИ из отрезка действительной оси — )с .=х ( й, Й ) йе и дуги Сл полуокру>кносги ~ г ' = )г в верхней полуплоскостн .
По основной теореме теории вычетов й а егаг Г(х) г(х+ ~ е' ьд (ь) г1Ь = 2л1 ~Х~ Выч [е' '7(г), ге[. (5.42) — й с' и й=-! 136 !Гг!. 5 г! Опия вы'>егов >! пх пР>щоакс>и>я Мы доказали леммы 1 и '2, предполагая, что фуикцпя Г(х) имеет лишь конечное число особых точек в верхпеп плоскости. Однако, как лещ<о видеть, прп пезпачительпом изменении формулировок этих лемм опи остаются справедливымп и в случае бесконечного числа пзо. лироваииых особых точек фуш<пии г'(з). Потребуем, чтобы существовала такая пеограпичепво возраста>ощая при и — со последовательиость чисел )<„, ыо ва дугах полуокружпосгеи Сн и верхпеп полуплоскости выполиялись бы услов>и (5.29) илп (5.37) соогвегсгвепио, Тогда утверждения (5.30) или соогвегс>вецпо (52!6) лемм 1 и 2 будут иметь мес<о при условии, что предельный переход в рзссматриваемых иитегралах совершается по последовагелыюсти дуг Сял при п — ь со.
Очевидно также, что в случае существования соответствующих иптегралов мы можем распространить рассматриваемые методы иитегрироваппя и иа случая фуикцьп с бесконечным числом изолироваппых особых точек. Важпым классом таких фуикцип являются так пазывземые мероморфные фуш<ции. Функ<галя гсомплексной переменной 7(х) называется меуо.>горфной, если она определена на всей колгплексной плоскости и не и.кеет в конечной насти илоскоспш особых точек, отличных оп! полюсов. Как легко видеть, в любой ограниченной области комплексиоп плоское~и мероморфиая фуикция имеет конечное число особых точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
