А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 26
Текст из файла (страница 26)
е. у (г) = ~ слг", пли ес,ш л = — со в зависимое|п ог выоора иоследовательиости ( „1-ьсо можно получись иоследовательпость зиачеиий (Дг„)), сходящуюся к любому Наперед задаииому пределу. Очевидно, доказа|ельство экяивалепгиос|и всех приведеииых выше опрсле юппй харак|ера пзолпровтпюй особой .|о'|ки г =- ОО мол|от бы|ь щоведепо так |ке, как и для случзя коие~||ой изолироваипой особой гочки. !сллссиоиккция изолировлнных ОсОБых точек !й! 1 Кроче того, кзк легко видстгч преобразование г = —.. пер~водит точку со плоскости г в точку ч = О, характер же особой точки ири этом преобразовании пс меняется в силу слслту!отей обикй теоремы.
Теорема 4.7. Оусть точка гь яв!!!сллся изолировинной особой !почкой функ. ции ) (г), аналитической в облисти,'хц Г!ус!но анаяитическия функция ь= ф (г) утппнавяивает вюил!но однозтяное соо!и!зеп!отвис мехсду областью,'У и обяаслп !о У' колплгксной плоскоспт л в коп!арой определена обратная функция г.— — гр(„"). Тогда л!очка Гь — — ф(гь) яв.гчгл!ся изолированной особой точкой анаян. лшчгской функции Р (ь) =) )гр (')), привел ларик!пгр 'той особой точки тонг т, что и точки гь, Этя теорема является очевидным следствием свойства зиапитичсских функ. ций, установленного в гл.
1, в силу которого аналитическая функция от ,!налнтичсской функции является аналитической, з также геометрических свойств аналитической функции в окрестности изолировзииои особой точки. Г! р и м е р. Рассмотрим функции! у(=) =- ., данная много- 1 !'!+гх хна шая функция имеет две точки разветвлеи!и г=.+ гц То:ка —.:. Оэ — ее правильная точка. Поэтому в круговом кольце ! ( г!(ОО определены две ветви эгон фуцкшш, являю!циеся однозначными аналитическими функциями в данном кольце. Выберем ветвь, являющуюся !!еносредстиенныь! ацалигигческим продал,кснием дейстшиельцой функ- 1 нии , действительной переменной ес ) 1, и построим ее раз1+хе поженив и ряд Лорзнз в окрестности точки . =лз.
Для эгого, ио- 1 пожив г =- —, отобразим данное кольцо нз круг ед!нш шого радиуса иа плоскости ~ (цри этом !очкз г=-ОО переходит в точку С=.О) и ! разложил! функцию гр(г) =, =- —,= в ряд Тейлора в ок- 17' ! ! 1+из ! ! рестносгн ее правильной точки и — -- О. Предиаригельио заметим, что функция гр(ь) является производной функции ф(Г) = )л 1+!",з. (При э!ом наш выбор негин нсхосцюй фут!ниц 5(г) определяет выбор той ветви функции ф(гь), для которой ф(0) = +1.) Чгобы разложить функцию ф(ц) в ряд 1'ейлорз, положим ш.=.ся и рассмогрим функцию )((ц)= )г 1+я. Вычисляя производные !функции у(за), получаем ! 1("'(Ю) ~ = — — 1!...,, — +1 (1+- )й и -! (йл — й)' 2х "'!и--1)' ' '!'огда разложение выбранной петен функции у(нл) в круге !ти((1 иринимаег вид 122 РЯД ЛОРАНА И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЪ|С ТОЧКИ 1ГЛ 4 Отсюда для фупкпнн ф(Ъ) прп ;'~,'< 1 получим ф(1) =) (-)-:.
=1+ ~( — 1)"-' — „'„",',„"',",", л=| и для функиии 4(4(Ъ) 1)" - ъРЯ4-1 %4 п.1 (2л — 2)1 2л )'1 ~р ' 4 24" '( — «|л| П:= | 2'" '(( — «1)я . ~н 2 (||) (йл — 2)! я„| ъя (2А)! л=| А==О (4.24) )(аконеп, для выбранной ветви функпии Д(а) в кольпе 1 -',:(ОО получаем разло|кеппе в ряд Лорана А=О ГЛАВА 5 ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В 1. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке (о.1) где 1 ~ 1(3 2ла Д (; — г,)"ь' с (5.2) и, в частность (5.3) Вьзчелзом анолилпиескоа' функции Дг) в изолированной' особой' точке г называется комплексное число, равное значению икте- 1 арала —. ~ у(5) аь, взятому в положительном направлении ло любому лежащему в области аналитичности функции у(г) залзкнутому контуру у, содержащему единственную особую точку г фуккйпи т(г). Лля обозначения вычета обычно применяются выражения Выч(.У(г), «,) илн гез1Д( ), г„).
Мы в дзльпейтем будем пользоваться первым обозначением. Очевидно, по если точка гв являесся правильной нлн устраиимой особой точкой фут<вин у(г), то вы ~ет /(г) в этой точке ранен пулю. Пля вычисления вьг~ета фуикпнп с(г) 1. Определение и формулы вычисления вычета, Введем взжпое для приложений понятие вычета однозначной аналитической функции в изолированной особой точке. !1усть точка гя является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции у(г). Согласно предыдуппнч рассмотрениям и окрестности этой точки функция у'(г) может быть единственным образом разложена в ряд Лорана ! Г тгошдя вьшсгов и их ииглоэкения (гл 3 в ее изолированиои особой точке может бьиь применена формула (5.3): Выч [У(«), «„[=-, ~ у(с) г(~ = — с д, (5.4) Г( ) = с д (« — «) д -р св+ сд (« — «в)+., (5.5) а множив обе части (о.5) иа (« — еч) и перейдя к пределу ири « — ь«м иолу шм с д — — Гдш ( — в) г'(«), (5.6) Заметиьь что в данном случае функция .г( ) н окресгиосгн точки «в можег быть иредстзвлеиа в виде отношения двух аналитических функциИ: У(«) = —.—, я (д) ф (2) ' (5 У) причем гр( в) -- О, з точка «в является нулем верного иорядкз фуикшшф(), т, е.
