А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В гл. 1 мы уже имели простейший пример многозначной функции комплексной переменной — 41ункцию ти = ф' г, являющуюся ее) обрат- ") Применимость теоремы !(оши к интегралам в правой части (3.55) оче. видна в силу сделанного предположения о куеочной гладкости крявей Г,с и выбора крпвой Се. ') Мы нзменвлз здесь обозначения зависимой и незаввсвмой переменных. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ нои степениои фупкцши з=-тэг.
Рассмо~рим теперь эту и ряд других функции с более общей точки зреппя апалсппческого продолжения. п 11р имер 1. Функция пс=.у'з. Гоглэсссо прзвилу извлечевпя корпя л-И степени пз комплексного числа одпому зиэчепию з соотве1- сгвует п различных комплексных чисел ю, вычислепиых по формуле . т эглй та= — тесе= р/ ре " (ус=0, 1, ..., и — 1), (3.57) где = =- ре" и ср — одно из зиэчении Лср . Функция ю = )рс з является многозначной фупкциеИ, имеюсцеи л различных ветвеи. Вудом считать, что ср изменяется в пределах О--.си ~ 2л, и выберем тувегвь л функции тд =-- )г з, которая является аиалитическим продолжением деил спппельиои функции п=.у' х деиствигельпои положительной перемепиои х ) О.
Очевидно, это будет ют — 1' Рс " (О(с«=.-2л). (3.58) Областью Рт определения функции мст является плоскость з, разрезаппзя по положптельнои састп дейсгврпельпои осп х. ВерхпиИ берег разреза соответс псуег зпачеишо агд - — — О, пижпнИ вЂ” зпачепто агдсз = 2л.
ОЧЕВИВПО, фуИКция Ыс, язпясОщаяея ОбратИОИ фуИКПИИ З=ттс", ОСущеспсляет вззимпо одиозпачиое отображение замкнутой области .'Ут 2л плоскости иа сектор 0 згцю ="- плоскости тсс, В силу обиссгх л свойств аналитических функциИ (см. гл. 1, стр. 33) фупкция а11 в области -'„является одиозпэчпои апзлипсческои фуикциеи, произ- 1 1 -- — 1 водиая котороИ вычисляется по фор~уле юс'(з)=- -з" =- . р" х 1 -л Хе РзссмотРим тепеРь зэмкнУтУю область 32 — тУ же плоскость с рэзрезом по положспельиои части деиствительнои оси х, ио иэ КО1ОрОИ ЭртуМЕсп - ИЗМЕИяЕТСя В ПрЕдЕЛаХ 2Л=--асцял 4Л. ВЕрХНИИ берег разреаа соответствует значению асп =2л, нижний — значению ага а=4л.
Рассмотрим в этои облэсти функцию ,«Р -'- гсп ,(,)=.)У„-„' ° (О: — ср - 2л). (3.59) Эта функция осуществляет вэаимпо одиозизчное отображение замкнуил 4л сои области иг иа сектор — ( арды( — плоскости ыс и является л л одпочизчиои аналитической фупкциеи з в области рг. Замкпупсе Области хс и ',, имеют обпсую часть грзпипы Г, я — луч агиз=2л,— па которой совпадэсог фуикцпп ьпс и тгг, непРерывные в рс+Гсг И,РР,+Г„соответствеспю. Поэтому в силу принципа аналитического 100 ЛНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОЛОЛжЕНИЕ.
ЭЛЕМЕНГлРИЫЕ ФуИКШ!И !ГЛ 3 продолженпя через гранину функппя ьрг(з) является аналнтпческпм пРодолжеинем фУпкпнн а~т(з) и облас!ь .1!м П дРУгой стоРопы,,й! и -Чг фактически совпада!от па плоскости з, так как точки комплексной плоскостн с равпыги! модулямп н отлнча!ошимися па 2п аргумен!амн совпадзюг. Поскольку функш!н (3.58) н (3Р69) в одной и той же точке имеют различнь!е зпз !ення, то сот.чзспо предьшушпм рассмотрениям, для !ого чтобы функипя и'!(-), Ле= 21+11.2, ~ (д)=- з з г и'2 (з) -' е= 'г+ 1 1, (3.60) была отпюзначной в об части определенна йт =- 21+ 52+ Г, „мы должны сч!Пать, что многообразие 1хт является рнмановой поверхностью, склеенной нз лис!оп,У1 И .эг, Очевндно, что данное скленвзнне следует пронзвестн по обшей исги грзшщы Г,„, лучу агре=.2Л, оклеив нин!ннй берег разреза обласгн 51 с верхним бере~ом разреза ооластн .Рг, ПовгоРпв наши РассмогРенна, мы Устзновнм, что фУикпиЯ .Ч ш глг юь 1(з)=)г ре " (О .
!рм-2Л), (3.61) определенная в замкнутой обласп1,аг, ! (2П/:==-аг((з =-2П(л+1)), яв.чяегся аналнгнческнм продолжением фупкпин и~а(.), определенной в рм Заме!им, что фушани тз„г(з) тождественно совпадаег с функпией ерг( ). Поэтому есгесгвепно рассматривать однозначную аналптнческую функипю з Е,61+ Г1 „, - ЕБ %2+ г! 2+ Гг,а м'1 (з) ~(з)=- ( ~г ( „(з), е- ='„+Г„, „, (3.62) г) Для болыпей наглядности можно пропзгестн указанные склеавзння на разрезанных листах бумагя. Прн этом последнее склепзише оказывается физически кевозможпым в мо.кет быль произведено лишь мысленно, определенную на рнмановой поверхности (с =- 21+ рг+, -1- 5„+ + Г .,+...+Г„т „, склеенной указанным выше способом пз п лнс!оз, представляющих собой плоскость з с рззрезом по положн!ельной части действн!ельной осн х.
