А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В дальней!нем г .' «с зл мы рассмотрим ряд важных прис .-г ложепнй полученной формулы, з ~) сей ~зс введем енсе одно поня- У ь. тие — понятие вычега в бесконечно удаленной точке. Пусть точка « = ОО является изолированной особой точкои аналитичешсой фушсиии 1'(«). Вьс~сетолс аналптичегкои функисссс Д ) в точке «=Оэ назьсваеспен ко.яплексное число, равное значению интеграла 2лС ~ ° (Ь) и 2лс ~ ° (- сгде контур С вЂ” произвольный залсмнупсый конспур, вне которого функипя С(«) являеспся аналитической и не ишеегп особых точек, отлссчньсх от:о.
Очевидно, в силу определения коэффиссгсе~стов ряда Лорана имеег место формула Вьш [у" («), ОО/.=- — „. ~ у(() йс = — е !. (5.17) с ВЬШ!.Г ЬУНК!ЯИИ В ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКЕ 127 О<с!вяз, в чзстносп<, следует, Йо если точка .г = со является ус<рш<пмой особой точкой функции 7(«), то Выч17"( ), ОО( может ока еж!вся оьчшчным от нуля, в то иремя как вычег в конечной устра. зимой особой точке всегда равен нулю. формулы (5.15) н (о.!7) иозноляют доказать следуюп!ую теорему.
Теорема 52. !7усгль фу!нкцпя 1(«) являеглся аналиглпческой на полной ко,иллексной плоскослш, за и< ключеявел! конечного числа изолированных особых я!очек «„(1 = 1, 2, ..., <Ч7), включая и - —.=Оэ («к= ОО). 7'о«да ~", В ° (7(«),,~ = О. ь=! Д о к а з а т е л ь с т в о. Действи тельно, рассмотрим замкнутый конТур С, содержащий внуц>и все (М вЂ” !) особые точки =,, расположенные нв конечном рзссгоянии ог го <ки « =О. По теореме 5.1 (5.! 8) и — ! —. ~ 7"(~)<(с= ~ь Выч(7"(«), «ь] Формула (5.19) позволяет легко получить обобщение формулы !!Огни (см. гл. 1, ьч 6, формулы (1.59), (!.60)) нз случай неограниченной обласги. рассмотрим фуш<цию „Т(«), аналитическую вне замкнутого ко<ггура Г, являкяцегося границей ограниченной области А !!усть ясе точки à — правильные точки функции 7"(«), а точка « = .=- <Π— ее устранимая особая Точка.
Обозна~и!и 11ш 7( ) — — 7'(ОО). с- ь=! 1!о, в силу (5.17), интегрзл, стоящий слевз, равен вьшету функции 7( ) в тош<е «=-ОО, взятому с обратным знаком, откуда и получим у<нержденпе теоремы 5.2. Доказанная теорема иногда позноляет упростить вычисление инте<рала ог функции комплексной переменной по замкнугому контуру. 1!усть фунюпш 7(«) является однозначной и аналити <еской на полной комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и требуется вычислить ингеграл от 7"(«) но некоторому замкнугому кон<уру Г Если внутри Г содержигся множно особых ~очек функции 7'(«), то применение формулы (5.15) может бы<ь сопряжено с весьма трудоемкими вычислениями. 1!ри этом может оказаться, что вне Г функция 7(«) имеет лишь несколько особых точек «„ (/г =- 1, 2, ..., и), значение вычетов в которых, а также вы <ег в бесконечно удаленной точке определяются достагочно врос!о.
Тогдз удобнее вместо прямого вычисления искомого интеграла ио формуле (5.15) воспользоваться о<евидным следствием формул (5.1о) н (5.18): '! 7" (9) <19 =-. — 2н! ~~ ', В<яч ! г" («), «ь) — 2ги Выч 17" («), ОО). (5.19) г- ь=.! тгОРия вы'1гтов и их пРилОжения 1гл. 5 ! (р У(ОО), «, — внутри 1, 2:и' ~ .— 22 ( Х(О") /(«2) гя — впе Г, (5.29) Формула (5.20) и является обобщешге"1 ип1егральиод формулы Воши иа случай функции у"(«), зпалитическоп в иеограцичшшой области. ч 2. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов Доказзцпые в предыдущем параграфе теоремы находят мпогочис- лепные причепеппя ие только прп вышслеиии пигегралов от функ- ций комплексной переменной, ио п прп вычислении различных опре- деленных интегралов от функций дейспгигельпой перемеипоп, при1ем часто улается достаточно просго получить отвес и в тех случаях, когда применение 11ругих мегодов анализа оказывается затрудиптель- иым.
Рассмотрим ряд п1пичиых случаев. гв 1. Интегралы вида ~)с(сов О, 51пО) 226. Рассмогрим иптеграл ! =- ') !л (соз 6, зш 6) п6, (5.21) где й — рациоиал1,иая фупкпия своих аргумепгов. Интегралы типа (5.21) легко могут бы гь сведены к интегралам от апалятическоп функции комплексной переменной по замкиу1ому коигуру. Для этого сделзем замену переменной интегрирования, введя комплексную перемеииун~ «, сиязаппую с переменной 6 соотиошеипем «:== ггз. Очевидно, г!6 =- . 1 212 1 га;з 1 ! 11, . 11 1', со56= (с2 ы в 1)=, ~«+ — ', 51П6=,. г ' 2 ' 21 ' г!' 21, г,'' Прп изменении 6 от 0 до 2п комплексиая перемеипая = пробегаег ззмкпугыи контур — окружпосгь г .—.
