А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

1 С~роя аналитическое продолжение функции Е (г) = с па! в г тсосцью степенньсх рядов, мы видели, что граница круга сходимости каждого ее элемента 7»(г) проходит через ~очку г =-1, особую точку этой функции. '!ем самым на границе круга сходимостп тобого пз построенных степенных рядов лежит особая точка аналитической функпип, к которой этот ряд сходится, Это свойство являегся общим следствием следу!ошей теоремы. Теорелса З.З. 77а грансссСе круга сходиглоспсп степенного ряда лелсссссс хотя бы одна особая точка аналсииической функ»(сссс со(г), к которой сходится данный ряд. Доказательство. Предположим, что все точки окружности С„круга К, сходнмости ряда у(г)= У с„(г — га)н являются прав=в вильными, т.

е. для любой точки г я= С„существует такое р(г) «О, что а общей части круга К, и своего крута сходпмоссчс ! г — г! ( р(г) соответствующий ряд ~, с„(г)(г — г)" сходится к 5(г). Пусть ран=а дпус круга К, есть (та. *) То есть в любой е-окрестностн каждой точки окружности ! г ! =1 вайдутся точки последовательности (г»,ы). 1ОВ тиылитичсское пподолжгннг,. элсментлщп~к чипкции 1гл. з Рзссмо~рпм функцию р(«), опре.гелеииую на окружности Стл Покажем, что для лкОбых двух точек ., и з па окружносги С„выполнено условие ~ р(«т) — о(тя) ~ == , '-, — «л! (ЗЙ 1) Действительно, предположим, что это условие пс выполнено, например, р(:з) — р(-,)=':, — =., +Ь,глеб) О. Тогда круч !« — «,'(о(«,) сходпмости ряда ~ гл(=.,)(- — «,)л.=- гг( ) лежит ппутри круга л =О ', « — «з'( р («з) сходимости ряда ~~ гл (=.О)(« — «з)л =-/з(«) (рнс 3! 1).

л=-О В общеи части этих кругов и круга КО оба ряда сходятся к однои и О оп же фУнкцип / («). Следователыю, фУнкциЯ Уз ( ) Явлается апалпгичегкпм продолженпехг функпии А(«). В)го означает, что в круге ) « —.,,'(р(«,)+6 определена аналитическая функция гт уз(«), совпадщощая с ~,(«) в круге ~ - — «,! (Р(«,). В силу тео- % 2 репы '! ейлора отсюда следует, л л(т,) «, что радиус сходимости рядз 11л да ~~ си(«т)(« — «ь)л не пеньи~в чем л=.з р («г) + б, ~то противоречит исходныл~ данным.

Итак, условие (3.74) ус.гаповлсно. Ряс. 3.! 1, Из этого условия следует рзв- номернзя непрерывность функции р (:;) па кривой С„. действительно, соотношение р («,) — р («,) р ( е выполняется для любого наперед заданного е)0, если только выполнено условие, «, —:, ', ( е. Таь как функция р(«) ) О, то она ограничена снизу и в силу непрерывности достигает на С, своей точноп нижней грани л) р(=):=-.Р(:О) = р, ) О.

1!оследпее неравенство имеет место, пегому по для всех « ~ СО выполняется строгое неравенство р(«))0 В силу едппствеппосги зналпгнческого продолжения можно угвер>кдатьл что в круге ~ « —.«О',( ЙО+рл определена однозначная апалигическзя функция Й(«), совпадзющая с функциеи у(«) в круге )« — «„,'(ЙО. Слеловательно, радиус сходимосги исходного степенного ряда ~„гл(« — «О)л должен быть Й„+р„, а не Й,. 11о это про- л —..О л) См. вып. 1, Отр.

250. 109 понятие пимлповоп попеохггости ц тиворечиг условию зеоремы. !1гак, предполоя'епие, гго все гочки граигшы кругз сходимосгп правпльиые, приводиг к противоречиго. Теорема доказана. Из теоремы 3.3 следуег, что раг!ггус круга с:сиди.иосиги стеленного ряда определяется рас<гггояггггс.гг от цснигра гходгг,ггосггггг до о,гггжайгасй особогг гггочкгг той акатппческой функции, к которой сходигся дагшыв ряд.

6. Понятие полной аналитической функции. Предыдущие рассмогреипя позволили построигь аиалипшеское продолжение функция гг(е), зздаггпоп в области Згг, пз болыпую обггасгь,~=-аг-(-.дя плп соответсгвующую рпмапову поверхиосгь. !!зк мы видели, можно РзссматРпвщь зиалигическое пРодочжеггпе вдоль цепочки обглзсгеп .ьгг, йм ..., 5„, имеющих обпгие части чч,ч г, в когоРых совп:гдаюг апалпгпческпе фупкшш уг(з), !я(=), ..., гь( ), заданные в областях 5г, Уь .., -ч„, При этою мы иолу гии в области .ь = ьг+ча+...+,У'„ или иа соответствуггггпей рпмаповой поверхности г( одпозиа гггуго апалпгпческую фуикцпю гг(з), являюпгуюся аиалгппческгыг продолжегшем функции уг (').

Если аиалитпческая фупкши Зг(с) первопачальпо задана и области .Ог, то, стРоЯ Разли шые пело гьп областей, выхо гггггггге пз области йг, мы можем полушпь зпалпгическое продолжение фушцип/;(г) пз различные обласги, содержагцпе область гм При этом сугггестве~гяьпг является попятив попцов аналитическая функции. Функцггя Р(с), полученная лутслг оналтли гссього ггродолзгсенгггг вдоль всевоз.яожных цепочек обласгггси, выходягцпх пз области .ьг лервоначальнозо задания аналигнгтесьогз функцгггг гг(а), назысоеигся полной аналгтгической функг!ггег).