Прн этом остаются свобо!шымп верхний берег разреза (а!ел=О) на первол! лис!е Р, н нижний берег разреза (ага =2пл) на л-м лнсге Рл. 11!обы сохранять непрерывность функпни !2(=) во всей обласгп ее определенна, мы произведем скленванпе этих берегов разрезов (рис. 3.7) з). !1!ункпню (3.62) назы- П ваюг полной аналигнческой функцией ш= 1/ д, а посгроенпое указанным выше способом замкну!ое многообразие Й вЂ” полной рнмаповой 1О1 поняп!В Рп'!ЛПОБОп пОВеРхгюсти ь а! иоверхносггио эгон функции. 11а каждом лис!с римановой поверхнос!и определена отдельная вепгь данной многозначной функции.
Отметим егпе следу!огнев обсгоя!ег!ьс!Во. Фиксируем иа плоскости « некоторую точку «В и Проведем через нее замкнутую кривую С. Тогда, если агя «при дв!!же!и!и но кривой С изменяется неггрерггвньга! образом и кривая С пересекает линию разре.га па плоскосги , то ири Г полном обходе кривой С ац- I риори ВОЛИОжны два сг!у'!Вя Г (риг, 3,8).
В первом случае 7,« !огка «=О лежит вне кри- г иои С 11оэтоыу, выйдя из УУ !очки «=«о (агя«о=-гы) на lг-м листве), мы после обхода этой кривой вернемся и исходную точку «В на Рис. 323 точ гке lг-и (агд «„=- грь) лисге, хотя в процессе движения мьг, пересекая линию разреза, переходили и на другие листы. Во втором слу гас точка =.-0 леж!п внУгРВ кРивой С.
Поз гомУ. Выйда из точки - = — «!г (аг)1 «а = гР!) на й-м листе, мы нос.те оохода кривой С вернемся в гочку - = л-г Рис. 3.8. *) Рис. 3,8 соответствует с!!!чаю Гг=1. уже не на исходном А-аг, а например, на (1+1)-т! листе (а!и=,= =гр„+2п). точка „, при обходе которой ио любой замкнутой ьривод и достаточно малой окресгносги этой точки Происходит переход с одного лнсга рпмановои поверхности аналитической ф)нкции гт(«) па другой ес лист, назьааегся !пои!го!1 уазвггмалеел функции Р(«).
Как легко видегь, это определение точки разветвления эквивалентно онределению, данному в гл. 1, сгр, 29 Очевидно, В рассмагривасмом примере грункции ья == )г точками разве!аления являются точки «==0 и «=ОО. 102 аналитическое пиодолжвниг. элементдвныв екнкцни !гл, а П р и м е р 2, Функция щ = !.п -, Рассмотрнм в замкнутой области Зи представляющий собой плоскость а, разрезанную по отрпцателыюй части депствительноп оси — и( агни ~ н, функцию 1п а, о которой шла речь в предыдущем параграфе: а~а =!п(а) =1п ( а !+1 аги а, — и -= аги а.
и. (3.63) Как мы знаем, эта однозначная аналитическая функция являегся аналитическим продолжением действительной функции сс=-!им и обратна функции д = е . Поэтому функция (3,63) отображает область Йа плоскости =. на полосу — а(1щц (и плоскости гэ. Рассмотрим в замкыутой области З, (и ~ аги а =- 3п) функцию гег=1пт( )=1п)а/+1агид, и===атил( Зп. (364) Очевидно, функция гпг(а) является аналитическим продолжением ц~,(а) в область Уг. Аналогично фУнкциЯ гв !(а)=1п !(а)=1п)г/+(агфа, — Зп агпа---.— и, (364') определенная в замкнутой области 3 г( — Зл агиа~ — и), является аналитическим продолжением функции гпа(а) в обггасти ч т. Также и функция тел(а): ва(а) =!па(а) =1п, 'а!+1агиг, п(2А — 1) =аги г -л(2га+ !), (3.66) определенная в замкнутой области Хы и (2л — 1) =-.== аги а =-- и (2А+ 1), является аналитическим продолжением функппи та г (я).
Функция гс„(=), однозначно отображающая область .5л на полосу п(2л — 1) «1пг ю( (п(21+1), также является обратпои функции -=е". 13 отличие ог предыдущего случая, нп одна из функций гаа(а) (Ег ~ О) пе равна тождественно функции ги,(а). Поэтому данныи процесс аналитического продолжения следует вести неограниченно как для й >О, так н для 1г(0. Тем самым полная аналитическая функция г,: мг, (д), д я >, + Ги, + Г, „ Е(г) (па=!в!г)+!Агфа= юо(а) зе- =Уо+Гп а+Го,-н ги-т(а) - е= "'-т+(о,-т+)-г,-а (3.66) является беа<онечнозначной на обычнои плоскости г и однозначноп на бесконечнолистнои рнмаповой поверхности й= — ~~~ г;„состав- П.—: — О7 ленной вз бесконечного множества листов,У„путеаг склеивания верх- 1О3 попятив нимлиовоп повгихности пего берега разреза каждого ((г + 1)-го листа с нижним берегом разреза предыдущего й-го листа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