1 в положительиом паправлеиип. Таким образом, интеграл (5.211 переходит в ипгеграл по ззмьиу- 11остропм впе Г фупкпию ф(«) —.—, где „вЂ” произвольная гочка ! (г) г — г ч комплекспоа плоскости. О 1евидпо, гго гочка: =- ОО является устрзиимой особой точкой и фупкцяи гр( ), причем Вь111ф(«), ОО) =- ==- —.У(ЕО) Если точка я лежит внутри 1', то функция гр(«) других особых точек пе пмее1.
Если то1ка „вЂ” впе Г, то « — — «„ является полюсол1 пе выше первого порядка функции гр( ), причем Вьш (ф(«), «„!=у ( я). Рассмотрим иитшрал ~ ф( )г)~=- ~ г!6, в котором коигур Г ! (?) 6 — г, 1' г. обходится таким образом, что область «осгаегся слевз. В силу формулы (5.19) получим вычислении опгедглсииых иитсп алов гому контуру от функции комилексиой иереме!шои; у ! 1 я1 1 11г!г )г (5.22) В силу общих свойств аналитических функции подьипегральная функ- ция в (о.22), являющаяся, очевидно, рациоиальной функцие!! а, + а,г+... + ачг" ) () ~аю (5.23) представляет собой функцию, аналипиескую внутри круга /г,=1 всюду, за исключеииеъг конечиого Х == и числа особь!х точек гы являю!цихся нулями знаменателя в (5.23).
Поэтому в силу теоремы 5.1 У= 2л '2гВыч Я(г), г,). (5,24) !'=- 2л 11п! [( — гь) «Р, (г)). (5.25) а (аг !)! г- г гГг ь ь=.! ия Пример 1. Вычислить иигеграл гл и ! а ~ ( 1. (5.26) 1+а сог 0 в Положив а= а!в, получим 1 1 г)г 2 (' аг а ( ! 1 г г 1 агг+2г+п' Особыми точками подыитегральпои функции являются нули зиамена- .Г! тсгш г,л — — — - -1- агг —, — 1. Эго полюсы пеРвого порядка. Так а ! а' как г, г, = — 1, то лишь одна из этих точек лежит внутри круга ,г:=1.
Как легко видеть, это — точка -,= — -+ 1тг . — 1. По- а Г а' эгому в силу теоремы 5.1 1 ! 1 ! 2л 1=-4л Выч~, -,~ = 4л ~ = —..'= — (5.28) 'гагг+2г+а а (г — гг) ~г=-г, 1' ! — аг Точки гь являются полюсами функции К (г), Пусть сгг — порядок и * (-'- ", 2,ъ=- ° ' 1" "«- ге «-!г~ч можно переписагь (5.24) в виде 1гл.
а ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ т! ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 2. Интегралы вида ~ Т(х) г2х. В атом пункте мы рассмотрпч применение теории вычетов к вычислению несобственных интегралов первого рода*) вида ~ Т(х)йх. Мы будем рассматривать тот случаи, когда функция /(х) задана на всея деиствительпон оси и может быть аналитически продолжена на верхнюю иолуплоскость так, что ее продолжение удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Этн условия будут сформулированы к' пихте в теореме О.З, т(ля дальнейших рассмотрений нам потребуются некоторые вспомогательные положения.
Лемма Т. Пусть функция, Т(г) нвлкстсл аналитической в верхней полуплосконпи 1гп г > 0 всюду, за птслюченпем конечного чпсла изолированных особых точек, и Рис. 5.2. сугцествуюн! такие положительные числа Й„Л и б, что длн всех точек верхней полуплоскостпп, удовлетворттюганх условию ) г»йь, имеет месгло оценгса ! т (г) ! с, ) г ' >)се, (5.29) Тогда 1пп ~,Т(') с(~ = О, с' сй (5.30) где контур лнтегрированнн Сл представляет собоа полуокруж- ность ,'г/=)т, !гпг 0 в верхней лолуплоскости г (рис.
5.2). Действительно, в силу (1,41) и условий леммы при й~)2ь ! ~ Дс)й",~( ~,' Т(е) ~ ав( — — = — — -ьО, сч сл ') Определение несобственных интегралов см. вып, 2, стр. 358. чго и доказывает лемму. 3 а и е ч а и и е 1. Если условия леммы выполнены в каком-либо секторе грт(атее(тра плоскости г, то формула (5.30) имеет место при интегрировании по дуге Сл окружносп!, Лежан!еп в данном секторе.
3 а м е ч а и и е 2. Условия леммы, очевидно, будут выполнены, если функния у(г) является аналитической в окрестности бесконечно ВЫЧИСЛЕНИГ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ З 21 Удзленной точки и точка 2= — со представляет собой нуль не ниже второго порядкз функции у(2). 2(ействителыго, в атом случае разложение функции у(2) в ряд Лорана в окрестности 2= ОО имеет вид У(2)=---+ =2+ .. =- —, с, с г г!г(2) 22 22 причем ~ ф (2)! ( М, откуда и следует опенка (5,29) нри б = 1. Лемма 1 иахоггит широкое применение при вычислении ряда несобственных интегралов вида ~ г"(х)агх. Теорема 5.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