Ее область определения гс' называется есгяесгггвенной облатиью сутегтвованггя полной анитишчесь ой функции. Согласгго только что проведепиым рассмотрениям есгествепиая область существования Й полной зггзлггтггческои фуикцяи Р( ) можег быль рггызгговоп поверхпосгью. Отмепгм, что аналитическое продолгкепие фупюши !г(з) за границу Г ее естественной области существования гт уже невозможно. При этом все точки этой границы являются особылш точкатги функции Р(с).

Это леп о доказать. Предположим, по то'пга «ь ~ Г является правильной точкой фуикции Г (з). В таком слуте, по определепяю правильиоц гочки, внутри круга — гг!(р( ь) сущесгвует пекогорая аналитическая функция Ф(-), соьпадагощая с Е(з) в обшей части данного крута и области А Но круг ! .— з„! ;р(з,) заведомо выходит иэ области .Ф, поэтому Ф(з) является аналитическим про.юлзгеппем ггоггпоп аналитической функции через границу ее естествеппов области существоваиия, что иевозможно. В расслюгреииых в предыдущих пуикгах примерах мы построили ряд полиых аггалпгпческих груг~кцпп и пх естественные области суигесгвовзипя.

'!'ак, есгествеикымп областями существовзиия полных 11О аналит!! [Геков пРО [олжвгп!е эл! маптлпныс Фтнкции [гл а П аналитических функций !Р и Еи =. являкгтся соответственно гг-лнстная и бесконечнолпсгпшя римановы поверхности; есгесгвеннои обласгью ! существования полной аналигической функпии — — полная ком! — 2 плексиая плоскость с вьгброшенноп точкой -.=- 1; естественная областью су[цесгвования функции [3.71), рассмотренной в примере 4,— единичныи круг ( =.

~г( 1. При этом в последнем примере область 3! первоначального аадания аналитической функции )"[[е) такова, что невозможно аналитическое продолжение фу.нкции г! [а) за грашицу Г! области У!. )тто и означает, по 7[[а) — полная аналитическая функция и ч[ — ее естественная область существования. Если же область сс! такова, что воаможно аналитическое пролог!жение,с![а) иа ббльшу[о область, то фуикпию г[[е) называют элелгеншося полной аналипгнчесмой функции Г[а).

Аналитическое продолжение 4[а) функции 7[[а), заданнои в области .Фг, на область ая, имеющУю с,У! общУю часгь в[я, бУдем называть неггосредспгеенныгг оналшпичесни.и продолж ениеги функции г'[[е). ГЛАВА 4 РЯД ЛОРАНА И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ В этоя главе будет изучено поведение одпозг1ачиод аналитическоя груншши в окрестности се изолированных особых точек. Знание этого поведения пе только позволяет глубже проникнуть в природу аиалитичсских функций, ио и находит прямое практическое применение в многочисленных приложениях теории функций комплексной переыеиног!. В предыдугцих глазах мы видели, какую большую роль играют степенные ряды и, в часы|ости, ряд Тейлора в изучении свояств аналоги ~вских функпий в области, где огсугсзвуют особые точки исследуемых функция.

Апалогичпую роль при изучении свойств аналпти~еских функций в окрествосги их изолировзиных особых точек играет ряд Лорана. В 1. Ряд Лорана 1. Область сходимости ряда Лорана. Рассмотрим ряд вида г )О (4.1) где,— фиксированная ~очка коьшлекспой плоскости, с„— некоторые комплексные числа, а суммирование ведегся как по положительным, так и по о~рншагельным значениям индекса л. !'яд (4.1) иосп! пазваппс рада Уооина.

Установим область сходимости этого рядз, Нля этого представим выражение (4.!) в виде ) с„ (- — га)" (г — гг)" ч =-О й .= ! Очевидно, областью сходимости ряда (4.!) является обшая часть областеи сходимости каждого из слагаемых правой части (4.2) Областью сходпмостп ряда ~„с„(г — з,)О является круг с центром в точке =-О некоторого радиуса Ят(как было установлено в гл. 2, значение Ят 112 Ряд ЛОРл1!л и изолпРОвлнпые ОсОБые ТО'>к11 )г.ч, 1 может, в часгиосп>, равияться иул!о или оескоиечиости).

Виутри круга сходимости этот ряд сходится к некоторая аналитической функции комплексиои иеремеииои Л(д)=,'У, .( —,)", ~в —.,,'«ЙР ь =-З оь Лля определения области сходимости ряда ~~ " „сделзем ааи †.1 (з — гь)" 1 мену перемеипои, положив 1; = — , Тогда этот ряд примет вид з — з~> ~~ е „~". '!'о есгь ои представляет собой обьшиыц сгепеииоц ряд, и=! сходящийся внутри своего кругз сходимости к иекотороя зиалитическои фуикции ц>(ь) комплексной перемеииои ь.

Обозпашм радиус 1 сходимосги иолучепиого степеииого рядачерез -., Тогда гр(д=- ~~', г,ди, )Ь'( 1, П =. ! (4 4) Воавращаясь к стзрой перемешши и полагая г)>(ь( )) =~в(з), получим Л (з) =- ч — —" —,, ' з — -ь ! ) Й; (4зб) (3 — зь)'" Ъ> Отсюда следует, что областью сходимосги ряда у — " — по от- (2 аьуь ь=> рицзтельиым стецеи!ш разности ( —;,) является область, впешпяя к окРУЯшости ) г — -и ) — — Йа (так же как и Й„зиачеиие Йг мовгег, в часгпости, равняться нулю или бескоиечиости) ()тзк, каждый из степе!шых рядов правой части (4.2) сходится в своей области сходпмости к сооп!егсгвующеи аиалпгическои функции.

Характеристики

Список файлов книги