ф(-)=-(.— )ф (-)-Г ч"'Г')( )з, ф (-) О (581 Тогда из (о.б) (5.8) полу шм следугоид)чо формулу. Форлгула вычпсленпп вьшета в полюсе первого ггорлдка; ,У(«) == -:— я,(«) Ф (а) . ' Вы ч [г'(«), «! =- --; —— я (ач) 'гэ («) (5.9) И р и и е р 1. 1Гусгь Г(«) = „, Особыьш точками функции г(«) 2 зль в являю~ ся гочки «„= Г' 1 = е " (/г = О, 1, ..., и — 1), ири:ем все эти гочки иредставляюд собой полюсы иерного иорядкз.
Нзндеьд Выч [г («), «в). Оогласио формуле (5.9) получим дл/с В. [У(г), -в[= '" =- ';,-=- '.' (« =1). (5ВО) Однако в ряде случаев могкег быль указан более простои способ вычисления вычега, снодяшиися к дифференцированию фуикшш У(«) в окрссиюсги ~очки «„, Тем самым вычисление коьмуриого интеграла от аиалити юскои функции может быть заменено нь~числеииедд производных от эгон функции в некоторых гонках, лежащих ниутри контура иргсгрироиаги1я.
Зго оостоятельство оирсделяег одно из основных ггриложеиии теории вычетов. 1!ереидем к рассыогреиию указанных случаен. 1' 11усгь то ша «в является полюсом первого порядка функции г'(«). Тогда н окрестности эгон точки имеег месго разложение Вьшет Фу!и!!сии В изо!Исиовлнсюи ОООБОН тОчке 125 с! 2' 1)усть !очка гл является полюсом пор~дка и фуикшш !( ).
Оогласио предьшупсему и окрестности агой точки пмеег место разложение У( )=с ( — гч) '"+...+с с(,— г) г+с„+с ( — лч)+... (5,11) Умножив обе части (5.11) на ( — гсс)'", получим (г — г,)"'Т( )=-с +с,„г(г — л)+.,.+с г( —.ч)"' +... (5.12) Взяв производную порядка (и — 1) от обеих, частей эгого равеисгва и перейдя к пределу прн г — г-г„окоичателыю получим следусссшую формулу. формула вьсчссс,ген!си вы сета в полюсе лорлдка пи Выч !)'(г), го) = ! 1ип „,, ((г — г„)м Т(г)). (5.13) г г„ Еак легко вндегь, формула (5.6) явстяегся частным случаем последней (ор. у. ».
1 11 р и м е р 2. Г!усть Т(г) =, „, Особыми тачками этой функ(, ! ,!)л ппи являются точки ., г= с! с, причем обе эти госки представляют сооой полюсь! порядка и. Вычислим Выч! Т(г), !). (.огласно (5.13) пол!'сим ,1= дл-! Выч,, ! ~ = 1пп ( — !)л (1.1 ггуг 1 (л !)! дгл с ( (! .1. гг)л) 1 . сг" с~ 1 1ип (п — ! )!, игл ' ! (г+ с)л ! л гп (л+1)... (2л — 2) 1 1)л — г (и — 1)! (г+С)лл-'! .—; (2л — 2)! ! . (2п — 2!! !(сс 1)ср '(21)сг г = лгг !'!(п !)с!г 3. Основная теорема теории вьсчетов, Г(ерейдем теперь к рассмогреишо важпейгдих применений введенных поня!ни.
(сся многих сеорегическнх рассмотрений и практических применений весьма с)- щесгвеипой является следукнцая Теорема 5.1 (основная теорема теории вычетов). Пусть функс(ссн Т(г) нвлнетсн аналитической вс юду в знтснутои области ", за исллючением конечного числа изолированных особых точек гл (!г=-!, ..., слс), лелсассгссл вн!спсри области У. Тогда и ~ Т(") с(5 = 2п! ~" Вьш (/(г), „), (о. ! 5) с,.— ! .де 1" лредстовлнесл сопосс полную гранину лала!с!с!с! У, проходи. мую в иолозютиельнож налрив,сенин, 126 1гл.
5 ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ Вок азз тельс тво. Нзпомпим, что если функния г'(«) является аналитической в замкнутой области 6, то все тоски гранины Г этой области суть правильные го ски функвп! с'(«). Выделим каждусо из особых точек гс, фупкпни у"(«) замкнутым контуром уь, не содержащим внутри других особых точек, кроме точки «„. В замкнутой многосвязной области, ограниченной контуром Г и всеми конгурами уь (рис.
5.1) функнпя у(г) является всюду аналитической. Поэтому по второй теореме ((оси!с получим (5,16) г- Перенеся второе слагаемое в (О.16) направо, мы в силу формулы (5.4) и полуш|м утверждение теоремы; ~ У(ьь) й~= 2ис ~ Выч ( У(«), «ь]. !'- ь=с Большое практическое апзчеппе этой формулы заключзется в том, что во многих случаях окзэывастся гораздо проще вычислить вьшеты функшсп у'(«) в особьсх точках, лежащих внутри области интегрирования, чем непосредственно вы ~ислять интеграл, стоящий в «ч левон' части (5.15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
